Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp (ABCD)$ là đúng (B đúng), và $SA\perp BC$, $SA\perp CD$.
- Câu C: $BC\perp AB$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$ → đúng.
- Câu D: $CD\perp AD$ (hình chữ nhật) và $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$ → đúng.
- Câu A: Để $BC\perp (SAD)$ cần $BC\perp AD$ và $BC\perp SA$. Tuy $BC\perp SA$ nhưng trong hình chữ nhật $ABCD$ ta có $BC\parallel AD$ (không vuông góc với $AD$), nên $BC$ không vuông góc với $(SAD)$ → khẳng định A không đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a√2), O(a/2;a/2;0), E(a/2;0;0), F(a;a/2;0). a) BD ⊥ AC (tính chất hình vuông) và BD ⊥ SA (SA ⊥ đáy) nên BD ⊥ (SAC): Đúng. b) EF có VTCP (1;1;0), SO có VTCP (a/2; a/2; −a√2); tích vô hướng = a²/2 ≠ 0 nên EF không vuông góc SO: Sai. c) SC có VTCP (a; a; −a√2), EF có VTCP (1;1;0): cos = a/( (a√2)(2a) )·... tính: tích vô hướng = a, |SC| = 2a, |EF| = a/√2, cos = a/(2a·a/√2) = √2/2 → góc 45°: Đúng. d) VTPT (SEF): n = EF×ES với EF=(a/2;a/2;0), ES=(−a/2;0;a√2) cho n ∝ (2√2; −2√2; 1). SA có VTCP (0;0;1). sinθ = 1/√17, nên tanθ = 1/4: Đúng. Khớp đáp án mã đề 112: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông) và BD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) nên BD ⊥ (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
EF ∥ AC nên góc giữa EF và SO bằng góc giữa AC và SO. Tam giác SAC cân tại A (SA = AC = a√2? thực tế SA = a√2, AC = a√2) có SO là trung tuyến, nhưng AC không vuông góc SO (tam giác SAC cân tại A, SO là đường trung tuyến từ S... SO không vuông AC vì tam giác SOC không vuông tại O: OC = a√2/2, SC = 2a, SC² = 4a² ≠ OC² + SO² = a²/2 + 2a² = 5a²/2). Vậy EF không vuông góc SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
EF ∥ AC nên góc(EF, SC) = góc(AC, SC). Trong tam giác SAC: SA = AC = a√2, SC = 2a, cos∠ACS = (AC² + SC² − SA²)/(2·AC·SC) = (2a² + 4a² − 2a²)/(2·a√2·2a) = 4a²/(4a²√2) = √2/2 → góc = 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), S(0;0;a√2), E(a/2;0;0), F(a;a/2;0): VTPT của (SEF) là n ∝ (2√2; −2√2; 1), VTCP của SA là (0;0;1). sinθ = 1/√(8+8+1) = 1/√17, suy ra tanθ = 1/4.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó, nên C đúng. A sai vì hai đường thẳng phân biệt trong (P) phải cắt nhau (điều kiện định lý về dấu hiệu vuông góc); B sai vì Δ vuông góc với (P) thì Δ vuông góc (không song song) với mọi đường thẳng trong (P); D sai vì Δ vuông góc với (P) thì Δ cắt (P) tại chân đường vuông góc. Đáp án khớp với mã đề 112, câu 8: C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$. Khi đó $M(a/2;0;0)$, $N(a;a/2;0)$, $O(a/2;a/2;0)$.

a) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$; $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SA}=0$. Nhưng $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{2})$ và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SB}=a^2\ne 0$, nên $AC$ không vuông góc $SB$, do đó $AC$ không vuông góc $(SBD)$ → Sai.

b) $\overrightarrow{MN}=(a/2;a/2;0)$, $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{2})$. $\cos (MN,SC)=\frac{2a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → góc bằng $45^{\circ }$ → Đúng.

c) $\overrightarrow{SO}=(a/2;a/2;-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{SO}=a^2/4+a^2/4=a^2/2\ne 0$ nên $MN$ không vuông góc $SO$ → Sai.

d) $\overrightarrow{SM}=(a/2;0;-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{SN}=(a;a/2;-a\sqrt{2})$. Vecto pháp tuyến của $(SMN)$: $\vec{n}=\overrightarrow{SM}\times \overrightarrow{SN}\propto (2\sqrt{2};-2\sqrt{2};1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{17}$. $\overrightarrow{SA}=(0;0;-a\sqrt{2})$. $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{SA}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{SA}|}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{17}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}$, suy ra $\cos \theta =\frac{4}{\sqrt{17}}$, $\tan \theta =\frac{1}{4}$, $\cot \theta =4\ne \frac{1}{4}$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai — khớp đáp án nguồn (mã đề 111, Phần II Câu 2: SĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
AC⊥BD và AC⊥SA nhưng AC·SB=a²≠0 nên AC không vuông góc (SBD).
b) (AI giải đề cho tôi)
cos(MN,SC)=1/√2 nên góc bằng 45°.
c) (AI giải đề cho tôi)
MN·SO=a²/2≠0 nên MN không vuông góc SO.
d) (AI giải đề cho tôi)
n=SM×SN ∝ (2√2;−2√2;1), |n|=√17. sinθ=1/√17, cosθ=4/√17, tanθ=1/4, cotθ=4≠1/4 → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó (cắt hoặc chéo nhau). A sai vì hai đường thẳng phân biệt trong $(P)$ chưa chắc cắt nhau; C sai vì $\Delta$ vuông góc chứ không song song với đường thẳng trong $(P)$; D sai vì $\Delta$ cắt $(P)$ tại chân đường vuông góc. Khớp đáp án nguồn: B.

a) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$,
Tam giác $VAC$ cân tại $V$ nên $AC\perp VN\Rightarrow AC\perp (VBD)$

b)
Theo giả thiết ta tính được: $CF=5\sqrt{13};VF=\sqrt{579}$ và $VC=\sqrt{114}$.
Xét tam giác $VCF$, ta có
$\cos \widehat{VCF}=\frac{V{C}^2+C{F}^2-V{F}^2}{2\cdot VC\cdot CF}\Rightarrow \cos \widehat{VCF}=\frac{114+325-579}{2\sqrt{114}\cdot 5\sqrt{13}}$.
Suy ra $\widehat{VCF}\approx 111,3^{\circ }$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $VC$ và $DE$ bằng $68,7^{\circ }$

Mọi cách giải khác cho ra kết quả đúng đều được điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Do đó $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$. Các phương án khác: $BD$ nằm trong $(ABCD)$; $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng trên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ song song với $(ABCD)$ nên không vuông góc với $(ABCD)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 7: C).

a) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$,
Tam giác $VAC$ cân tại $V$ nên $AC\perp VN\Rightarrow AC\perp (VBD)$

b) [Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]
Theo giả thiết ta tính được: $CF=5\sqrt{13};VF=\sqrt{579}$ và $VC=\sqrt{114}$.
Xét tam giác $VCF$, ta có $\cos \widehat{VCF}=\frac{V{C}^2+C{F}^2-V{F}^2}{2\cdot VC\cdot CF}\Rightarrow \cos \widehat{VCF}=\frac{114+325-579}{2\sqrt{114}\cdot 5\sqrt{13}}$.
Suy ra $\widehat{VCF}\approx 111,3^{\circ }$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $VC$ và $DE$ bằng $68,7^{\circ }$

Mọi cách giải khác cho ra kết quả đúng đều được điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, với $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình thoi) suy ra $SO\perp AC$. Tương tự, $SB=SD$ nên tam giác $SBD$ cân tại $S$, với $O$ là trung điểm $BD$ suy ra $SO\perp BD$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, do đó $SO\perp (ABCD)$. Các khẳng định A, C, D không suy ra được từ giả thiết (hình thoi không nhất thiết có $AB\perp AC$ hay $CD\perp BD$). Đáp án khớp với mã đề 1101: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ với $AB,SA$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Vậy mệnh đề đúng là A. Các phương án khác sai: $BD$ không vuông góc với $(SAC)$ vì trong hình chữ nhật $BD$ không vuông góc với $AC$; $CD$ không vuông góc với $(SAB)$ vì $CD$ song song $AB$ (không vuông góc $AB$); $AC$ không vuông góc với $(SBD)$ vì $AC$ không vuông góc với $BD$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa: đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P) khi Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P) (đi qua giao điểm). Các phương án A, B, C chỉ vuông góc với một hoặc hai đường thẳng cụ thể nên không đủ điều kiện kết luận Δ ⊥ (P) (với C, hai đường thẳng phân biệt có thể song song nhau). Vậy đáp án là D. Đối chiếu bảng đáp án mã đề 102, câu 2 là D, khớp với kết quả giải.

a) Ta có $\{\begin{array}{l}DC\perp AD\\ DC\perp SA\\ AD\cap SA=A\end{array}\Rightarrow DC\perp (SAD)$

b) Ta có $DC\perp (SAD)\Rightarrow DC\perp AK$

Ta lại có: $\{\begin{array}{l}AK\perp SD\\ AK\perp DC\\ SD\cap DC=D\end{array}\Rightarrow AK\perp (SDC)\Rightarrow AK\perp SC$.

Vì $\{\begin{array}{l}AK\perp SC\\ AH\perp SC\\ AH\cap AK=A\end{array}\Rightarrow SC\perp (AHK)$.

Suy ra tam giác $CHK$ vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;h)$ với $h>0$ (vì $SA\perp (ABCD)$).

- **A (sai):** $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{SB}=(1;0;-h)$, $\overrightarrow{SD}=(0;1;-h)$. VTCP của $(SBD)$: $\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD}=(h;h;1)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}\cdot (h;h;1)=2h\ne 0$, nên $AC$ không vuông góc với $(SBD)$. (Chỉ có $AC\perp BD$ và $AC\perp SA$, nhưng $SA$ không nằm trong $(SBD)$.)
- **B (đúng):** $AD\perp AB$ (hình vuông) và $AD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ $\Rightarrow AD\perp (SAB)$.
- **C (đúng):** $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$, $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ $\Rightarrow BC\perp (SAB)$.
- **D (đúng):** $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD\perp SA$, $AC,SA$ cắt nhau trong $(SAC)$ $\Rightarrow BD\perp (SAC)$.

