Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $BD\perp AC$ (hình vuông) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)$. b) Sai: vì $BD\perp (SAC)$ nên $BD\perp SC$, góc giữa $BD$ và $SC$ bằng $90^{\circ }$ chứ không phải $45^{\circ }$. c) Đúng: $CD\perp AD$, $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, suy ra $CD\perp SD$, tam giác $SDC$ vuông tại $C$. d) Đúng: $AH\subset (SAC)$ nên $BD\perp AH$; mặt khác $AH\perp SO$ (giả thiết). Vì $AH$ vuông với hai đường cắt $BD$ và $SO$ trong mặt phẳng $(SBD)$ nên $AH\perp (SBD)$, do đó $AH\perp SB$, tức $(AH,SB)=90^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ (tính chất hình vuông) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $BD\perp (SAC)$ nên $BD\perp SC$; góc giữa $BD$ và $SC$ bằng $90^{\circ }$, không phải $45^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$, $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, suy ra $CD\perp SD$: tam giác $SDC$ vuông tại $C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AH\subset (SAC)$ nên $BD\perp AH$; lại có $AH\perp SO$. Vậy $AH\perp (SBD)$ nên $AH\perp SB$, tức $(AH,SB)=90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì ABCD là hình vuông nên $BD\perp AC$; lại có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ (đúng).
b) $SA\perp (ABCD)$ nên $CA$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$ (đúng).
c) $AB\perp SA$ và $AB\perp AD$ nên $AB\perp (SAD)\Rightarrow AB\perp SD$, do đó $d(A,(SBC))=d(A,SD)$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ với $SA=a\sqrt{3},AD=a$ nên $SD=2a$. Khoảng cách $d(A,SD)=\frac{SA\cdot AD}{SD}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\ne \frac{\sqrt{3}}{3}a$ (sai).
d) $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^3$ (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ (hình vuông) và $BD\perp SA$ ($SA\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$CA$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$ vì $SA\perp (ABCD)$, nên góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(SBC))=d(A,SD)=\frac{SA\cdot AD}{SD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\ne \frac{\sqrt{3}}{3}a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: a) Trong hình vuông ABCD có AC⊥BD; lại SA⊥(ABCD) nên SA⊥BD. Vậy BD⊥(SAC) → đúng. b) SA⊥(ABCD) nên CA là hình chiếu của SC lên (ABCD), góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA → đúng. c) AB⊥BC và AB⊥SA nên AB⊥(SBC), do đó d(A,(SBC))=d(B,(SBC))=AB·SA/SC với SC=√(SA²+AC²)=√(3a²+2a²)=a√5. Vậy d=a·a√3/(a√5)=a√15/5≈0,775a ≠ (√3/3)a → sai. d) V=(1/3)·a²·a√3=(√3/3)a³ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC⊥BD (hình vuông) và SA⊥BD (vì SA⊥(ABCD)), nên BD⊥(SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABCD) nên CA là hình chiếu của SC trên (ABCD); góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và CA, tức góc SCA.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB⊥(SBC) nên d(A,(SBC))=AB·SA/SC=a·a√3/(a√5)=a√15/5≈0,775a, khác (√3/3)a≈0,577a.
d) (AI giải đề cho tôi)
V=(1/3)·S_ABCD·SA=(1/3)·a²·a√3=(√3/3)a³.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $BD\perp AC$. Mặt khác $SA\perp$ đáy nên $SA\perp BD$. Vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $BD\perp (SAC)$. Kiểm tra các phương án khác: $BD$ không vuông góc $(SAD)$ vì $BD$ không vuông góc với $AD$; $AC$ không vuông góc $(SCD)$ vì $AC$ không vuông góc $CD$; $AC$ không vuông góc $(SBD)$ vì $AC$ không vuông góc $SB$ (nếu $AC\perp SB$ và $AC\perp BD$ thì $AC\perp$ đáy, mâu thuẫn). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, qua một điểm $M$ bất kỳ luôn tồn tại duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ (tính chất duy nhất của đường vuông góc giữa điểm và mặt phẳng). Vậy có đúng $1$ đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;3a;0), S(3a;0;a) (vì SA⊥(ABC), SA=a).

1a) Tam giác ABC vuông cân tại B nên BC⊥BA. Vì SA⊥(ABC) nên SA⊥BC. BC⊥BA và BC⊥SA, BA∩SA=A nên BC⊥(SAB).

1b) BC nằm trong (SBC) và BC⊥(SAB) nên (SBC)⊥(SAB) (hai mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với nhau thì vuông góc với nhau).

2a) Góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và hình chiếu AC trên (ABC), tức góc SCA. Tam giác SAC vuông tại A: tan(SCA) = SA/AC = a/(3a√2) = √2/6, nên góc = arctan(√2/6) ≈ 13°15′.

