Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=e^x{x}^2$ có đạo hàm $y^{\prime }=e^x(x^2+2x)=e^{x}x(x+2)$. Vì $e^x>0$ với mọi $x$, ta có $y^{\prime }<0\iff x(x+2)<0\iff -2<x<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$, tức $a=-2$, $b=0$, suy ra $b-a=0-(-2)=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 19, mã đề 1001: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số bậc ba có điểm cực đại tại $x=-1$ và điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-4$). Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(0;+\infty )$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là parabol cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=2$, với $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(1;2)$. Do đó hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1;2)$. Trên $(-\infty ;1)$ và $(2;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$. $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$. Với $x<-3$: $y^{\prime }>0$; với $-3<x<-1$: $y^{\prime }<0$; với $x>-1$: $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-1;1)$ (đúng, đáp án A). B sai vì hàm nghịch biến trên $(1;+\infty )$ chứ không phải $(-1;+\infty )$. C sai vì hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$. D sai vì hàm đồng biến trên $(-1;1)$ nên không nghịch biến trên $(-\infty ;1)$. Khớp với đáp án nguồn A (mã đề 1203).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (dạng chữ W), hàm số có hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$, điểm cực đại tại $x=0$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có $(-1;0)$ xuất hiện, tương ứng phương án B. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(-3;0)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Các khoảng khác $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến) hoặc không đồng biến liên tục. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: trên khoảng $(-2;-1)$ đồ thị đi xuống (nghịch biến), trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên (đồng biến), trên khoảng $(1;2)$ đồ thị đi xuống (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, tương ứng đáp án D. Điều này khớp với đáp án của đề (Câu 2, mã đề 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số nghịch biến trên khoảng từ trái đến $x=-2$ (đạt cực tiểu $(-2;-4)$), đồng biến trên $(-2;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$ (cực tiểu $(1;-1)$), rồi đồng biến trên $(1;3)$ (đạt $(3;4)$). Xét các đáp án: A $(-4;0)$ chứa đoạn nghịch biến $(-4;-2)$ nên sai; C $(-1;1)$ chứa đoạn nghịch biến $(0;1)$ nên sai; D $(-1;3)$ chứa đoạn nghịch biến $(0;1)$ nên sai. Trên khoảng $(2;3)$ hàm số đồng biến hoàn toàn. Vậy chọn B, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án trang 11, Câu 2, Đề 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-1;1)$ hàm số đồng biến từ $-\sqrt{2}$ đến $+\infty$, trên $(1;+\infty )$ đồng biến từ $-\infty$ đến $-1$, trên $(-\infty ;-1)$ nghịch biến từ $1$ đến $-\sqrt{2}$. Xét từng khẳng định: A) Trên $(1;+\infty )$ hàm đồng biến nên $f(2)<f(3)$ đúng. B) Tương tự $f(3)<f(4)$ đúng. C) $f(-1)=-\sqrt{2}$, trên $(-1;1)$ hàm đồng biến nên $f(0)>f(-1)$, đúng. D) Trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến nên $f(-2)>f(-1)$ (vì $f(-2)$ thuộc khoảng $(-\sqrt{2};1)$ còn $f(-1)=-\sqrt{2}$), do đó khẳng định $f(-2)<f(-1)$ là sai. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba có điểm cực đại tại $x=-2$ và điểm cực tiểu tại $x=0$. Do đó $f^{\prime }(x)>0$ (hàm đồng biến) trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(0;+\infty )$ thỏa mãn. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ (tiếp xúc) và $x=1$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<1$. Do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, nghịch biến trên $(-2;1)$. Vì $-3<-2$ và $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ nên $f(-3)<f(-2)$: mệnh đề C đúng. Xét các mệnh đề khác: trên $(-2;1)$ hàm $f$ nghịch biến nên $f(-1)>f(1)$ (B sai) và $f(-2)>f(1)$ (D sai). So sánh $f(-3)$ với $f(-1)$ đòi hỏi so sánh diện tích vùng $(f^{\prime }>0)$ trên $(-3;-2)$ và vùng $(f^{\prime }<0)$ trên $(-2;-1)$, không kết luận được chỉ từ tính đơn điệu (A không chọn). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba có cực đại tại $x=-2$ và cực tiểu tại $x=0$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-2;0)$ và đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(0;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ từ $1$ xuống $-\sqrt{2}$, đồng biến trên $(-1;1)$ từ $-\sqrt{2}$ lên $+\infty$, có tiệm cận đứng $x=1$, và đồng biến trên $(1;+\infty )$ từ $-\infty$ lên $-1$. Xét từng khẳng định: A) $f(-1)=-\sqrt{2}$, trên $(-1;1)$ hàm đồng biến nên $f(0)>f(-1)$, đúng. B) Trên $(1;+\infty )$ hàm đồng biến nên $f(3)<f(4)$, đúng. C) Tương tự $f(2)<f(3)$, đúng. D) Trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến nên $f(-2)>f(-1)$, do đó khẳng định $f(-2)<f(-1)$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x-1}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ nhưng hàm số không xác định tại $x=-1$, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3-3x$ có $y^{\prime }=3x^2-3$ đổi dấu tại $x=\pm 1$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^4-3x^2+1$ có $y^{\prime }=4x^3-6x=2x(2x^2-3)$ đổi dấu, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^3+3x$ có $y^{\prime }=3x^2+3=3(x^2+1)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Kết quả khớp với bảng đáp án nguồn (Mã đề 1020, câu 11: D).

Trả lời: 5. Xét hàm số $P=15I-1,5I^2$ với $0\le I\le 10$. Ta có: $P^{\prime }=15-3I$; $P^{\prime }=0\iff I=5\in [0;10]$. Bảng biến thiên: $I$: 0, 5, 10; $P^{\prime }$: $+$, 0, $-$; $P$: $0\nearrow 37,5\searrow 0$. Từ bảng biến thiên ta có công suất $P$ tăng trong khi cường độ dòng điện thuộc khoảng $(0;5)$.

Chọn D. Ta có với $y=x^3+3x$ thì $y^{\prime }=3x^2+3>0,\forall x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0\iff -3x(x-2)<0\iff x(x-2)>0\iff x<0$ hoặc $x>2$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;+\infty )$ thỏa mãn.

Đáp án chính thức (mã 201, Phần II, Câu 4): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng (theo bảng đáp án ĐSĐĐ). Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=4$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)\cup (1;4)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)\cup (4;+\infty )$.
a) Trên khoảng $(1;4)$, đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$, do đó hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1;4)$. → Đúng.
b) Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm $x=-1$, $x=1$, $x=4$ và đổi dấu tại cả ba điểm này, nên hàm số $y=f(x)$ có ba cực trị. → Sai.
c) Vì $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(1;4)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này; do $1<2<4$ nên $f(4)>f(2)>f(1)$. → Đúng.
d) Trên đoạn $[-1;4]$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$ nên hàm nghịch biến, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;4)$ nên hàm đồng biến. Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=1$, tức $mi{n}_{[-1;4]}f(x)=f(1)$. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có điểm cực tiểu tại $x=-2$ $(y=-4)$, điểm cực đại tại $x=0$ và điểm cực tiểu tại $x=1$ $(y=-1)$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2;0)$ và $(1;3)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(1;3)$ thỏa mãn, ứng với đáp án C. Điều này khớp với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 201: C).