Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Các khẳng định còn lại sai: $AC$ không vuông góc với $(SBC)$, $BC$ không vuông góc với $(SAC)$ (vì $BC$ không vuông với $AC$), $AB$ không vuông góc với $(SBC)$ (vì $AB$ không vuông với $SB$). Đáp án khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường cao tam giác đều), $SA=a\sqrt{2}\perp (ABC)$ nên $SA\perp AM,SA\perp BC$.

a) Vì $BC\perp AM$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAM)$, suy ra $BC\perp AH$. Mặt khác $AH\perp SM$ (giả thiết) nên $AH\perp (SBC)$. — Đúng.

b) Vì $AH\perp (SBC)$ nên hình chiếu của $A$ lên $(SBC)$ là $H$, do đó hình chiếu của đường thẳng $SA$ lên $(SBC)$ là đường thẳng $SH$. — Đúng.

c) $SM=\sqrt{S{A}^2+A{M}^2}=\sqrt{2a^2+\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}$. Diện tích tam giác $SAM$: $AH=\frac{SA\cdot AM}{SM}=\frac{a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{11}}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{11}}=\frac{a\sqrt{66}}{11}\approx 0,74a\ne \frac{6a}{11}$. — Sai.

d) Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và $SH$: $\sin \alpha =\frac{AH}{SA}=\frac{\sqrt{66}/11}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{33}}{11}$, nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{33}{121}}=\frac{\sqrt{88}}{11}=\frac{2\sqrt{22}}{11}\approx 0,85\ne \frac{\sqrt{11}}{33}$. — Sai.

Khớp với đáp án nguồn: 1a Đúng, 1b Đúng, 1c Sai, 1d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAM)$ nên $BC\perp AH$, kết hợp $AH\perp SM$ suy ra $AH\perp (SBC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AH\perp (SBC)$, hình chiếu của $A$ là $H$, nên hình chiếu của $SA$ là $SH$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AH=\frac{SA\cdot AM}{SM}=\frac{a\sqrt{66}}{11}\approx 0,74a\ne \frac{6a}{11}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{AH}{SA}=\frac{\sqrt{33}}{11}$ nên $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{22}}{11}\approx 0,85\ne \frac{\sqrt{11}}{33}$.

Lời giải (Đáp án CODE 101-103):

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

[ĐIỂM: 0,25]

a) Do $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$ .

Mặt khác $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$ .

Khi đó $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)$ .

[ĐIỂM: 0,75]

Tương tự chứng minh trên ta có: $CD\perp (SAD)$.

Do $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AM$.

Mặt khác $AM\perp SB\Rightarrow AM\perp (SBC)$

Tương tự ta có: $AN\perp (SCD)$.

