Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{mx+5}{2x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$, xác định trên hai khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$. Ta có $y^{\prime }=\frac{m(2x+1)-2(mx+5)}{(2x+1{)}^2}=\frac{m-10}{(2x+1{)}^2}$. Vì $(2x+1{)}^2>0$ với mọi $x\ne -\frac{1}{2}$, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }>0$, tức $m-10>0\iff m>10$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. Xét các mệnh đề: A sai vì hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$; B sai vì $f^{\prime }<0$ trên $(-2;0)$ nên hàm nghịch biến; C sai vì trên $(-\infty ;0)$ hàm không đồng biến (nghịch biến trên $(-2;0)$); D đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x) âm trên (-∞;1), dương trên (1;3), âm trên (3;7), dương trên (7;+∞); f(1)=-17, f(3)=-13, f(7)=-18.
a) Trên (7;+∞) có f'(x)>0 nên hàm đồng biến → đúng.
b) f(1)=-17 < -13=f(3) → đúng.
c) Trên (1;3) hàm đồng biến, trên (3;7) hàm nghịch biến, nên khẳng định nghịch biến trên toàn (1;7) là sai.
d) f'(3x-1)=0 ⟺ 3x-1∈{1;3;7} ⟺ x∈{2/3; 4/3; 8/3}. Vậy x=2/3 là nghiệm nhưng không phải nghiệm duy nhất → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)>0 trên (7;+∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên f(1)=-17 và f(3)=-13, nên f(1)<f(3).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên (1;3) và nghịch biến trên (3;7), do đó không nghịch biến trên toàn khoảng (1;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(3x-1)=0 ⟺ 3x-1∈{1;3;7} ⟺ x∈{2/3; 4/3; 8/3}, nên x=2/3 không phải nghiệm duy nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số giảm dần từ $-\infty$ đến $x=1$ (điểm cực tiểu tại $(1;0)$), sau đó tăng dần trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$: đáp án D. A sai vì trên $(0;2)$ hàm vừa giảm vừa tăng; B sai vì hàm giảm trên $(-1;1)$; C sai vì hàm tăng trên $(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(1-x{)}^2(x+1{)}^3(3-x)$. Ta có $(1-x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, nên dấu của $f^{\prime }(x)$ là dấu của $(x+1{)}^3(3-x)$, tức dấu của $(x+1)(3-x)$. Với $x<-1$: $(x+1)<0$, $(3-x)>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Với $-1<x<3$: $(x+1)>0$, $(3-x)>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ (đồng biến). Với $x>3$: $(x+1)>0$, $(3-x)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;3)$. Trong các đáp án, khoảng thuộc $(-1;3)$ là $(1;3)$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^4(x-1)(2-x{)}^3$. Vì $(x+1{)}^4\ge 0$ và $(2-x{)}^3$ cùng dấu với $2-x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do tích $(x-1)(2-x)$ quyết định. Xét $(x-1)(2-x)>0\iff 1<x<2$. Kiểm tra: trên $(1;2)$, $x-1>0$ và $2-x>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Trên $(-\infty ;-1)$: $x-1<0$, $2-x>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Trên $(-1;1)$: $x-1<0$, $2-x>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Trên $(2;+\infty )$: $x-1>0$, $2-x<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{x+2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{3(x+2)-(3x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{7}{(x+2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -2$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$; không đồng biến trên toàn miền xác định vì gián đoạn tại $x=-2$. Hàm số không có cực trị nên D sai. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, ta có $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$.
A: $y=\frac{x-2}{x+1}$, $y^{\prime }=\frac{1\cdot 1-(-2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên đồng biến trên từng khoảng xác định.
B: $y=\frac{2x-1}{x+3}$, $y^{\prime }=\frac{2\cdot 3-(-1)\cdot 1}{(x+3{)}^2}=\frac{7}{(x+3{)}^2}>0$ nên đồng biến.
