Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số nhân viên: n = 3+5+5+25+2 = 40, nên a) đúng. Các giá trị đại diện: 45; 75; 105; 135; 165. Số trung bình: x̄ = (3·45+5·75+5·105+25·135+2·165)/40 = 4740/40 = 118,5, nên b) đúng. Tổng bình phương: Σx² = 3·45²+5·75²+5·105²+25·135²+2·165² = 6075+28125+55125+455625+54450 = 599400. Phương sai: s² = 599400/40 − 118,5² = 14985 − 14042,25 = 942,75 ≠ 945, nên c) sai. Độ lệch chuẩn s = √942,75 ≈ 30,705, còn 3√105 = √945 ≈ 30,74, không bằng nhau, nên d) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = 3+5+5+25+2 = 40.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = (3·45+5·75+5·105+25·135+2·165)/40 = 4740/40 = 118,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 599400/40 − 118,5² = 14985 − 14042,25 = 942,75 ≠ 945.
d) (AI giải đề cho tôi)
s = √942,75 ≈ 30,705 ≠ 3√105 ≈ 30,74.

(AI giải đề cho tôi)
a) n = 3+5+5+25+2 = 40 → Đúng. b) Các giá trị đại diện: 45, 75, 105, 135, 165. Trung bình = (3·45+5·75+5·105+25·135+2·165)/40 = 4740/40 = 118,5 → Đúng. c) Σnᵢxᵢ² = 3·45²+5·75²+5·105²+25·135²+2·165² = 599400; phương sai = 599400/40 − 118,5² = 14985 − 14042,25 = 942,75 ≠ 945 → Sai. d) Độ lệch chuẩn = √942,75 ≈ 30,7, còn 3√105 = √945 ≈ 30,74 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 3+5+5+25+2 = 40.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = (3·45+5·75+5·105+25·135+2·165)/40 = 4740/40 = 118,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 599400/40 − 118,5² = 14985 − 14042,25 = 942,75 ≠ 945.
d) (AI giải đề cho tôi)
s = √942,75 ≈ 30,7, khác 3√105 = √945 ≈ 30,74.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=23+40+56+33+8=160$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=40$. Tần số tích lũy: 23, 63, 119, 152, 160. Vì $23\le 40\le 63$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[26;29)$: $Q_1=26+\frac{40-23}{40}\cdot 3=26+\frac{51}{40}=27,275$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=120$. Vì $119\le 120\le 152$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[32;35)$: $Q_3=32+\frac{120-119}{33}\cdot 3=32+\frac{3}{33}\approx 32,0909$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 32,0909-27,275=4,8159\approx 4,8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm là 3, 5, 5, 25, 2 nên cỡ mẫu $n=3+5+5+25+2=40$ → a) Đúng. Các giá trị đại diện: $45;75;105;135;165$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{45\cdot 3+75\cdot 5+105\cdot 5+135\cdot 25+165\cdot 2}{40}=\frac{4740}{40}=118,5$ → b) Đúng. Tổng bình phương: $45^2\cdot 3+75^2\cdot 5+105^2\cdot 5+135^2\cdot 25+165^2\cdot 2=599400$, nên $\frac{1}{n}\sum x_i^2{n}_i=14985$. Phương sai $s^2=14985-118,5^2=14985-14042,25=942,75\ne 945$ → c) Sai. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{942,75}\approx 30,70\ne 3\sqrt{105}\approx 30,74$ → d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=3+5+5+25+2=40$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=\frac{45\cdot 3+75\cdot 5+105\cdot 5+135\cdot 25+165\cdot 2}{40}=118,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{599400}{40}-118,5^2=942,75\ne 945$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s=\sqrt{942,75}\approx 30,70\ne 3\sqrt{105}\approx 30,74$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm đại diện: 45 (3), 75 (5), 105 (5), 135 (25), 165 (2).
a) n = 3+5+5+25+2 = 40 → Đúng.
b) X̄ = (3·45+5·75+5·105+25·135+2·165)/40 = 4740/40 = 118,5 → Đúng.
c) Σn_i x_i² = 3·2025+5·5625+5·11025+25·18225+2·27225 = 599400; s² = 599400/40 − 118,5² = 14985 − 14042,25 = 942,75 ≠ 945 → Sai.
d) s = √942,75 ≈ 30,70, còn 3√105 ≈ 30,74 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = 3+5+5+25+2 = 40.
b) (AI giải đề cho tôi)
X̄ = 4740/40 = 118,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 599400/40 − 118,5² = 942,75 ≠ 945.
d) (AI giải đề cho tôi)
s = √942,75 ≈ 30,70 ≠ 3√105 ≈ 30,74.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=6+10+14+5+5=40$. Các giá trị đại diện: $152,5;157,5;162,5;167,5;172,5$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 152,5+10\cdot 157,5+14\cdot 162,5+5\cdot 167,5+5\cdot 172,5}{40}=\frac{6465}{40}=161,625$.
Phương sai: $s^2=\frac{6(152,5-161,625{)}^2+10(157,5-161,625{)}^2+14(162,5-161,625{)}^2+5(167,5-161,625{)}^2+5(172,5-161,625{)}^2}{40}=\frac{1444,375}{40}\approx 36,109$.
Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{36,109}\approx 6,01\in (6;6,5)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay mỗi nhóm bằng giá trị đại diện: 10,3; 10,5; 10,7; 10,9 với tần số 3; 7; 8; 2. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 10,3+7\cdot 10,5+8\cdot 10,7+2\cdot 10,9}{20}=\frac{211,8}{20}=10,59$. Phương sai: $s^2=\frac{3(-0,29{)}^2+7(-0,09{)}^2+8(0,11{)}^2+2(0,31{)}^2}{20}=\frac{0,2523+0,0567+0,0968+0,1922}{20}=\frac{0,598}{20}=0,0299$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{0,0299}\approx 0,17$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $x_1=42,5;x_2=47,5;x_3=52,5;x_4=57,5;x_5=62,5;x_6=67,5$ với tần số $n_i=4;14;8;10;6;2$ ($n=44$).