Do $\{\begin{array}{l}AM\perp (SBC)\\ AN\perp (SCD)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}AM\perp SC\\ AN\perp SC\end{array}\Rightarrow SC\perp (AMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ hoặc song song với $(P)$, do đó A, C, D đều đúng. Mệnh đề B sai: nếu $b\perp a$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$ (khi đó $b$ không song song với $(P)$), hoặc $b$ có thể trùng... thực tế $b$ chỉ cần vuông góc với $a$, không bắt buộc song song với $(P)$. Vậy mệnh đề sai là B, khớp với đáp án nguồn (Đề 101, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$ với $AB,AC$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(ABC)$, theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có $SA\perp (ABC)$. Do đó $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(ABC)$, đặc biệt $SA\perp BC$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 1112, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB\perp AC$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Từ đó $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $AB\perp (SAC)$. Các khẳng định còn lại sai: $AB$ không vuông góc $(SBC)$ vì $AB$ cắt $(SBC)$ tại $B$; $BC$ không vuông góc $(SAB)$ vì nếu vậy $BC\perp AB$, mâu thuẫn với tam giác vuông tại $A$; $BC$ không vuông góc $(SAC)$ vì $BC$ không vuông góc với $AC$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$, hai đường thẳng $AB,AC$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, nên $SA\perp (ABC)$. Suy ra $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(ABC)$, đặc biệt $SA\perp BC$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 1111, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB\perp AC$. Như vậy $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AC$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $AB\perp (SAC)$. Các khẳng định khác sai: $BC$ không vuông góc với $(SAC)$ vì $BC$ không vuông góc với $SA$ (thực tế $BC$ chỉ vuông góc với $AC$); $BC$ không vuông góc với $(SAB)$ vì nếu vậy $BC\perp AB$, mâu thuẫn với tam giác vuông tại $A$; $AB$ không vuông góc với $(SBC)$ vì nếu vậy $AB\perp BC$, sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng — nếu $d\perp (\alpha )$ thì mọi đường thẳng song song với $d$ cũng vuông góc với $(\alpha )$ (tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). C đúng — định lý: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. D đúng — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B sai — khẳng định thiếu điều kiện 'phân biệt': nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng cùng vuông góc với một đường thẳng nhưng không song song với nhau (song song đòi hỏi hai mặt phẳng phân biệt). Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 1002, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: $d\perp (\alpha )$ nếu $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha )$. Xét các phương án: A sai vì hai đường thẳng 'bất kỳ' có thể song song với nhau; C sai vì hai đường thẳng song song không đủ điều kiện (chỉ vuông góc với một phương); D sai vì chỉ một đường thẳng là chưa đủ. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 1002, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng — nếu $d\perp (\alpha )$ thì mọi đường thẳng song song với $d$ cũng vuông góc với $(\alpha )$ (tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). B sai — hai đường thẳng cùng vuông góc với $(\alpha )$ có thể trùng nhau (không phân biệt), nên không nhất thiết song song; đúng ra phải nói 'hai đường thẳng phân biệt'. C đúng — hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau (định lý). D đúng — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ khi và chỉ khi $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha )$. Xét các phương án: A sai vì 'hai đường thẳng bất kỳ' có thể là hai đường thẳng song song; B sai vì hai đường thẳng song song không đủ điều kiện; D sai vì chỉ vuông góc với một đường thẳng là chưa đủ. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì SA=a và SO=a√6/3 nên OA²=a²−2a²/3=a²/3, tức OA=a/√3; từ AB²=OA²+OB² suy ra OB²=2a²/3. a) Hình thoi có BD⊥AC tại O, lại BD⊥SO nên BD⊥(SAO): Đúng. b) SA⊥OE (E là chân đường vuông góc) và SA⊥BD (vì BD⊥(SAO)) nên SA⊥(BDE), do đó SA⊥BE: Đúng. c) Trong tam giác vuông SOA: OE=SO·OA/SA=(a√6/3)(a/√3)/a=a√2/3, khác a√2/√3=a√6/3: Sai. d) Góc nhị diện [B,SA,D] là góc BED với BE=DE, BE²=OB²+OE²=2a²/3+2a²/9=8a²/9, BD²=4·2a²/3=8a²/3. cos∠BED=(2·8a²/9−8a²/3)/(2·8a²/9)=−1/2 nên ∠BED=120°, góc nhị diện bằng 60°, không phải 30°: Sai. Khớp đáp án chính thức ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD⊥AC (hình thoi) và BD⊥SO (SO⊥(ABCD)) nên BD⊥(SAO).
b) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥OE và SA⊥BD (do BD⊥(SAO)) nên SA⊥(BDE), suy ra SA⊥BE.
c) (AI giải đề cho tôi)
OE=SO·OA/SA=(a√6/3)·(a/√3)/a=a√2/3≠a√2/√3.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos∠BED=(BE²+DE²−BD²)/(2BE·DE) với BE²=DE²=8a²/9, BD²=8a²/3, cho cos=−1/2, góc nhị diện bằng 60° chứ không phải 30°.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$ (A đúng). Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$ (D đúng). Từ $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ suy ra $BC\perp (SAB)$, mà $AM\subset (SAB)$ nên $BC\perp AM$ (C đúng). Xét khẳng định B: $AC$ là đường chéo hình vuông nên $AC$ không vuông góc với $AB$, do đó $AC$ không vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$; nói chung $AC$ không vuông góc với $AM$ (ví dụ khi $M$ gần trùng $B$, $AM$ gần trùng $AB$, mà $AC$ không vuông góc $AB$). Vậy khẳng định sai là B, trùng đáp án của đề (mã đề 3267, Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ nên $AC\perp BD$ tại $O$. Hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$ vuông góc nhau, giao tuyến là $BD$, mà $AC\subset (ABCD)$ và $AC\perp BD$ nên theo định lý về điều kiện vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng (hoặc: $(SBD)\perp (ABCD)$, giao tuyến $BD$, $AC\perp BD$, $AC\subset (ABCD)$) suy ra $AC\perp (SBD)$. Vậy đường thẳng $AC$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$, đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 3267, câu 5: D).

