Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+4}{1-x}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(1-x)-(2x+4)(-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{2-2x+2x+4}{(1-x{)}^2}=\frac{6}{(1-x{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ (không đồng biến trên hợp của hai khoảng vì hàm không liên tục tại $x=1$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(-3;1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;+\infty )\subset (1;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Các khoảng còn lại đều chứa điểm mà $f^{\prime }(x)>0$ (ví dụ $x=0$ với $f^{\prime }(0)>0$) nên không thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$. Vì $(x+1{)}^2>0$ với mọi $x\ne -1$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x+4)(x-2)$: $y^{\prime }<0$ khi $-4<x<2$, $x\ne -1$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-4;-1)$ và $(-1;2)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{2x^2+1}$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$. Vì $\sqrt{2x^2+1}>0$ với mọi $x$, nên $y^{\prime }>0\iff x>0$ và $y^{\prime }<0\iff x<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ và nghịch biến trên $(-\infty ;0)$. Do đó mệnh đề đúng là A. (D sai vì trên $(-1;0)$ hàm nghịch biến còn trên $(0;1)$ hàm đồng biến.)

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $2x-x^2\ge 0\iff x\in [0;2]$. Với $x\in (0;2)$, $y^{\prime }=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$. Trên $(0;1)$ thì $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến; trên $(1;2)$ thì $y^{\prime }<0$ nên nghịch biến. Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong bậc bốn dạng W: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$. Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng mà $f^{\prime }(x)<0$, tức là trên $(-\infty ;-1)$ (và cả $(0;1)$, nhưng chỉ $(-\infty ;-1)$ xuất hiện trong các đáp án). Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên ở trang 8: $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$; hàm số đạt cực tiểu bằng $0$ tại $x=-1$ và cực đại bằng $4$ tại $x=1$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên $(-1;1)$. Xét các đáp án: A sai vì trên $(-1;1)$ hàm đồng biến; B sai vì trên $(-1;1)$ hàm đồng biến nên không thể nghịch biến trên $(-1;+\infty )$; C sai vì trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến; D đúng: hàm số đồng biến trên $(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ (không đồng biến trên hợp của hai khoảng vì hàm không xác định tại $x=-1$ và không so sánh được giá trị qua điểm đó). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5-2x}{x+2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-2(x+2)-(5-2x)}{(x+2{)}^2}=\frac{-9}{(x+2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -2$. Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$ (không nghịch biến trên toàn tập xác định vì hàm không liên tục tại $x=-2$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, nên hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Các khoảng khác: $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến; $(-\infty ;1)$ không phải khoảng đồng biến vì chứa $(-1;0)$ nơi $y^{\prime }<0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn miền xác định và không nghịch biến trên khoảng nào. Do đó mệnh đề đúng là D: hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x-1}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- B: $y=x^3+2x$ có $y^{\prime }=3x^2+2>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$.
- C: $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=\frac{x+1}{x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{2}{(x+3{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -3$, nhưng hàm số chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(-3;+\infty )$, không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$ là $y=x^3+2x$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$ (trang 8): đồ thị cắt trục hoành tại $x=-3$, $x=-2$ và tại $O$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;+\infty )$. Xét từng mệnh đề: A sai vì trên $(-2;0)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến; B đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;+\infty )$ nên $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng này; C sai vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$ nên hàm nghịch biến; D sai vì $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-2)$ nên hàm đồng biến. Vậy đáp án đúng là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số $y=x^3+3x+2$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$. Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;1)$ và $(2;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$. Trên $(1;2)$ hàm nghịch biến, trên $(1;+\infty )$ và $(-\infty ;2)$ hàm không đồng biến vì có đổi dấu đạo hàm. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có D nêu đúng một khoảng đồng biến là $(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$. Lưu ý: hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ riêng biệt; đáp án D là lựa chọn đúng theo cách trình bày của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(-1;1)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(1;4)$ (đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=4$). Do đó $f$ đồng biến trên $(-1;1)$ và nghịch biến trên $(1;4)$. Vậy khẳng định đúng là C: hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$. Các phương án A, B, D sai vì trên $(1;4)$ hàm nghịch biến, còn trên $(-1;4)$ hàm không nghịch biến toàn bộ (đồng biến trên $(-1;1)$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3-3x^2+4$, ta có $y^{\prime }=-3x^2-6x=-3x(x+2)$. Trên $(-2;0)$: $x<0$ và $x+2>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến. Trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$: $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến. Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+5)}{(x-1{)}^2}=\frac{2(x-1{)}^2-(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. Vì $(x-1{)}^2>0$ với $x\ne 1$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x-3)(x+1)$: $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<3$, $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-1;1)$ và $(1;3)$ (không nghịch biến trên hợp hay hiệu của hai khoảng vì hàm không liên tục tại $x=1$). Đáp án C.