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{42,5\cdot 4+47,5\cdot 14+52,5\cdot 8+57,5\cdot 10+62,5\cdot 6+67,5\cdot 2}{44}=\frac{2340}{44}=\frac{585}{11}\approx 53,18.$$

Tính $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 1806,25+14\cdot 2256,25+8\cdot 2756,25+10\cdot 3306,25+6\cdot 3906,25+2\cdot 4556,25=126475$.

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{126475}{44}-{\left(\frac{585}{11}\right)}^2\approx 2874,43-2828,31\approx 46,1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=26$. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=6,5$ nằm trong nhóm $[7;11)$ nên $Q_1=7+\frac{6,5}{14}\cdot 4=7+\frac{13}{7}\approx 8,857$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=19,5$; tần số tích lũy: 14, 15, 16, 24 nên nằm trong nhóm $[19;23)$: $Q_3=19+\frac{19,5-16}{8}\cdot 4=19+1,75=20,75$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 20,75-8,857=11,893\approx 11,9$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 11,5; 13,5; 15,5; 17,5; 19,5 với tần số 3; 12; 15; 24; 2 (n = 56). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 11,5+12\cdot 13,5+15\cdot 15,5+24\cdot 17,5+2\cdot 19,5}{56}=\frac{888}{56}\approx 15,857$. Tổng bình phương: $3\cdot 11,5^2+12\cdot 13,5^2+15\cdot 15,5^2+24\cdot 17,5^2+2\cdot 19,5^2=14298$, nên $\frac{14298}{56}\approx 255,321$. Phương sai: $s^2\approx 255,321-(15,857{)}^2\approx 3,87$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=77,5;x_2=82,5;x_3=87,5;x_4=92,5;x_5=97,5$ với tần số $n_1=20,n_2=15,n_3=25,n_4=18,n_5=16$, nên $n=94$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{20\cdot 77,5+15\cdot 82,5+25\cdot 87,5+18\cdot 92,5+16\cdot 97,5}{94}=\frac{8200}{94}\approx 87,234.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{1}{94}\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2\approx \frac{20(9,734{)}^2+15(4,734{)}^2+25(0,266{)}^2+18(5,266{)}^2+16(10,266{)}^2}{94}\approx \frac{4418,3}{94}\approx 47,0.$$

Vậy phương sai xấp xỉ $47$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm lần lượt là $x_1=15,x_2=45,x_3=75,x_4=105,x_5=135$ với tần số $n_1=9,n_2=10,n_3=9,n_4=15,n_5=7$ (tổng $n=50$).

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{9\cdot 15+10\cdot 45+9\cdot 75+15\cdot 105+7\cdot 135}{50}=\frac{135+450+675+1575+945}{50}=\frac{3780}{50}=75,6.$$

Tổng bình quân của $x_i^2$:
$$\frac{9\cdot 225+10\cdot 2025+9\cdot 5625+15\cdot 11025+7\cdot 18225}{50}=\frac{365850}{50}=7317.$$