C: $y=\frac{x+3}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{1\cdot 1-3\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
D: $y=x^3+x$, $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là parabol cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$, nằm dưới trục hoành trên khoảng $(-1;2)$, tức $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (-1;2)$. Do đó $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(2;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến; khoảng $(0;+\infty )$ chứa cả phần $f^{\prime }>0$ lẫn $f^{\prime }<0$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-3)$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<3$ (hai nhân tử trái dấu), nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;3)$. Với $x<-2$ hoặc $x>3$ thì $f^{\prime }(x)>0$ (đồng biến), loại A, B, D. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=f^{\prime }(x)<0$ trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng đó (tại $x=2$ hàm không xác định, có tiệm cận đứng). Xét các đáp án: khoảng $(1;3)$ và $(1;+\infty )$ đều chứa điểm $x=2$ nên không thể là khoảng nghịch biến; hàm không nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty )$. Chỉ có $(-\infty ;2)$ thỏa mãn. Vậy chọn B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(3x-3)(4x+5)$, với nghiệm $x=1$ và $x=-\frac{5}{4}$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-\frac{5}{4}$ hoặc $x>1$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-\frac{5}{4}<x<1$. Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{5}{4}\right)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(4;+\infty )\subset (1;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }>0$ trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng đó (không đồng biến trên khoảng chứa $x=2$ vì hàm không xác định tại $x=2$). Xét các đáp án: A. $(1;+\infty )$ chứa $x=2$ nên sai; B. $(-\infty ;3)$ chứa $x=2$ nên sai; C. $(-\infty ;+\infty )$ sai vì hàm không xác định tại $x=2$; D. $(5;+\infty )\subset (2;+\infty )$ nên hàm đồng biến trên khoảng này. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của Câu 4: hàm số xác định với $x\ne -5$, có $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-7)$ và $(2;+\infty )$, $y^{\prime }<0$ trên $(-7;-5)$ và $(-5;2)$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-7)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;+\infty )$ (đáp án C) là khoảng đồng biến. Lưu ý $(-7;2)$ và $(-7;+\infty )$ chứa điểm $x=-5$ không thuộc tập xác định nên không thể là khoảng đồng biến; $(-\infty ;2)$ chứa cả đoạn nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=2x^2-10x+12=2(x-2)(x-3)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức $2<x<3$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;3)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;2)$ và $(4;7)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;4)$ và $(7;+\infty )$; $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=2,4,7$.
a) Trên $(2;4)$ hàm số nghịch biến nên $f(2)>f(4)$. Đúng.
b) $f^{\prime }(3x-4)=0\iff 3x-4\in \{2;4;7\}\iff x\in \{2;\frac{8}{3};\frac{11}{3}\}$. Vậy $x=\frac{11}{3}$ là nghiệm. Đúng.
c) Trên $(-\infty ;2)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến, không thể nghịch biến trên toàn khoảng $(-\infty ;3)$. Sai.
d) $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (-\infty ;2)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $(2;4)$ nên $f(2)>f(4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=\frac{11}{3}$ thì $3x-4=7$ và $f^{\prime }(7)=0$, nên $x=\frac{11}{3}$ là nghiệm của $f^{\prime }(3x-4)=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;2)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến, do đó không nghịch biến trên $(-\infty ;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;2)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định với $x\ne 1$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(-3)(3-3x)-(-3x-2)(-3)}{(3-3x{)}^2}=\frac{-9+9x-9x-6}{(3-3x{)}^2}=\frac{-15}{(3-3x{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(5;+\infty )\subset (1;+\infty )$ là khoảng nghịch biến (đáp án B $(0;+\infty )$ chứa điểm $x=1$ nên không thỏa mãn).

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $y=\frac{-2x-4}{-2x-2}=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) $y^{\prime }=-\frac{1}{(x+1{)}^2}=-\frac{4}{(-2x-2{)}^2}$, nên khẳng định $y^{\prime }=\frac{4}{(-2x-2{)}^2}$ sai (thiếu dấu trừ).
b) Vì $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó: đúng.
c) Bảng biến thiên trong đề cho $y^{\prime }>0$ và hàm đồng biến, mâu thuẫn với $y^{\prime }<0$: sai.
d) Đồ thị ở đầu trang 12 là hyperbol có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua điểm $(0;2)$, hai nhánh nghịch biến — khớp với hàm số đã cho: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\frac{4}{(-2x-2{)}^2}$, đề thiếu dấu trừ.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên từng khoảng nên nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho hàm đồng biến, sai vì hàm nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hyperbol có TCĐ $x=-1$, TCN $y=1$, đi qua $(0;2)$, hai nhánh nghịch biến, khớp hình vẽ ở đầu trang 12.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{2x^2+16x+8}{x+8}=2x+\frac{8}{x+8}$ (tách tử theo mẫu), nên $y^{\prime }=2-\frac{8}{(x+8{)}^2}$. Hàm nghịch biến khi $y^{\prime }<0\iff (x+8{)}^2<4\iff -10<x<-6$, với điều kiện $x\ne -8$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-10;-8)$ và $(-8;-6)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-8;-6)$ (đáp án A) nằm hoàn toàn trong miền nghịch biến và không chứa điểm gián đoạn $x=-8$; khoảng $(-10;-6)$ chứa $x=-8$ nên hàm không xác định tại đó, không thể nói nghịch biến trên cả khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sqrt{x^2-14x+45}$ xác định khi $x^2-14x+45\ge 0$, tức $(x-5)(x-9)\ge 0$, suy ra tập xác định $D=(-\infty ;5]\cup [9;+\infty )$. Với $x<5$, ta có $y^{\prime }=\frac{2x-14}{2\sqrt{x^2-14x+45}}=\frac{x-7}{\sqrt{x^2-14x+45}}$. Trên $(-\infty ;5)$, mẫu dương và $x-7<0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến trên $(-\infty ;5)$. Trong các đáp án, khoảng $(-\infty ;0)$ nằm trong miền nghịch biến này (các khoảng $(5;9)$ và $(8;+\infty )$ không thuộc tập xác định hoặc không nghịch biến). Vậy chọn A.