Đáp án chính thức (Mã đề 1354, Phần II, Câu 2, trang 9): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai. Lý giải từng ý do AI solution agent bổ sung, nhất quán với đáp án chính thức.
a) Đúng. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $BD\perp AC$; lại có $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp BD$. Suy ra $BD\perp (SAO)$. (Lý giải được bổ sung bởi AI solution agent; đáp án Đúng khớp bảng đáp án chính thức Mã đề 1354, Phần II, Câu 2, trang 9.)
b) Đúng. Từ ý a), $BD\perp (SAO)$ nên $OB\perp SA$; vì $OE\perp SA$ (E là hình chiếu của O trên SA) nên $SA\perp (OBE)$, do đó $SA\perp BE$. (Lý giải được bổ sung bởi AI solution agent; đáp án Đúng khớp bảng đáp án chính thức.)
c) Sai. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ có $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $SA=a$ nên $OA=\sqrt{a^2-\frac{6a^2}{9}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Diện tích tam giác $SOA$: $\frac{1}{2}SA\cdot OE=\frac{1}{2}SO\cdot OA$ suy ra $OE=\frac{SO\cdot OA}{SA}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}\ne \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. (Lý giải được bổ sung bởi AI solution agent; đáp án Sai khớp bảng đáp án chính thức.)
d) Sai. Vì $SA\perp BE$ và $SA\perp OE$ nên góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$ là $\widehat{OEB}$. Hình thoi cạnh $a$ có $OA=\frac{a}{\sqrt{3}}$ nên $OB=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Tam giác $OEB$ vuông tại $O$: $\tan \widehat{OEB}=\frac{OB}{OE}=\frac{a\sqrt{6}/3}{a\sqrt{2}/3}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{OEB}=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. (Lý giải được bổ sung bởi AI solution agent; đáp án Sai khớp bảng đáp án chính thức.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ mà $BC$ nằm trong $(ABCD)$ nên $SA\perp BC$ (đáp án C). Các khẳng định khác không đúng: $SC$ không vuông góc $AC$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$); $CD$ không vuông góc $SB$ hay $SC$ vì $CD\perp AD$ nhưng $CD$ không vuông góc $SA$ nên không vuông góc $(SAD)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã 1111, câu 12: C).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1111 (Phần II, Câu 1): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

$\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow$
a) $BC\perp (SAB)$
$\Rightarrow BC\perp SB$
Vậy tam giác SBC vuông tại B(đpcm)



b) $\{\begin{array}{l}AH\perp SB\\ AH\perp BC\end{array}$
$\Rightarrow AH\perp SC(1)$
Tương tự $AK\perp SC(2)$
Từ (1) và (2) suy ra
$HK\perp SC$ (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD).
a) Vì SA ⊥ (ABCD) mà BD nằm trong (ABCD) nên SA ⊥ BD. Đúng.
b) Vì AB ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)) nên khoảng cách từ C đến cạnh SA là đoạn AB (đường vuông góc chung, vì AB ⊥ SA và AB ⊥ BC). Vậy d(C, SA) = AB = 2a ≠ √2·a. Sai.
c) Có BC ⊥ AB (đáy là hình vuông) và BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)) nên BC ⊥ (SAB). Mà BC nằm trong (SBC) nên (SBC) ⊥ (SAB). Đúng.
d) Góc nhị diện [B, SA, C] có cạnh SA. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB và SA ⊥ AC, do đó góc phẳng của góc nhị diện [B, SA, C] là góc BAC (bằng 90°), không phải góc BSC. Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a-Đ, b-S, c-Đ, d-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABCD), gồm BD.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB ⊥ SA và AB ⊥ BC nên d(C, SA) = AB = 2a, không phải √2·a.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB).
d) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ AB và SA ⊥ AC nên góc phẳng của [B, SA, C] là góc BAC, không phải BSC.