Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

**Chọn C**

Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực đại của đồ thị là $(1;3)$, do đó giá trị cực đại của hàm số đã cho là $y=3$ (đạt tại $x=1$).

**Chọn A**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - Mã đề 132).
Có 17 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-2$ và $x=5$ (đổi dấu 2 lần) nên hàm số có 2 điểm cực trị.

Quan sát đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu, do đó hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
$y^{\prime \prime }=6x-6$.
Tại $x=2$, $y^{\prime \prime }(2)=6>0$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Giá trị cực tiểu là $y(2)=2^3-3(2^2)+2=-2$.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(2;-2)$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Đạo hàm triệt tiêu tại $x=0$ nhưng không đổi dấu khi qua $x=0$. Do đó hàm số không có điểm cực trị.

Quan sát bảng biến thiên:
- Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to +\infty$, do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề "Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $-3$" là sai (giá trị cực đại của hàm số là $-3$, không phải giá trị lớn nhất).

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=0\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=3\end{array}$.
$y^{\prime \prime }=6x-6\Rightarrow y^{\prime \prime }(3)=12>0$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Giá trị cực tiểu là $y_{CT}=y(3)=3^3-3(3^2)-9(3)+2=-25$.

Đặt $u(x)=|6x-5|$ ($u\ge 0$) và $h(x)=f(u)+2021+m$.
Tại $x=\frac{5}{6}$ thì $u=0$, $h\left(\frac{5}{6}\right)=f(0)+2021+m=3+2021+m=m+2024$.
Các điểm cực tiểu của $h(x)$ tương ứng với $u=2\iff |6x-5|=2\iff x=\frac{7}{6}$ hoặc $x=\frac{1}{2}$.
Tại đó $h(x)=f(2)+2021+m=-4+2021+m=m+2017$.
Để hàm số $g(x)=|h(x)|$ có 3 điểm cực đại thì đường thẳng $y=0$ phải nằm trong khoảng giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của $h(x)$, tức là:
$m+2017<0<m+2024\iff -2024<m<-2017$.
Do $m$ nguyên nên $m\in \{-2023,-2022,-2021,-2020,-2019,-2018\}$.
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số $m$.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua các điểm $x=0$ và $x=4$. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và $x=4$. Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu. Chọn D.

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{3x-4}{x+1}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{7}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$, do đó hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị. Chọn B.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và giá trị cực đại tương ứng là $y_{CD}=3$. Chọn C.

Ta có $f^{\prime }(x)=3(m+1)x^2-2(2m-1)x+1$.
- TH1: $m+1=0\iff m=-1$. Khi đó $f(x)=3x^2+x-1$, parabol quay bề lõm lên trên, hàm số chỉ có cực tiểu, không có cực đại. Vậy $m=-1$ thỏa mãn.
- TH2: $m+1>0\iff m>-1$. Hàm số bậc ba có hệ số $a>0$, để không có cực đại thì hàm số không có cực trị $\iff {\Delta }^{\prime }\le 0\iff (2m-1{)}^2-3(m+1)\le 0\iff 4m^2-7m-2\le 0\iff -\frac{1}{4}\le m\le 2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0,1,2\}$.
- TH3: $m+1<0\iff m<-1$. Hàm số bậc ba có hệ số $a<0$, đồ thị luôn có nhánh đi lên rồi đi xuống hoặc luôn giảm, nếu có cực trị thì luôn có cả cực đại và cực tiểu, do đó trường hợp này không thỏa mãn.
Kết hợp lại: $m\in \{-1,0,1,2\}$, có 4 giá trị nguyên. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ và giá trị cực tiểu của hàm số bằng $y_{CT}=-3$.

Hàm số trùng phương $y=-x^4+2x^2+1$ có $a=-1$ và $b=2$ trái dấu ($ab=-2<0$) nên có $3$ điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+2ax+b$. Vì $A(3;-3)$ là điểm cực trị và đồ thị đi qua $B(2;2)$ nên ta có hệ: $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(3)=27+6a+b=0\\ y(3)=27+9a+3b+c=-3\\ y(2)=8+4a+2b+c=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}6a+b=-27\\ 9a+3b+c=-30\\ 4a+2b+c=-6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-3\\ b=-9\\ c=24\end{array}$. Vậy $a+b+c=-3-9+24=12$.

Số điểm cực đại của $g(x)=[f(x-1){]}^{1982}$ bằng số điểm cực đại của $h(x)=[f(x){]}^{1982}$.
Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-3$ và từ âm sang dương tại $x=1$ (tại $x=0$ đồ thị $f^{\prime }(x)$ tiếp xúc trục hoành nên không đổi dấu).
Vì $f(-3)<0$ và $x=-3$ là điểm cực đại của $f(x)$ trên $(-\infty ;1)$ nên $f(x)\le f(-3)<0,\forall x\le 1$, và $f(x)=0$ có đúng $1$ nghiệm đơn $x_0>1$.
Ta có $h^{\prime }(x)=1982[f(x){]}^{1981}{f}^{\prime }(x)$. Dấu của $h^{\prime }(x)$ phụ thuộc vào tích $f(x)f^{\prime }(x)$, đổi dấu tại $x=-3$ (từ âm sang dương), tại $x=1$ (từ dương sang âm) và tại $x=x_0$ (từ âm sang dương).
Vậy hàm số $g(x)$ có đúng $1$ điểm cực đại.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x(2-x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=2$ nên hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị.

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu một lần (tại giao điểm âm với trục hoành, còn tại $x=1$ đồ thị tiếp xúc trục hoành nên không đổi dấu). Do đó hàm số $y=f(x)$ có $1$ điểm cực trị.

Đặt $f(x)=x^3-3x^2-m$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, nên $f(x)$ có $2$ điểm cực trị.
Để hàm số $y=|f(x)|$ có nhiều điểm cực trị nhất ($5$ điểm cực trị) thì phương trình $f(x)=0\iff x^3-3x^2=m$ phải có $3$ nghiệm thực phân biệt $\iff -4<m<0$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1\}$ (có $3$ giá trị nguyên).