Vậy phát biểu sai là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Tam giác ABC vuông cân tại B, M là trung điểm cạnh huyền AC nên BM vừa là trung tuyến vừa là đường cao: BM ⊥ AC, do đó (BM; AC) = 90°.
b) Đúng. SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BM; kết hợp BM ⊥ AC (ý a) và SA ∩ AC = A thuộc (SAC), suy ra BM ⊥ (SAC).
c) Sai. Cả 3 mặt bên đều là tam giác vuông: SAB vuông tại A (SA ⊥ AB), SAC vuông tại A (SA ⊥ AC); vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB, tam giác SBC vuông tại B. Vậy khẳng định 'chỉ có đúng 2 mặt bên' là sai.
d) Sai. Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), hình chiếu của C lên (SAB) là B, do đó hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB chứ không phải SA.
Đối chiếu đáp án nguồn (trang 11): 2a D, 2b D, 2c S, 2d S — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại B, M trung điểm cạnh huyền AC nên BM vừa là trung tuyến vừa là đường cao: BM ⊥ AC, tức (BM; AC) = 90°.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BM; cùng với BM ⊥ AC và SA, AC cắt nhau tại A thuộc (SAC), suy ra BM ⊥ (SAC).
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả 3 mặt bên đều là tam giác vuông: SAB vuông tại A, SAC vuông tại A, và BC ⊥ (SAB) (vì BC ⊥ AB, BC ⊥ SA) nên BC ⊥ SB, tam giác SBC vuông tại B. Do đó khẳng định 'chỉ có đúng 2 mặt bên' là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), hình chiếu của C lên (SAB) là B. Suy ra hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB, không phải SA.

[Hình cần kiểm tra lại: p14_f1]

a) Ta có $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\\ AB\cap SA=A\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)$

b) Ta có $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AK$

Ta lại có: $\{\begin{array}{l}AK\perp SB\\ AK\perp BC\\ SB\cap BC=B\end{array}\Rightarrow AK\perp (SBC)\Rightarrow AK\perp SC$.

Vì $\{\begin{array}{l}AK\perp SC\\ AH\perp SC\\ AH\cap AK=A\end{array}\Rightarrow SC\perp (AHK)$.

Suy ra tam giác $CHK$ vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$, không thể song song với $(P)$. Do đó mệnh đề D 'Nếu $b//a$ thì $b//(P)$' là sai. Các mệnh đề A, B đúng theo tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; mệnh đề C đúng vì nếu $b//(P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, tức $b\perp a$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa và định lý về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $a$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$. Nếu hai đường thẳng chỉ phân biệt nhưng song song (hoặc không xác định vị trí tương đối), việc $a$ vuông góc với chúng chưa đủ kết luận $a\perp (P)$. Do đó đáp án đúng là B, khớp với đáp án nguồn (Đề 101, Câu 7: B).

Câu 3 (1,5đ):
a) Hình vẽ phục vụ câu a) — 0,25đ
* $<table><tbody><tr><td>SO\perp (ABCD)</td></tr><tr><td>BD\subset (ABDC)</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow SO\perp BD$ — 0,25đ
* $<table><tbody><tr><td>BD\perp SO</td></tr><tr><td>BD\perp AC</td></tr><tr><td>SO,AC\subset (SAC),SO\cap AC=O</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow BD\perp (SAC)$ — 0,25đ; 0,25đ
b) * Vẽ $OH\perp BC$ tại H.
* Phải xác định được: $((SBC),(ABCD))=SHO$ — 0,25đ
* Tính: $OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $\tan SHO=\frac{SO}{OH}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow ((SBC),(ABCD))=SHO=30^0$ — 0,25đ
[Hình cần kiểm tra lại: p12_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, do đó $SA\perp (ABC)$ (mặt phẳng $(ABC)$ chính là mặt phẳng đáy). Các phương án khác sai vì $(CSB)$, $(CSA)$, $(CSD)$ đều chứa $SA$ nên không thể vuông góc với $SA$. Đáp án khớp với mã đề 1002, câu 5: B.

Câu 3 (1,5đ):
a) Hình vẽ phục vụ câu a) 0,25đ
* $\{\begin{array}{l}SO\perp (ABCD)\\ AC\subset (ABDC)\end{array}\Rightarrow SO\perp AC$ 0,25đ
* $\{\begin{array}{l}AC\perp SO\\ AC\perp BD\\ SO,BD\subset (SBD),SO\cap BD=O\end{array}\Rightarrow AC\perp (SBD)$ 0,25đ 0,25đ
b) * Vẽ $OH\perp AB$ tại H.
* Phải xác định được:
$((SAB),(ABCD))=SHO$ 0,25đ
*Tính : $OH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$, $\tan SHO=\frac{SO}{OH}=\frac{\frac{3a}{4}}{\frac{a\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{3}$
$\Rightarrow ((SAB),(ABCD))=SHO=60^0$ 0,25đ
[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]