Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) $d(A,\Delta )=\frac{|1-2+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \sqrt{5}$ → sai. b) Đường vuông góc với $\Delta$ có VTCP là pháp tuyến của $\Delta$, tức $\vec{n}=(1;1)$, qua $A(1;2)$: $1(x-1)+1(y-2)=0\iff x+y-3=0$ → đúng. c) H là giao của $\Delta$ và $x+y-3=0$: giải hệ $x+y=3,x-y=-2$ được $x=\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$, tức $H\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)\ne \left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ → sai. d) Gọi $I$ trung điểm $AB$: $I(-1;3)$, khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ nên $T=2(MI+MO)$. Với $M\in \Delta$: $I(-1;3)$ cho $-1-3+2=-2<0$, $O(0;0)$ cho $2>0$ nên $I,O$ khác phía so với $\Delta$, do đó $MI+MO\ge d(I,\Delta )+d(O,\Delta )=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$, suy ra $T_{\min }=4\sqrt{2}\ne \sqrt{10}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\frac{|1-2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ne \sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường vuông góc với $\Delta$ có VTCP $(1;-1)$, pháp tuyến $(1;1)$, qua $A(1;2)$: $x+y-3=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $x+y=3$ và $x-y+2=0$ được $H\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$, không phải $\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $I(-1;3)$ trung điểm $AB$: $T=2(MI+MO)\ge 2\left(d(I,\Delta )+d(O,\Delta )\right)=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\ne \sqrt{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $I\left(\frac{1+4}{2};\frac{2+5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$. Vì $M$ cách đều $A$ và $B$ nên $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(3;3)$ nên đường trung trực có dạng $(x-\frac{5}{2})+(y-\frac{7}{2})=0$, tức $x+y=6$. Thay vào phương trình sông $\Delta :3x-4y-5=0$: với $x=6-y$ ta được $3(6-y)-4y-5=0\Rightarrow 13-7y=0\Rightarrow y=\frac{13}{7}$, suy ra $x=6-\frac{13}{7}=\frac{29}{7}$. Vậy $M\left(\frac{29}{7};\frac{13}{7}\right)$ và $a+b=\frac{29}{7}+\frac{13}{7}=\frac{42}{7}=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách ngắn nhất từ người trên ô tô (nằm trên đường thẳng $d$) đến trạm viễn thông $M(1;2)$ chính là khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d:8x-6y-6=0$.

Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
$$d(M,d)=\frac{|8\cdot 1-6\cdot 2-6|}{\sqrt{8^2+(-6{)}^2}}=\frac{|8-12-6|}{\sqrt{100}}=\frac{10}{10}=1.$$

Vậy khoảng cách ngắn nhất là $1$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB đi qua A(3;0), B(0;4) có phương trình: x/3 + y/4 = 1, tức 4x + 3y - 12 = 0. Gọi M(0;m) thuộc Oy. Độ dài AB = √(3²+4²) = 5. Khoảng cách từ M đến AB: d(M, AB) = |4·0 + 3m - 12|/5 = |3m - 12|/5. Diện tích tam giác MAB = ½ · AB · d = ½ · 5 · |3m-12|/5 = |3m-12|/2 = 6 ⟹ |3m - 12| = 12 ⟹ 3m - 12 = 12 hoặc 3m - 12 = -12 ⟹ m = 8 hoặc m = 0. Với m = 0, M(0;0) không trùng A hay B nên tam giác MAB hợp lệ (diện tích tam giác OAB = ½·3·4 = 6, đúng). Vậy M(0;0) hoặc M(0;8).