2b) Vì BC⊥(SAB) nên hình chiếu của C trên (SAB) là A, hình chiếu của SC là SA. Góc cần tìm là góc CSA: tan(CSA) = CA/SA = 3a√2/a = 3√2, nên góc = arctan(3√2) ≈ 76°44′.

3) Góc giữa (SBC) và (ABC): giao tuyến là BC, mà BC⊥(SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa BA và BS, tức góc SBA. Tam giác SAB vuông tại A: tan(SBA) = SA/BA = a/3a = 1/3, nên góc = arctan(1/3) ≈ 18°26′.

4) Góc nhị diện [B, SA, C]: cạnh SA⊥(ABC) nên SA⊥BA và SA⊥BC; BA và BC cùng vuông góc với SA tại A. Góc nhị diện bằng góc BAC = 90°.

5a) Vì BC⊥(SAB) nên d(C,(SAB)) = BC = 3a.

5b) Thể tích V = (1/3)·S(ABC)·SA = (1/3)·(9a²/2)·a = 3a³/2. Trong (SBC): BC = 3a, SB = √(AB²+SA²) = a√10, BC⊥SB nên S(SBC) = (1/2)·3a·a√10 = (3√10 a²)/2. Vậy d(A,(SBC)) = 3V/S(SBC) = (9a³/2)/((3√10 a²)/2) = 3a/√10 = (3√10 a)/10.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: Hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{2}$.

1) a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Vì ABCD hình vuông nên $AB\perp BC$. $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ với $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ $\Rightarrow BC\perp (SAB)$.
b) Tương tự: $SA\perp CD$ và $AD\perp CD$ (hình vuông), $AD,SA$ cắt nhau trong $(SAD)$ $\Rightarrow CD\perp (SAD)$.
c) Gọi $O=AC\cap BD$. Vì ABCD hình vuông nên $BD\perp AC$. Mặt khác $SA\perp (ABCD)$ $\Rightarrow SA\perp BD$. $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$, $AC\cap SA=A$ $\Rightarrow BD\perp (SAC)$.

2) a) $BC\perp (SAB)$ mà $BC\subset (SBC)$ $\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$.
b) $BD\perp (SAC)$ mà $BD\subset (SBD)$ $\Rightarrow (SBD)\perp (SAC)$.

3) a) $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABCD)$, góc cần tìm là góc $SBA$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan \angle SBA=SA/AB=a\sqrt{2}/a=\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ góc$(SB,(ABCD))=\arctan \sqrt{2}\approx 54°44\prime$.
b) $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$, góc cần tìm là góc $SCA$. $AC=a\sqrt{2}$, $\tan \angle SCA=SA/AC=a\sqrt{2}/(a\sqrt{2})=1$ $\Rightarrow$ góc$(SC,(ABCD))=45°$.
c) $CD\perp (SAD)$ (câu 1b) nên $CD\perp SD$ và $CD\perp AD$ $\Rightarrow$ góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ là góc $SDA$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$: $\tan \angle SDA=SA/AD=\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ góc $=\arctan \sqrt{2}\approx 54°44\prime$.

4) Từ câu 1c: $BO\perp (SAC)$ với $O=AC\cap BD$. Vậy $d(B,(SAC))=BO=BD/2=(a\sqrt{2})/2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy ABCD là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Do đó $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Các khẳng định khác sai: $BC$ không vuông góc với $AD$ (nên không vuông góc $(SAD)$), không vuông góc với $AC$ (nên không vuông góc $(SAC)$), không vuông góc với $CD$ (nên không vuông góc $(SCD)$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$ (A đúng). Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$; kết hợp $BD\perp AC$ và $AC\cap SA=A$ trong $(SAC)$ suy ra $BD\perp (SAC)$ (B đúng). $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$ (C đúng). Với D: $BD\perp AB$ nhưng $BD$ không vuông góc $SB$ (tam giác $SBD$ không vuông tại $B$ nói chung), nên $BD$ không vuông góc $(SAB)$ — khẳng định D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD (tâm đáy). Trong hình chóp đều, đỉnh S nằm trên đường vuông góc với mặt đáy tại tâm O, nên $SO\perp (ABCD)$. Vậy đường cao của hình chóp là SO. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy tam giác vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$ (D đúng). Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$ (C đúng). Từ $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$ (A đúng). Nếu $BC\perp SC$ thì $BC\perp (SBC)$... thực tế $BC$ nằm trong mặt phẳng đó nên không thể vuông góc với $SC$ (vì nếu $BC\perp SC$ và $BC\perp SB$ thì tam giác $SBC$ có hai góc vuông, vô lý). Vậy mệnh đề sai là $BC\perp SC$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Các đường thẳng được vẽ trong hình: $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, $AC$, $BD$, $MN$. Vì $SA\perp$ đáy nên $SA\perp BC$. Trong hình vuông $ABCD$: $AB\perp BC$, $CD\perp BC$, $AD\perp BC$. $MN$ là đoạn nối trung điểm $SC$, $SD$ nên $MN\parallel CD$, suy ra $MN\perp BC$. Các đường còn lại ($SB$, $SC$, $SD$, $AC$, $BD$, $BC$) không vuông góc với $BC$. Vậy có 5 đường thẳng: $SA$, $AB$, $AD$, $CD$, $MN$ — khớp với đáp án 5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ và mọi đường thẳng song song với $(P)$. Xét từng mệnh đề:
A) Nếu $b\parallel (P)$ thì $b\perp a$ — đúng, vì đường thẳng song song với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.
B) Nếu $b\parallel a$ thì $b\perp (P)$ — đúng, vì đường thẳng song song với một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng đó.
C) Nếu $b\parallel a$ thì $b\parallel (P)$ — SAI, vì theo B, khi $b\parallel a$ thì $b\perp (P)$; do $a$, $b$ phân biệt nên $b$ không nằm trong $(P)$, do đó $b$ không thể song song với $(P)$.
D) Nếu $b\perp (P)$ thì $b\parallel a$ — đúng, vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Vậy mệnh đề sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 2: C).

