Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, do đó $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$. Vì $AM\subset (ABC)$ nên $C{C}^{\prime }\perp AM$. Khẳng định D đúng. Các khẳng định A, C sai vì $AB,AC$ không vuông góc với $A^{\prime }M$ (chỉ có $BC\perp AM$ và tam giác $A^{\prime }BC$ cân tại $A^{\prime }$ nên $A^{\prime }M\perp BC$); khẳng định B sai vì $A{A}^{\prime }$ không vuông góc với $A^{\prime }M$ (góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $A^{\prime }M$ khác $90^{\circ }$). Đáp án khớp với mã đề 246: câu 4 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$, mà $AB$ và $SA$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 246, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Đáy là hình vuông nên $AB\perp AD$. Mà $SA\cap AD=A$, $SA,AD\subset (SAD)$, do đó $AB\perp (SAD)$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, tức $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$. Vì $BC\subset (ABC)$ nên $A{A}^{\prime }\perp BC$. Khẳng định B đúng.

Các khẳng định còn lại sai: vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM\perp BC$, do đó $A^{\prime }M$ nghiêng so với mặt đáy và không vuông góc với $AB$ hay $AC$ (nếu $AB\perp A^{\prime }M$ thì kết hợp $AB\perp AM$ suy ra $AB\perp (A^{\prime }MC)$, khi đó $AB\perp BC$, mâu thuẫn với tam giác đều). Tương tự $AC/\perp A^{\prime }M$. Với D: $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, nếu $C{C}^{\prime }\perp A^{\prime }B$ thì $A{A}^{\prime }\perp A^{\prime }B$, tức $A^{\prime }B\subset (ABC)$, vô lý vì $A^{\prime }$ không thuộc $(ABC)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 123: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ mà $BC\subset (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$, với $AB,SA$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 123: D).

a) Đúng: $BC\perp CD$ (hình vuông) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), $CD\cap SA=A$ nên $BC\perp (SCD)$.
b) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ là $A$, do đó hình chiếu của $SB$ lên $(ABCD)$ là $AB$.
c) Đúng: $BC\parallel AD$ nên góc giữa $BC$ và $SD$ là góc $\widehat{SDA}$.
d) Đúng: $AB\perp SA$ và $AB\perp BC$ nên $AB\perp (SBC)$, suy ra $(SBC)\perp (ABCD)$.
a) Đúng. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp CD$; do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Mà $CD\cap SA=A$ nên $BC\perp (SCD)$.
b) Đúng. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$; $B$ thuộc $(ABCD)$ nên hình chiếu của $SB$ là $AB$.
c) Đúng. Vì $BC\parallel AD$ nên góc giữa $BC$ và $SD$ bằng góc giữa $AD$ và $SD$, tức là góc $\widehat{SDA}$.
d) Đúng. Vì $AB\perp SA$, $AB\perp BC$ (hình vuông) nên $AB\perp (SBC)$; mà $AB\subset (ABCD)$ nên $(SBC)\perp (ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, mà $O$ là trung điểm $AC$ (tính chất hình thoi) nên $SO\perp AC$, tức $AC\perp SO$ (A đúng). Tương tự $SB=SD$ cho tam giác $SBD$ cân tại $S$ với $O$ trung điểm $BD$ nên $BD\perp SO$ (B đúng). Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nên $BD\perp AC$ (C đúng). Mệnh đề $AB\perp BC$ chỉ đúng khi hình thoi là hình vuông; hình thoi nói chung không có góc $B$ vuông, nên D sai. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Vậy mệnh đề đúng là C. Các phương án khác sai: $AC$ không vuông góc $(SBD)$, $CD$ và $BD$ không vuông góc với các mặt phẳng đã nêu vì chỉ vuông góc với một đường trong mặt phẳng đó.

a) Chứng minh $CD\perp (SAD)$. Từ đó suy ra, tam giác $SCD$ vuông tại $D$.

+ Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp CD$. (0,25)
+ Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp CD$. (0,25)
Có $CD$ vuông góc với $SA,AD$, và $SA$ cắt $AD$ trong mặt phẳng $(SAD)$ nên suy ra $CD\perp (SAD)$. (0,25)
Do $CD\perp (SAD)$ và $SD\subset (SAD)$ nên suy ra $CD\perp SD$.
Vậy tam giác $SCD$ vuông tại $D$. (0,25)

b) Tính $\cos \alpha$.
Gọi $N$ là trung điểm $AB$.
Ta có: $MN$ là đường trung bình của $\Delta SAB$ nên $MN//SA$ và $MN=\frac{1}{2}SA=a$.
Lại có: $SA\perp (ABCD)$.
Do đó $MN\perp (ABCD)$
Suy ra $ND$ là hình chiếu của $MD$ trên $(ABCD)$ nên góc giữa đường thẳng $DM$ và $(ABCD)$ bằng $\widehat{MDN}$. (0,25)
Ta có: $DN=\sqrt{A{D}^2+A{N}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$, $DM=\frac{3a}{2}$.
Xét $\Delta MND$ vuông tại $N$, có $\cos \widehat{MDN}=\frac{ND}{DM}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Vậy mệnh đề đúng là C. Các mệnh đề khác sai: $AC$ không vuông góc $(SBD)$, $CD$ và $BD$ không vuông góc với các mặt phẳng tương ứng vì không có cơ sở vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 1110, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, do đó $SA\perp AB$ (cũng $SA\perp AC$). Các khẳng định A, C, D không thể suy ra từ giả thiết. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102: câu 10 là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD), J trung điểm SD.
a) Sai: BD ⊥ AC chỉ đúng khi ABCD là hình vuông; với hình chữ nhật tổng quát, BD không vuông góc với AC nên BD không vuông góc với (SAC).
b) Đúng: Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD ⊥ AD; lại SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD. Suy ra CD ⊥ (SAD), mà AJ nằm trong (SAD) nên CD ⊥ AJ.
c) Đúng: SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ mọi đường thẳng trong mặt phẳng đó, kể cả AC.
d) Đúng: SA nằm trong (SAD) còn BC không cắt (SAD) và BC ∥ AD, AD ⊂ (SAD), nên SA và BC chéo nhau; vì BC ∥ AD và SA ⊥ AD nên SA ⊥ BC. Đáp án khớp mã đề 1102: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC chỉ đúng khi ABCD là hình vuông; với hình chữ nhật tổng quát BD không vuông góc AC nên BD không vuông góc (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
CD ⊥ AD (hình chữ nhật) và CD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) nên CD ⊥ (SAD), do đó CD ⊥ AJ với AJ ⊂ (SAD).
c) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊂ (SAD), BC ∥ AD nên SA và BC chéo nhau; SA ⊥ AD nên SA ⊥ BC.

a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng $SO\perp (ABCD)$.

$\Delta SAB$ có $SA=SC$ nên $\Delta SAB$ cân tại $S$ mà $SO$ là đường trung tuyến nên $SO\perp AC$

$\Delta SBD$ có $SB=SD$ nên $\Delta SBD$ cân tại $S$ mà $SO$ là đường trung tuyến nên $SO\perp BD$

Ta có $\{\begin{array}{l}SO\perp AC\\ SO\perp BD\end{array}$ suy ra $SO\perp (ABCD)$

b) (0,5 điểm) Gọi $K$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CK=\frac{1}{4}CD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $GK$.

Gọi $E$ là trung điểm của $CD$ mà $O$ là trung điểm của $AC$ nên $OK$ là đường trung bình trong tam giác $ACE$ suy ra $OK//AE$ (1)

Xét tam giác cân $ABC$ tại $B$ có $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều

Suy ra tam giác ACD đều nên $AE\perp CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OK\perp CD$.

Từ $\{\begin{array}{l}CD\perp OK\\ CD\perp SO\end{array}$ suy ra $CD\perp (SOK)$.

