Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$ (D đúng). Trong hình vuông $ABCD$, $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$ nên $BD\perp (ASC)$, suy ra $BD\perp SC$ (A đúng) và $BD\perp SO$ (C đúng). Với B: $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$ chứ không suy ra $BC\perp SD$. Khẳng định B là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Qua một điểm $A$ và vuông góc với một đường thẳng $\Delta$ cho trước, theo định lý tồn tại duy nhất, chỉ có đúng một mặt phẳng. Nếu $A\in \Delta$, mặt phẳng đó đi qua $A$ và vuông góc với $\Delta$ tại $A$; nếu $A\notin \Delta$, ta hạ $AH\perp \Delta$ tại $H$ rồi lấy mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $\Delta$ (nó chứa đường vuông góc chung). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy, do đó $SA\perp AB$, $SA\perp AC$, $SA\perp BC$ (các mệnh đề A, B, D đều đúng). Mệnh đề C sai: nếu $SA\perp SC$ thì trong tam giác $SAC$ (vuông tại $A$ vì $SA\perp AC$) không thể có thêm góc vuông tại $S$; tức $SA$ không thể vuông góc với $SC$ vì $SC$ không nằm trong mặt phẳng đáy.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$. Vậy đáp án C. Các phương án khác sai: $SA$ không vuông với $BC$ nên $SA/\perp (SBC)$; $SC$ không vuông $(ABC)$; $AC$ không vuông $(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, mà $O$ là giao hai đường chéo hình bình hành nên $O$ là trung điểm $AC$, suy ra $SO\perp AC$. Tương tự, $SB=SD$ nên tam giác $SBD$ cân tại $S$ với $O$ là trung điểm $BD$, suy ra $SO\perp BD$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $AC$ và $BD$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $O$. Theo định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $SO\perp (ABCD)$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng — qua một điểm $O$ cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước (tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). B đúng — qua một điểm $O$ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng $\Delta$ cho trước. C đúng — hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau thì có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. D sai — trong không gian, qua một điểm $O$ có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước (chúng nằm trong mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với đường thẳng đó). Vậy mệnh đề sai là D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$. Xét từng mệnh đề: A sai vì nếu $b//a$ thì $b\perp (P)$ chứ không phải $b//(P)$; B đúng; C đúng vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau; D đúng vì nếu $b//(P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, nói riêng $b\perp a$. Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Qua điểm $O$ cho trước, đường thẳng $\Delta$ cho trước xác định một vectơ chỉ phương duy nhất (cùng phương với $\Delta$). Mặt phẳng vuông góc với $\Delta$ và đi qua $O$ phải có vectơ pháp tuyến cùng phương với $\Delta$, do đó nó chính là mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$ — mặt phẳng này là duy nhất. Thật vậy: nếu $O\in \Delta$, mặt phẳng đó vuông góc với $\Delta$ tại $O$; nếu $O\notin \Delta$, kẻ đường thẳng $d$ qua $O$ song song với $\Delta$, khi đó mặt phẳng vuông góc với $d$ tại $O$ chính là mặt phẳng cần tìm và cũng duy nhất. Vậy chỉ tồn tại đúng $1$ mặt phẳng, đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A đúng: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó, nên d vuông góc với hai đường thẳng trong $(\alpha )$.
- B sai: định lý điều kiện cần và đủ yêu cầu hai đường thẳng trong $(\alpha )$ phải cắt nhau. Nếu d chỉ vuông góc với hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) trong $(\alpha )$ thì chưa chắc d vuông góc với $(\alpha )$.
- C đúng: theo định lý, đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng, do đó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng.
- D đúng: d ⊥ $(\alpha )$ thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong hoặc song song với $(\alpha )$, nên d ⊥ a.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $(P)$:
- A: Nếu $a//(P)$ và $b\perp a$ thì $b$ có thể song song với $(P)$, cắt $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$, không bắt buộc $b\perp (P)$. Sai.
- B: Nếu $b\perp (P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$; vì $a//(P)$ nên tồn tại đường thẳng $a^{\prime }\subset (P)$ với $a^{\prime }\parallel a$, suy ra $b\perp a^{\prime }\Rightarrow b\perp a$. Đúng.
- C: Nếu $a\perp (P)$ và $b\perp a$ thì $b$ có thể song song với $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$, không chắc $b//(P)$. Sai.
- D: Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, không chắc song song. Sai.
Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện để đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ là $d$ vuông góc với HAI đường thẳng CẮT NHAU nằm trong $(\alpha )$. Khẳng định B chỉ nói $d$ vuông góc với hai đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ mà không yêu cầu chúng cắt nhau, nên B sai (ví dụ hai đường thẳng đó song song với nhau). Các khẳng định A, C, D đều đúng: A là định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; C đúng vì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng trong $(\alpha )$; D đúng vì khi $\Delta \parallel (\alpha )$ thì $\Delta$ song song với một đường thẳng nằm trong $(\alpha )$, do đó $d\perp \Delta$. Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ nên $AC\perp BD$. Mặt khác $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Vì $AC\perp BD$, $AC\perp SO$ và $BD,SO$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBD)$, theo định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có $AC\perp (SBD)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$; đáy là hình vuông nên $CD\perp AB$. Suy ra $CD\perp (SAB)$ (không phải $(SBC)$), do đó phát biểu A là sai. Kiểm tra các phát biểu còn lại: B đúng vì $SA\perp (ABCD)$ theo giả thiết; C đúng vì $BC\perp AB$ (hình vuông) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$; D đúng vì $SA\perp BD$ và $AC\perp BD$ (hai đường chéo hình vuông) nên $BD\perp (SAC)$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 611 (câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$; đáy là hình vuông nên $CD\perp AD$. Suy ra $CD\perp (SAD)$ chứ không phải $CD\perp (SBC)$ (mặt $(SBC)$ không chứa hai đường thẳng đồng quy với $CD$ vuông góc). Do đó phát biểu A sai. Các phát biểu còn lại đúng: $SA\perp (ABC)$ theo giả thiết; $BC\perp AB$ (hình vuông) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$; $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD\perp SA$ nên $BD\perp (SAC)$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 124: câu 7 là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$ (A đúng). Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$ (B đúng). Từ $BC\perp SA$ và $BC\perp AB$ suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$ (D đúng). Mệnh đề $AB\perp SC$ (C) không suy ra được từ giả thiết: nếu $AB\perp SC$ thì do $AB\perp SA$ ta có $AB\perp (SAC)$, kéo theo $AB\perp AC$, mâu thuẫn với tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (khi đó $AB$ và $AC$ không vuông góc). Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Tự luận - Hình học): Cho hình chóp $S.ABC$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA\perp (ABC)$.

a) Chứng minh $BC\perp (SAB)$:
- Vì $SA\perp (ABC)$ mà $BC$ nằm trong $(ABC)$ nên $SA\perp BC$.
- Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$.
- $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$, nên $BC\perp (SAB)$.

b) Chứng minh $AH\perp SC$:
- Vì $BC\perp (SAB)$ mà $AH$ nằm trong $(SAB)$ nên $BC\perp AH$, tức $AH\perp BC$.
- $AH$ là đường cao của tam giác $SAB$ nên $AH\perp SB$.
- $AH$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SB$ và $BC$ trong mặt phẳng $(SBC)$, nên $AH\perp (SBC)$.
- $SC$ nằm trong $(SBC)$, do đó $AH\perp SC$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác BCD vuông tại C nên $CD\perp BC$ (A đúng). Vì $AB\perp (BCD)$ nên $AB\perp CD$ (B đúng). Từ $CD\perp BC$ và $CD\perp AB$ với $AB\cap BC=B$, suy ra $CD\perp (ABC)$, do đó $CD\perp AC$ (C đúng). Nếu $CD\perp AD$ thì $CD\perp (ABD)$, kéo theo $CD\perp BD$, mâu thuẫn vì tam giác BCD vuông tại C nên $CD$ không vuông góc $BD$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì nếu $(P)//(Q)$ và $b\perp (P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng trong $(P)$, suy ra $b\perp (Q)$. B sai: từ $a//(P)$ và $b\perp a$ chỉ suy ra $b$ vuông góc với một đường thẳng song song với $(P)$, không đủ kết luận $b\perp (P)$; $b$ có thể nằm trong $(P)$ hoặc cắt $(P)$ mà không vuông góc. C đúng: $b\perp (P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$, mà $a//(P)$ nên qua một điểm của $b$ có đường thẳng $a^{\prime }$ song song với $a$ và nằm trong $(P)$, suy ra $b\perp a$. D đúng: hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì nếu $d\perp (\alpha )$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$, do đó $a\perp d$. B đúng, đây chính là định lý về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (hai đường thẳng cắt nhau). C đúng vì nếu $d\perp (\alpha )$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$, nói riêng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong $(\alpha )$. D sai vì để kết luận $d\perp (\alpha )$ thì $d$ phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha )$; nếu hai đường thẳng đó song song nhau thì không thể kết luận $d\perp (\alpha )$. Vậy khẳng định sai là D.