Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có : Giá trị đại diện 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5 với số học sinh 7; 9; 12; 6; 6.
Tổng số học sinh tham gia khảo sát là : $n=7+9+12+6+6=40$.
Chiều cao trung bình của học sinh trong lớp là :
$\overline{x}=\frac{152,5\cdot 7+157,5\cdot 9+162,5\cdot 12+167,5\cdot 6+172,5\cdot 6}{40}=161,625\approx 161,875$. (0,5 điểm)
Phương sai của mẫu số liệu trên là :
$s^2=\frac{m_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+\dots +m_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2}{n}$
$=\frac{7{\left(152,5-161,875\right)}^2+9{\left(157,5-161,875\right)}^2+12{\left(162,5-161,875\right)}^2+6{\left(167,5-161,875\right)}^2+6{\left(172,5-161,875\right)}^2}{40}\approx 41,484$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{41,484}\approx 6,44$. (0,5 điểm)

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có : (0,5 điểm)
Giá trị đại diện: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5 với số học sinh 6; 10; 14; 5; 5.
Tổng số học sinh tham gia khảo sát là : $n=6+10+14+5+5=40$.
Chiều cao trung bình của học sinh trong lớp là :
$\overline{x}=\frac{152,5\cdot 6+157,5\cdot 10+162,5\cdot 14+167,5\cdot 5+172,5\cdot 5}{40}=161,625\approx 161,625$.
Phương sai của mẫu số liệu trên là : (0,5 điểm)
$$s^2=\frac{m_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+\dots +m_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2}{n}$$
$$=\frac{6(152,5-161,6{)}^2+10(157,5-161,6{)}^2+14(162,5-161,6{)}^2+5(167,5-161,6{)}^2+6(172,5-161,6{)}^2}{40}\approx 36,1$$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{36,1}\approx 6,009$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=65-40=25$ (cm). Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (11.A).

Giá trị đại diện: 19,25; 19,75; 20,25; 20,75; 21,25 với tần số 13; 45; 24; 12; 6. (0,5 điểm)
Cỡ mẫu: $n=100$
Số trung bình: $\overline{x}=\frac{13.19,25+45.19,75+24.20,25+12.20,75+6.21,25}{100}=20,015$
Phương sai: $S^2=\frac{13.19,25^2+45.19,75^2+24.20,25^2+12.20,75^2+6.21,25^2}{100}-20,015^2\approx 0,28$ (0,25 điểm)
Độ lệch chuẩn: $\sigma =\sqrt{0,28}\approx 0,53$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 3, 6, 5, 4, 2 (n = 20). Giá trị đại diện: 2,85; 3,15; 3,45; 3,75; 4,05. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2}{20}=\frac{2,628}{20}=0,1314$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{0,1314}\approx 0,3625\approx 0,36$. Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95 với tần số 3; 5; 5; 8; 7; 5; 3; 4 (n = 40).

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{25\cdot 3+35\cdot 5+45\cdot 5+55\cdot 8+65\cdot 7+75\cdot 5+85\cdot 3+95\cdot 4}{40}=\frac{2380}{40}=59,5$.

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=625\cdot 3+1225\cdot 5+2025\cdot 5+3025\cdot 8+4225\cdot 7+5625\cdot 5+7225\cdot 3+9025\cdot 4=157800$.

Phương sai: $s^2=\frac{157800}{40}-59,5^2=3945-3540,25=404,75\approx 405$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có n=30, các giá trị đại diện 75, 125, 175, 225, 275 với tần số 5, 10, 9, 4, 2.
a) Khoảng biến thiên = 300 - 50 = 250 (km) → Đúng.
b) Số trung bình $\bar{x}=\frac{75\cdot 5+125\cdot 10+175\cdot 9+225\cdot 4+275\cdot 2}{30}=\frac{4650}{30}=155\ne 145$ → Sai.
c) $\frac{n}{4}=7,5$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[100;150)$: $Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=112,5$. $\frac{3n}{4}=22,5$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[150;200)$: $Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}\cdot 50\approx 191,67$. Khoảng tứ phân vị $\approx 191,67-112,5=79,17$ → Đúng.
d) $s^2=\frac{5(75-155{)}^2+10(125-155{)}^2+9(175-155{)}^2+4(225-155{)}^2+2(275-155{)}^2}{30}=\frac{93000}{30}=3100$, nên $s=\sqrt{3100}\approx 55,68$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 300 - 50 = 250 (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình là 155, không phải 145.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 112,5; Q3 ≈ 191,67 nên IQR ≈ 79,17.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 3100 nên s ≈ 55,68.

(AI giải đề cho tôi)
Số liệu ghép nhóm, dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=1.5,x_2=2.5,x_3=3.5,x_4=4.5,x_5=5.5$ với tần số $n_1=8,n_2=10,n_3=12,n_4=9,n_5=3$, tổng $n=42$.

Tần số tích lũy: $\sum n_i{x}_i=8(1.5)+10(2.5)+12(3.5)+9(4.5)+3(5.5)=12+25+42+40.5+16.5=136$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{136}{42}\approx 3.2381$.

$\sum n_i{x}_i^2=8(2.25)+10(6.25)+12(12.25)+9(20.25)+3(30.25)=18+62.5+147+182.25+90.75=500.5$.