Lời giải (đáp án chính thức, trang 10, mục Câu 3, 0,5đ):



Ta có:
$$<table><tbody><tr><td>AD\perp AB</td></tr><tr><td>AD\perp SA</td></tr><tr><td>SA\cap AB=\{A\}</td></tr><tr><td>SA,AB\subset (SAB)</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow AD\perp (SAB).$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$, do đó nếu $b\parallel a$ thì $b\perp (P)$ (mệnh đề C đúng), chứ không thể $b\parallel (P)$ (trừ khi $b$ nằm trong $(P)$, nhưng khi đó $b$ không song song với $a$ vì $a\perp (P)$). Vậy mệnh đề D sai. Các mệnh đề A, B đúng theo tính chất: đường thẳng song song với mặt phẳng thì vuông góc với đường thẳng vuông góc mặt phẳng đó; hai đường thẳng cùng vuông góc một mặt phẳng thì song song nhau. Đáp án khớp với mã đề 111: câu 10 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\perp AB$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$), suy ra $BC\perp (SAB)$. Do đó $BC\perp SB$ và $BC\perp SA$, $BC\perp AB$ (các mệnh đề B, C, D đúng). Mà $SC$ không nằm trong mặt phẳng $(SAB)$; trong tam giác $SBC$ vuông tại $B$, $SC$ là cạnh huyền nên $BC$ không vuông góc với $SC$. Vậy mệnh đề sai là A, khớp với đáp án nguồn.

Lời giải (đáp án chính thức):



Ta có:
$$<table><tbody><tr><td>AD\perp AB</td></tr><tr><td>AD\perp SA</td></tr><tr><td>SA\cap AB=\{A\}</td></tr><tr><td>SA,AB\subset (SAB)</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow AD\perp (SAB).$$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích $V=\frac{1}{3}AB\cdot AD\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot a\cdot 2a\cdot SO=2a^3\Rightarrow SO=3a$.

a) Trong hình chữ nhật $ABCD$ có $AC\perp BD$; lại $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Suy ra $AC\perp (SBD)$, do đó $AC\perp SD\subset (SBD)$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) Vì $SO\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $O$, do đó hình chiếu của $SB$ lên $(ABCD)$ là $OB$, không phải $DB$. Mệnh đề SAI.

c) Từ a) có $AC\perp (SBD)$ mà $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Mệnh đề ĐÚNG.

d) $AC=a\sqrt{5}$ nên $AO=\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Vì $AC\perp (SBD)$ nên $d(A,(SBD))=AO=\frac{\sqrt{5}}{2}a$. Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ (hình chữ nhật) và $SO\perp AC$ nên $AC\perp (SBD)$, suy ra $AC\perp SD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $O$ nên hình chiếu của $SB$ là $OB$, không phải $DB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AC\perp (SBD)$ và $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC=a\sqrt{5}$, $AO=\frac{a\sqrt{5}}{2}$; do $AC\perp (SBD)$ nên $d(A,(SBD))=AO=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Vậy khẳng định đúng là A. Các khẳng định B, C, D sai vì $AC$ không vuông góc với các mặt phẳng đó (ví dụ $AC$ không vuông góc với $AB$ nên $AC/\perp (SAB)$, $AC$ không vuông góc với $AD$ nên $AC/\perp (SAD)$, và $AC$ không vuông góc với $BD$ trong hình chữ nhật nên $AC/\perp (SBD)$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ mà $AC\subset (ABC)$ nên $SA\perp AC$. Khẳng định C đúng. Xét các phương án khác: $SA\perp AB$ (do $SA\perp (ABC)$) chứ không có $SA\perp SB$; tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$, do đó $AC$ là cạnh huyền, $AC$ không vuông góc với $BC$ (D sai); $SB\perp SC$ không suy ra được từ giả thiết (B sai).