Do đó $CD\perp GK$ mà AB//CD nên $AB\perp GK$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $GK$ bằng $90^0$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OA\perp OB$ và $OA\perp OC$ nên $OA$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $OB,OC$ nằm trong mặt phẳng $(OBC)$. Theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $OA\perp (OBC)$. Các khẳng định B, C, D không suy ra được từ giả thiết (ví dụ $OB$ không vuông góc với $OC$ nên $OB$ không vuông góc $(OAC)$). Đáp án trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OA\perp OB$ và $OA\perp OC$ với $OB,OC$ cắt nhau tại $O$ thuộc mặt phẳng $(OBC)$, theo định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có $OA\perp (OBC)$. Đáp án khớp với mã đề 1101: B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$ (vì $BC\subset (ABCD)$). Vì $BC$ nằm trong đáy, $SA$ cắt đáy tại $A\notin BC$ nên $SA$ và $BC$ chéo nhau. Khẳng định đúng.
b) $BD\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$), nhưng trong hình chữ nhật $BD$ chỉ vuông góc với $AC$ khi đáy là hình vuông; đề chỉ cho hình chữ nhật nên không kết luận được $BD\perp (SAC)$. Khẳng định sai.
c) $CD\perp AD$ (hình chữ nhật) và $CD\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$) nên $CD\perp (SAD)$, mà $AJ\subset (SAD)$ nên $CD\perp AJ$. Khẳng định đúng.
d) $SA\perp (ABCD)$ và $AC\subset (ABCD)\Rightarrow SA\perp AC$. Khẳng định đúng.
Kết quả Đ–S–Đ–Đ khớp đáp án mã đề 1101 (Câu 14: ĐSĐĐ). Hình chóp có trên trang 3 của đề, không có vấn đề về hình vẽ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$; $SA$ và $BC$ chéo nhau vì $A\notin BC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp SA$ đúng nhưng $BD\perp AC$ chỉ khi đáy là hình vuông; đáy chỉ là hình chữ nhật nên $BD$ không vuông góc $(SAC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)\Rightarrow CD\perp AJ$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$, $AC\subset (ABCD)\Rightarrow SA\perp AC$.

a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng $SO\perp (ABCD)$.

$\Delta SAB$ có $SA=SC$ nên $\Delta SAB$ cân tại $S$ mà $SO$ là đường trung tuyến nên $SO\perp AC$

$\Delta SBD$ có $SB=SD$ nên $\Delta SBD$ cân tại $S$ mà $SO$ là đường trung tuyến nên $SO\perp BD$

Ta có $\{\begin{array}{l}SO\perp AC\\ SO\perp BD\end{array}$ suy ra $SO\perp (ABCD)$

b) (0,5 điểm) Gọi $K$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CK=\frac{1}{4}CD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $GK$.

Gọi $E$ là trung điểm của $CD$ mà $O$ là trung điểm của $AC$ nên $OK$ là đường trung bình trong tam giác $ACE$ suy ra $OK//AE$ (1)

Xét tam giác cân $ABC$ tại $B$ có $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều

Suy ra tam giác ACD đều nên $AE\perp CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OK\perp CD$.

Từ $\{\begin{array}{l}CD\perp OK\\ CD\perp SO\end{array}$ suy ra $CD\perp (SOK)$.

Do đó $CD\perp GK$ mà AB//CD nên $AB\perp GK$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $GK$ bằng $90^0$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, do đó $SA\perp AB$ (cũng $SA\perp AC$, $SA\perp BC$). Các khẳng định B, C, D không suy ra được từ giả thiết. Đáp án khớp với mã đề 1101: A.

Lời giải (Đáp án CODE 102-104): GIẢI TƯƠNG TỰ CODE 101-103.

Cụ thể (theo lời giải CODE 101-103):

a) Do $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$ .

Mặt khác $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$ .

Khi đó $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)$ .

Tương tự chứng minh trên ta có: $CD\perp (SAD)$.

Do $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AM$.

Mặt khác $AM\perp SB\Rightarrow AM\perp (SBC)$

Tương tự ta có: $AN\perp (SCD)$.

Do $\{\begin{array}{l}AM\perp (SBC)\\ AN\perp (SCD)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}AM\perp SC\\ AN\perp SC\end{array}\Rightarrow SC\perp (AMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$, và mọi đường thẳng song song với $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$ đều vuông góc với $a$. Xét từng mệnh đề: (A) Nếu $b//a$ thì $b\perp (P)$, do đó nói $b//(P)$ là sai. (B) Nếu $b//(P)$ thì $b\perp a$: đúng, vì đường thẳng song song với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó. (C) Nếu $b\subset (P)$ thì $b\perp a$: đúng, vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. (D) Nếu $b//a$ thì $b\perp (P)$: đúng theo tính chất đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 7: A).