(AI giải đề cho tôi)
A thuộc Δ: x + 2y − 4 = 0 và có hoành độ x = 2, thay vào: 2 + 2y − 4 = 0 ⟹ y = 1. Vậy A(2; 1). Đường thẳng Δ có vectơ pháp tuyến n_Δ = (1; 2). Vì d vuông góc với Δ nên d nhận n_Δ làm vectơ chỉ phương, tức vectơ pháp tuyến của d là n_d = (2; −1). Phương trình d qua A(2; 1): 2(x − 2) − 1(y − 1) = 0 ⟺ 2x − y − 3 = 0. Kiểm tra: A(2;1) thỏa 2·2 − 1 − 3 = 0; tích vô hướng n_d · n_Δ = 2·1 + (−1)·2 = 0 nên d ⊥ Δ. Vậy d: 2x − y − 3 = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=1-t,y=-2$ (tức $y=-2+0t$). Vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-1;0)$ (hoặc bất kỳ vecto khác tỉ lệ, ví dụ $(1;0)$). Trong các đáp án, chỉ $\vec{u}=(-1;0)$ thỏa mãn, nên chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ song song với $d^{\prime }:x+y-10=0$ nên có dạng $x+y+c=0$. Vì $d$ qua $M(0;1)$ nên $0+1+c=0\Rightarrow c=-1$. Vậy $d:x+y-1=0$. Kiểm tra: $M(0;1)$ thỏa mãn $0+1-1=0$, và hệ số $a,b$ của $d$ và $d^{\prime }$ lần lượt bằng nhau nên hai đường thẳng song song. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x-2y+5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=-2$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(3;-2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=-2$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(1;-2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-4y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=-4$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-4)$. Chia đôi ta được $\vec{n}=(1;-2)$, cũng là một vecto pháp tuyến của $d$ vì $(1;-2)=\frac{1}{2}(2;-4)$. Kiểm tra: $(1;-2)$ không tỉ lệ với $(2;1)$, $(-2;3)$ hay $(1;3)$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=3+2t,y=5-t$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(2;-1)$, tương ứng hệ số của $t$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=2-3t,y=4+2t$, vecto chỉ phương là hệ số của $t$: $\vec{u}=(-3;2)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(2;1)$ ứng với $t=0$. Kiểm tra: với $t=0$ thì $x=2,y=1$, nên điểm $(2;1)$ thuộc $d$. Các điểm khác không cho cùng giá trị $t$ (ví dụ $(4;5)$: $t=1/2$ từ $x$ nhưng $t=4/5$ từ $y$, loại). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm thuộc đường thẳng khi tồn tại $t$ sao cho $x=-4+t$, $y=9-t$. Với $t=0$ ta được điểm $(-4;9)$, nên điểm $(-4;9)$ thuộc $d$. Kiểm tra các điểm khác: $(1;-1)$ cần $t=5$ từ $x$ nhưng $y=9-5=4\ne -1$; $(-1;1)$ cần $t=3$ nhưng $y=6\ne 1$; $(9;4)$ cần $t=13$ nhưng $y=-4\ne 4$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=1-5t,y=4-3t$. Với $t=0$ ta được điểm $(1;4)$ thuộc $d$. Kiểm tra các đáp án khác: $(1;-5)$: từ $x=1\Rightarrow t=0\Rightarrow y=4\ne -5$, loại. $(4;-3)$: $1-5t=4\Rightarrow t=-3/5\Rightarrow y=4+9/5\ne -3$, loại. $(-5;-3)$: $1-5t=-5\Rightarrow t=6/5\Rightarrow y=4-18/5\ne -3$, loại. Vậy điểm thuộc $d$ là $(1;4)$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $x-y+3=0$: A $(1;-1)$: $1-(-1)+3=5\ne 0$; B $(4;-7)$: $4-(-7)+3=14\ne 0$; C $(4;2)$: $4-2+3=5\ne 0$; D $(4;7)$: $4-7+3=0$. Vậy điểm $(4;7)$ thuộc đường thẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $d:2x+3y-6=0$:
- $M(0;2)$: $2\cdot 0+3\cdot 2-6=0+6-6=0$ → thuộc $d$.
- $M(2;0)$: $4+0-6=-2\ne 0$.
- $M(0;3)$: $0+9-6=3\ne 0$.
- $M(2;3)$: $4+9-6=7\ne 0$.
Vậy điểm thuộc đường thẳng $d$ là $M(0;2)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-2y+1=0$ và $d_2:3x-6y-5=0$ có $\frac{1}{3}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}\ne \frac{1}{-5}$, tức cùng vecto pháp tuyến $(1;-2)$ nhưng hệ số tự do không tỉ lệ, nên $d_1\parallel d_2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi) $d_2:6x-2y-2=0$ chia 2 cho $3x-y-1=0$, trùng với $d_1$. Vậy hai đường thẳng trùng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:4x-3y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(4;-3)$ và $d_2:3x+4y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(3;4)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=12-12=0$, nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, suy ra $d_1$ vuông góc với $d_2$. Vậy đáp án C.