Phương sai mẫu: $s^2=\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{500.5}{42}-{\left(\frac{136}{42}\right)}^2\approx 11.9167-10.4853=1.4314$.

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $\approx 1.43$.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=2,85$, $x_2=3,15$, $x_3=3,45$, $x_4=3,75$, $x_5=4,05$ với tần số $n_1=3$, $n_2=6$, $n_3=5$, $n_4=4$, $n_5=2$, $n=20$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.

Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm:
$$s^2=\frac{1}{20}\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2}{20}$$
$$=\frac{0,8748+0,3456+0,018+0,5184+0,8712}{20}=\frac{2,628}{20}=0,1314.$$

Kết quả trùng với đáp án D đã cho trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=10,2;x_2=10,6;x_3=11,0;x_4=11,4;x_5=11,8$ với tần số $3;8;6;2;1$, $n=20$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 10,2+8\cdot 10,6+6\cdot 11,0+2\cdot 11,4+1\cdot 11,8}{20}=\frac{216}{20}=10,8$.
Tổng bình phương lệch: $3(0,6{)}^2+8(0,2{)}^2+6(0,2{)}^2+2(0,6{)}^2+1(1,0{)}^2=1,08+0,32+0,24+0,72+1,00=3,36$.
Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm: $s^2=\frac{3,36}{20}=0,168$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn tần số: 3; 9; 14; 18; 20 (n=20). Q1 ở vị trí thứ 5, thuộc nhóm [3,0;3,5): Q1 = 3,0 + (5-3)/6 · 0,5 = 3 + 1/6 ≈ 3,1667. Q3 ở vị trí thứ 15, thuộc nhóm [4,0;4,5): Q3 = 4,0 + (15-14)/4 · 0,5 = 4,125. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 - Q1 = 4,125 - 3,1667 ≈ 0,96 (km).

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$ với tần số tương ứng $13;45;24;12;6$, nên $n=100$.

a) Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015\text{(m)}.$$

b) Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm:
$$s^2=\frac{1}{n}\sum f_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2.$$
Tính $\sum f_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.
$$s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275\approx 0,28.$$

Vậy số trung bình là $\bar{x}=20,015$ m và phương sai $s^2\approx 0,28$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 3, 6, 5, 4, 2 (n = 20). Giá trị đại diện: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75;x_5=4,05$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.
Phương sai mẫu: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2\right]=\frac{2,628}{20}=0,1314$.
Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{0,1314}\approx 0,3625$, gần nhất với $0,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu là $[0,9;0,95)$ (tần số $10$) và nhóm cuối cùng có chứa dữ liệu là $[1,05;1,1)$ (tần số $15$), vì nhóm $[1,1;1,15)$ có tần số $0$ nên không chứa dữ liệu. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=1,1-0,9=0,2$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối có dữ liệu và đầu mút trái của nhóm đầu có dữ liệu. Tổ A có dữ liệu từ nhóm $[5;10)$ đến nhóm $[25;30)$, nên $R_1=30-5=25$. Tổ B có dữ liệu từ nhóm $[5;10)$ đến nhóm $[20;25)$ (nhóm $[25;30)$ có 0 nhân viên), nên $R_2=25-5=20$. Vậy $R_1=25>R_2=20$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cần tìm Q1 (vị trí thứ 25) và Q3 (vị trí thứ 75) của mẫu 100 cây. Tần số tích lũy: 5, 17, 42, 86, 100. Q1 thuộc nhóm [8,8; 9,0): $Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864$. Q3 thuộc nhóm [9,0; 9,2): $Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,15$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,29$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 6, 10, 14, 5, 5 (n = 40). Giá trị đại diện: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 152,5+10\cdot 157,5+14\cdot 162,5+5\cdot 167,5+5\cdot 172,5}{40}=\frac{6465}{40}=161,625$.

Phương sai: $s^2=\frac{6(-9,125{)}^2+10(-4,125{)}^2+14(0,875{)}^2+5(5,875{)}^2+5(10,875{)}^2}{40}=\frac{1444,375}{40}\approx 36,109$.

Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{36,109}\approx 6,01$, thuộc khoảng $(6;6,5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số người n=125. a) Khoảng biến thiên = 12−2 = 10 → Đúng. b) n/4 = 31,25 nằm trong nhóm [2;4) (tần số 45): Q1 = 2 + (31,25/45)·2 = 2 + 25/18 = 61/18 → Đúng. c) Tần số nhóm đại diện 3;5;7;9;11: trung bình = (3·45+5·34+7·23+9·18+11·5)/125 = 683/125 = 5,464; s² = 4445/125 − (683/125)² ≈ 5,7047 ≈ 5,7 → Đúng. d) 3n/4 = 93,75 nằm trong nhóm [6;8): Q3 = 6 + ((93,75−79)/23)·2 = 335/46; IQR = 335/46 − 61/18 = 806/207 ≈ 3,89 ≠ 860/207 → Sai. Khớp đáp án chính thức: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 12 − 2 = 10.
b) (AI giải đề cho tôi)
n/4 = 31,25 thuộc nhóm [2;4): Q1 = 2 + (31,25/45)·2 = 61/18.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình 683/125 ≈ 5,464; phương sai ≈ 5,7047 ≈ 5,7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 335/46, IQR = 335/46 − 61/18 = 806/207 ≈ 3,89 ≠ 860/207.