Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy, đặc biệt $SA\perp AC$ và $SA\perp AD$. Hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $AD$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ACD)$, do đó $SA\perp (ACD)$. Các phương án khác sai: $(BSC)$ chứa $S$ nên không thể vuông góc với $SA$ (tương tự $(BSA)$ chứa $SA$); $(BSD)$ không chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với $SA$. Đáp án khớp với mã đề 1001: câu 8 là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$. Vì $AC,AD,AB$ đều nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ nên theo tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, $A{A}^{\prime }\perp AC$, $A{A}^{\prime }\perp AD$, $A{A}^{\prime }\perp AB$. Do đó $A{A}^{\prime }$ vuông góc với cả ba đường thẳng ở các phương án A, B, D. Đối với $A{B}^{\prime }$: đây là đường chéo của mặt phẳng bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, cắt $A{A}^{\prime }$ tại $A$ nhưng góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $A{B}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$ (vì tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông cân tại $B$... chính xác hơn, tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ vuông cân tại $A^{\prime }$ nên góc $B^{\prime }A{A}^{\prime }=45^{\circ }$), tức $A{A}^{\prime }$ không vuông góc với $A{B}^{\prime }$. Vậy đường thẳng $A{A}^{\prime }$ không vuông góc với $A{B}^{\prime }$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (C).

a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. (0,25 điểm) Ta có: $DC\perp AD$; $DC\perp SA$ nên $DC\perp (SAD)$. (0,25 điểm)
b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CM$. (0,25 điểm) Ta có: $AB=2CD$ nên $AM=CD$. Suy ra $AMCD$ là hình chữ nhật nên $CM\perp AB$. (0,25 điểm) Mà $CM\perp SA$. Suy ra: $CM\perp (SAB)$. (0,25 điểm) [Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0,0,0), B(b,0,0), C(b,c,0), D(0,c,0), E(0,0,h), F(b,0,h), G(b,c,h), H(0,c,h).
a) DE=(0,-c,h), BG=(0,c,h), tích vô hướng = -c²+h² ≠ 0 (nói chung), nên DE không vuông góc BG → Sai.
b) Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCGF) (mặt phẳng x=b) là điểm B, không phải F → Sai.
c) CG vuông góc với AB và BC (hai đường thẳng cắt trong (ABCD)) nên CG⊥(ABCD) → Đúng.
d) Trung điểm của BD là tâm O của ABCD, O thuộc (ACGE) và BD⊥AC, nhưng EG=(b,c,0) và BD=(b,-c,0) có tích vô hướng b²-c² ≠ 0, tức BD không vuông góc với EG, nên BD không vuông góc với (ACGE) → Sai.
Kết quả a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai khớp đáp án mã đề 1102 (SSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
DE=(0,-c,h), BG=(0,c,h) có tích vô hướng h²-c² ≠ 0 nên DE không vuông góc BG → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của A lên (BCGF) là điểm B (vì AB⊥(BCGF)), không phải F → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
CG⊥AB, CG⊥BC nên CG⊥(ABCD) → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
BD không vuông góc với EG (tích vô hướng b²-c² ≠ 0) nên BD không vuông góc (ACGE) → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Từ đó $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$, với $AD$ và $SA$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $CD\perp (SAD)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Do đó $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 5: A).

Đáp án mã đề 209, Phần II Câu 2: DDSS (a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Xét từng khẳng định:
- A đúng: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song và cùng vuông góc mặt phẳng đó, nên nếu $b//a$ thì $b\perp (P)$.
- B đúng: nếu $b//(P)$ thì $b$ không vuông góc $(P)$, mà $a\perp (P)$ nên $b$ không song song $a$; hơn nữa đường thẳng song song với $(P)$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc $(P)$, suy ra $b\perp a$.
- C sai: nếu $b\perp a$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$, song song $(P)$, hoặc cắt $(P)$ mà không vuông góc. Ví dụ $b$ nằm trong $(P)$ thì $b\perp a$ nhưng $b$ không song song $(P)$. Vậy C là khẳng định sai.
- D đúng: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song, nên $b\perp (P)$ và $a\perp (P)$ cho $b//a$.
Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $A{A}^{\prime }=2a$, đáy là hình vuông cạnh $2a$ tâm $O$.
a) Đúng: Lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$, mà $DC\subset (ABCD)$ nên $DC\perp B{B}^{\prime }$.
b) Đúng: $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$, tức $AO\perp BD$; lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ suy ra $A{A}^{\prime }\perp BD$. Vì $BD$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AO$ và $A{A}^{\prime }$ trong $(A^{\prime }CO)$ nên $BD\perp (A^{\prime }CO)$.
c) Sai: Góc giữa $A^{\prime }O$ và $(ABCD)$ là góc $A^{\prime }OA$ với $AO=a\sqrt{2}$, nên $\tan =\frac{A{A}^{\prime }}{AO}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$.
d) Sai: Vì $BD\perp (A^{\prime }CO)$ và $O$ là trung điểm $BD$, góc nhị diện $[C,BD,A^{\prime }]$ là góc $\widehat{CO{A}^{\prime }}$. Ta có $\tan (180^{\circ }-\widehat{CO{A}^{\prime }})=\frac{A{A}^{\prime }}{AO}=\sqrt{2}$, suy ra $\widehat{CO{A}^{\prime }}=180^{\circ }-\arctan \sqrt{2}\approx 125,3^{\circ }\ne 135^{\circ }$.
Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai — khớp đáp án mã đề 132 (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$, do đó $DC\perp B{B}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AO\perp BD$ (hình vuông) và $A{A}^{\prime }\perp BD$ (lăng trụ đứng), nên $BD\perp (A^{\prime }CO)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan =\frac{A{A}^{\prime }}{AO}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[C,BD,A^{\prime }]=\widehat{CO{A}^{\prime }}=180^{\circ }-\arctan \sqrt{2}\approx 125,3^{\circ }\ne 135^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $DC\perp AD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp DC$. Do đó $DC\perp (SAD)$ (vì $DC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$).

b) Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, nên hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$. Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $AC=a\sqrt{2}$, $SA=a\sqrt{3}$, nên $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Vậy góc cần tìm bằng $\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}\approx 50,8^{\circ }$.

c) Gọi $O$ là tâm hình vuông, $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$ tại $O$. Do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$, suy ra $BD\perp (SAO)$, tức $BD\perp SO$. Vậy góc nhị diện $[S,BD,A]$ là $\widehat{SOA}$. Tam giác $SOA$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{6}$. Vậy $\widehat{SOA}=\arctan \sqrt{6}\approx 67,8^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b\perp (P)$ nên $b$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Do $a//(P)$, tồn tại đường thẳng $a^{\prime }\subset (P)$ với $a^{\prime }//a$. Suy ra $b\perp a^{\prime }$, mà $a//a^{\prime }$ nên $b\perp a$. Khẳng định B đúng.

Các khẳng định còn lại sai:
- A sai: $a//(P)$ và $b\perp a$ chỉ cho $b$ có thể song song, cắt hoặc nằm trong $(P)$, không kết luận được $b\perp (P)$.
- C sai: tương tự, $b$ có thể cắt $(P)$.
- D sai: nếu $a\perp (P)$ và $b\perp a$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$ hoặc song song với $(P)$, nên khẳng định $b//(P)$ không luôn đúng.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ nên $AH\perp BC$. Từ đó $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AH$ trong mặt phẳng $(SAH)$, suy ra $BC\perp (SAH)$. Các khẳng định B, C, D không suy ra được từ giả thiết (ví dụ $BC$ không vuông góc với $AC$ nói chung, $SH$ không vuông góc với $(ABC)$ vì $SH$ nằm trong $(SAH)$ và không trùng $SA$...). Đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mặt khác $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ nên $AH\perp BC$. Từ đó $BC\perp SA$ và $BC\perp AH$, với $SA,AH$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAH)$, suy ra $BC\perp (SAH)$. Các khẳng định khác sai: $BC$ không vuông góc với $(SAC)$ (vì $BC$ không vuông góc với $AC$ nói chung), $AH$ không vuông góc $(SBC)$, và $SH$ không vuông góc $(ABC)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Các đáp án khác sai: $AC$ không vuông góc $AB$; $CD$ song song $AB$ nên không vuông góc $(SAB)$; $SC$ nằm trong nhiều mặt và không vuông góc $(SAB)$. Đáp án khớp với mã đề 1014: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp BC$. Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$, theo định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có $BC\perp (SAB)$. Các đường $AC$, $CD$, $SC$ đều không vuông góc với $(SAB)$ (chúng cắt hoặc không thỏa điều kiện vuông góc với hai đường cắt nhau trong $(SAB)$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

Trong hình lập phương, $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp B{B}^{\prime }$. Suy ra $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp (B^{\prime }{D}^{\prime }DB)$.

Chọn A

a) Vì $△ABC$ đều, $M$ là trung điểm $BC\Rightarrow BC\perp AM$ (1).

Mặt khác, $SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$ (2).

Từ (1) và (2), kết hợp với $SA\cap AM=A$ ta được: $\boxed{BC\perp (SAM)}$.

b) Vì $SA\perp (ABC)$ và $SG\cap (ABC)=G$ nên $AG$ là hình chiếu của $SG$ lên $(ABC)$.

Suy ra: $(SG,(ABC))=(SG,AG)=\widehat{SGA}$.

Vì $△ABC$ đều cạnh $3a$, $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM$ là đường cao:

$$AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{(3a{)}^2-{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2}=\frac{3a\sqrt{3}}{2}.$$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:

$$AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot \frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$$

Trong $△SAG$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SGA}=\frac{SA}{AG}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \widehat{SGA}\approx 39,23^{\circ }$.

Vậy $(SG,(ABC))\approx \boxed{39,23^{\circ }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$. Vậy $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AD$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $AB\perp (SAD)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 246, câu 12: A).

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, mà $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình thoi) nên $SO\perp AC$, tức $AC\perp SO$ (A đúng). Tương tự $SB=SD$ cho $SO\perp BD$ (D đúng). Hình thoi có $BD\perp AC$ (C đúng). Mệnh đề $AB\perp SA$ (B) không được suy ra từ giả thiết: $AB$ nằm trong đáy, $SA$ không vuông góc với đáy nên không có cơ sở kết luận $AB\perp SA$. Vậy mệnh đề sai là B, trùng đáp án nguồn.