Phương sai:
$$s^2=7317-75,6^2=7317-5715,36=1601,64.$$

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $1601,64$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=4,x_2=6,x_3=8$ với tần số $n_1=8,n_2=17,n_3=5$, $n=30$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 4+17\cdot 6+5\cdot 8}{30}=\frac{174}{30}=5,8$.
Phương sai: $s^2=\frac{8\cdot 4^2+17\cdot 6^2+5\cdot 8^2}{30}-5,8^2=\frac{1060}{30}-33,64\approx 35,333-33,64=1,693\approx 1,7$.
Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: giá trị đại diện nhóm [110;120) là (110+120)/2 = 115.
b) Sai: số trung bình $\bar{x}=\frac{95\cdot 2+105\cdot 3+115\cdot 4+125\cdot 6+135\cdot 3+145\cdot 2}{20}=\frac{2410}{20}=120,5\ne 120$.
c) Đúng: $s^2=\frac{2\cdot 25,5^2+3\cdot 15,5^2+4\cdot 5,5^2+6\cdot 4,5^2+3\cdot 14,5^2+2\cdot 24,5^2}{20}=\frac{4094}{20}=204,7$, nên $s=\sqrt{204,7}\approx 14,31$.
d) Sai: $\frac{3n}{4}=15$. Cộng dần tần số: 2, 5, 9, 15, 18, 20 nên nhóm chứa $Q_3$ là [120;130): $Q_3=120+\frac{15-9}{6}\cdot 10=130\ne 131$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện là trung điểm (110+120)/2 = 115.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình bằng 2410/20 = 120,5, không phải 120.
c) (AI giải đề cho tôi)
s² = 4094/20 = 204,7, s ≈ 14,31.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 120 + (15-9)/6·10 = 130, không phải 131.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=10,3;x_2=10,5;x_3=10,7;x_4=10,9$ với tần số $n_1=3;n_2=7;n_3=8;n_4=2$, cỡ mẫu $n=20$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 10,3+7\cdot 10,5+8\cdot 10,7+2\cdot 10,9}{20}=\frac{211,8}{20}=10,59$.
Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(10,3-10,59{)}^2+7(10,5-10,59{)}^2+8(10,7-10,59{)}^2+2(10,9-10,59{)}^2\right]$
$=\frac{1}{20}(0,2523+0,0567+0,0968+0,1922)=\frac{0,598}{20}=0,0299$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của các nhóm: $x_1=3,25$, $x_2=3,75$, $x_3=4,25$, $x_4=4,75$ với tần số tương ứng $2,6,8,4$; cỡ mẫu $n=20$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{2\cdot 3,25+6\cdot 3,75+8\cdot 4,25+4\cdot 4,75}{20}=\frac{6,5+22,5+34+19}{20}=\frac{82}{20}=4,1$.

Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[2(3,25-4,1{)}^2+6(3,75-4,1{)}^2+8(4,25-4,1{)}^2+4(4,75-4,1{)}^2\right]=\frac{1,445+0,735+0,18+1,69}{20}=\frac{4,05}{20}=0,2025\approx 0,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 95, 105, 115, 125, 135, 145 với tần số 2, 3, 4, 6, 3, 2 (n = 20). Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{95\cdot 2+105\cdot 3+115\cdot 4+125\cdot 6+135\cdot 3+145\cdot 2}{20}=\frac{2410}{20}=120,5$. Tổng bình phương độ lệch: $2(95-120,5{)}^2+3(105-120,5{)}^2+4(115-120,5{)}^2+6(125-120,5{)}^2+3(135-120,5{)}^2+2(145-120,5{)}^2=1300,5+720,75+121+121,5+630,75+1200,5=4095$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{4095}{20}=204,75$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{204,75}\approx 14,31\approx 14,3$. Lưu ý: một số lời giải AI trung gian ghi nhầm tổng là 4084 (s² = 204,2), tuy nhiên kết quả đúng là 4095 và đáp số làm tròn vẫn là 14,3.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện của nhóm: $x_1=162,x_2=166,x_3=170,x_4=174,x_5=178$ với tần số $3,8,18,12,9$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{3\cdot 162+8\cdot 166+18\cdot 170+12\cdot 174+9\cdot 178}{50}=\frac{8564}{50}=171,28$.

Phương sai mẫu: $s^2=\frac{1}{50}\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{3(162-171,28{)}^2+8(166-171,28{)}^2+18(170-171,28{)}^2+12(174-171,28{)}^2+9(178-171,28{)}^2}{50}=\frac{1006,08}{50}=20,1216$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{20,1216}\approx 4,4857\approx 4,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$, nên $\frac{n}{4}=7,5$ và $\frac{3n}{4}=22,5$. Tần số tích lũy: $6;11;21;27;30$.

Tứ phân vị thứ nhất: vì $7,5>6$ và $7,5\le 11$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[800;850)$:
$$Q_1=800+\frac{7,5-6}{5}\cdot 50=800+15=815.$$

Tứ phân vị thứ ba: vì $22,5>21$ và $22,5\le 27$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[900;950)$:
$$Q_3=900+\frac{22,5-21}{6}\cdot 50=900+12,5=912,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=912,5-815=97,5.$$

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 152, 156, 160, 164, 168 với tần số 25, 50, 200, 175, 50 (n = 500). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{25\cdot 152+50\cdot 156+200\cdot 160+175\cdot 164+50\cdot 168}{500}=\frac{80700}{500}=161.4$. Phương sai: $s^2=\frac{25(-9.4{)}^2+50(-5.4{)}^2+200(-1.4{)}^2+175(2.6{)}^2+50(6.6{)}^2}{500}=\frac{2209+1458+392+1183+2178}{500}=\frac{7420}{500}=14.84$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{14.84}\approx 3.8523\approx 3.85$ cm.