Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

Gợi ý làm bài:



$\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$ có $I$ là trung điểm của $BC$ nên $AI\perp BC$ (0.25)

do $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $AI\perp C{C}^{\prime }$ (0.25)

Suy ra $AI\perp (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy tam giác vuông tại $A$ nên $AB\perp AC$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Từ đó $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $AB\perp (SAC)$. Các khẳng định khác sai: $AC$ không vuông góc $(SBC)$ vì $AC$ không vuông góc $BC$; $SB$ không vuông góc $(ABC)$ vì $SB$ không vuông góc $BC$; $BC$ không vuông góc $(SAC)$ vì $BC$ không vuông góc $AC$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 163, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt đáy, do đó $SA\perp BD$. Đúng.
b) Trong hình vuông $ABCD$, $CD\perp AD$; lại có $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$). Suy ra $CD\perp (SAD)$, mà $SC\subset (SAD)$ nên $SC\perp CD$. Đúng.
c) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SAC)$ là $SA$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$. Vậy góc nhị diện $[B,SA,C]$ là $\angle BAC$. Đúng.
d) Gọi $O$ là tâm hình vuông, $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp OA$, do đó $\mathrm{d}(O,SA)=OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, suy ra $CD\perp SC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến là $SA$; $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$ nên góc nhị diện là $\angle BAC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ tâm $O$ đến $SA$ bằng $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên cạnh bên $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$, do đó $B{B}^{\prime }\perp AC$. Đáy $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với nhau: $AC\perp BD$. Trong mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ có hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $B{B}^{\prime }$ cùng vuông góc với $AC$, theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có $AC\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Từ đó $AC\perp (SBD)$ vì $AC$ nằm trong $(ABCD)$ và vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BD,SB$ của $(SBD)$. Các khẳng định A, D sai vì chỉ có $SB\perp (ABCD)$; khẳng định B sai vì để $BD\perp (SAC)$ cần $BD\perp SA$, điều này không được suy ra từ giả thiết. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy. Đường thẳng $BD$ nằm trong $(ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Các đường $SB,SC,SD$ đều tạo với $SA$ một góc nhọn (không vuông góc) vì chúng có thành phần theo phương $SA$. Vậy đáp án là $BD$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0002, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Đường thẳng $BD$ nằm trong đáy $(ABCD)$, do đó $SA\perp BD$. Các đường $SD,SC,SB$ đều xiên, không vuông góc với $SA$. Vậy đáp án là $BD$. Khớp với đáp án nguồn (đề 0001, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, qua một điểm $O$ luôn tồn tại duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước $a$ (định lý về tính duy nhất của mặt phẳng vuông góc với đường thẳng tại một điểm). Do đó qua $O$ có đúng 1 mặt phẳng vuông góc với $a$. Kết quả này trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 10: C).

a) Ta có $\{\begin{array}{l}AD\perp AB(gt)\\ AD\perp SA(gt)\\ AB,SA\subset (SAB)\end{array}$ nên kết luận $AD\perp (SAB)$.
b) Vì $AD\perp (SAB)$ và $AD\subset (SAD)$ nên kết luận $(SAD)\perp (SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý: Trong không gian, qua một điểm $O$ bất kỳ (thuộc hoặc không thuộc đường thẳng $a$) luôn tồn tại duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $a$. Do đó qua điểm $O$ có đúng 1 mặt phẳng vuông góc với $a$. Đáp án khớp với mã đề 101, câu 7: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mà $BC\perp AB$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$) nên $BC\perp (SAB)$ → mệnh đề C đúng. Suy ra $BC\perp SB$, kết hợp $AH\perp SB$ (vì $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$) và $BC\perp AH$ (vì $AH\subset (SAB)$) ta được $AH\perp (SBC)$ → mệnh đề A đúng. Khi đó $AH\perp SC$, $AK\perp SC$ (vì $K$ là hình chiếu của $A$ trên $SC$) nên $SC\perp (AHK)$ → mệnh đề D đúng. Riêng với $AK$: ta chỉ có $AK\perp SC$, nhưng $AK$ không nằm trong $(SAB)$ nên không suy ra $AK\perp BC$, do đó không kết luận được $AK\perp (SBC)$; thực tế $AK$ chỉ vuông góc với $SC$ chứ không vuông góc với mặt $(SBC)$. Vậy mệnh đề sai là B, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(2a,0,0), D(0,2a,0), C(2a,2a,0), S(0,0,2√3a).
a) Đúng: BC⊥AB (đáy vuông) và BC⊥SA (vì SA⊥(ABCD)) ⇒ BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥SB.
b) Sai: Vì BC∥AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD, tức góc ∠SDA của tam giác vuông SAD. Ta có tan∠SDA = SA/AD = 2√3a/2a = √3 ⇒ góc bằng 60°, không phải 30°.
c) Đúng: BD⊥AC (hai đường chéo hình vuông) và BD⊥SA (vì SA⊥(ABCD)) ⇒ BD⊥(SAC).
d) Đúng: Tính tọa độ. H là hình chiếu của A trên SB: với S(0,0,2√3a), vectơ SB=(2a,0,−2√3a), |SB|²=16a², tham số t=3/4 ⇒ H=(3a/2, 0, √3a/2). Tương tự K=(0, 3a/2, √3a/2). I là hình chiếu của A trên SC: SC=(2a,2a,−2√3a), |SC|²=20a², t=3/5 ⇒ I=(6a/5, 6a/5, 4√3a/5). Vectơ HK=(−3a/2, 3a/2, 0), vectơ AI=(6a/5, 6a/5, 4√3a/5). Tích vô hướng HK·AI = (−3a/2)(6a/5)+(3a/2)(6a/5)+0 = 0 ⇒ HK⊥AI. Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC⊥AB và BC⊥SA ⇒ BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥SB.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD = ∠SDA với tan∠SDA = 2√3a/2a = √3 ⇒ góc bằng 60°, không phải 30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
BD⊥AC và BD⊥SA ⇒ BD⊥(SAC).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ H=(3a/2,0,√3a/2), K=(0,3a/2,√3a/2), I=(6a/5,6a/5,4√3a/5), ta có HK·AI = 0 ⇒ HK⊥AI.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa: đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ được gọi là vuông góc với $(P)$ nếu $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ (đi qua giao điểm hoặc bất kỳ). Phương án A chỉ yêu cầu vuông góc với hai đường thẳng phân biệt — đó là dấu hiệu nhận biết, không phải định nghĩa; C và D chỉ vuông góc với một đường thẳng nên chưa đủ. Kết quả khớp với bảng đáp án (mã đề 288, câu 9 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ được gọi là vuông góc với $(P)$ khi và chỉ khi $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Phương án A sai vì hai đường thẳng phân biệt trong $(P)$ phải cắt nhau (hoặc một đường song song một đường cắt) mới đủ điều kiện; B chỉ có một đường nên chưa đủ; D không liên quan. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 119: Câu 11 là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $BC\perp AB$ (đáy hình vuông) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) $\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp SB$.
b) Sai: $BC\parallel AD$ nên góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, tức góc $\widehat{SDA}$ của tam giác vuông $SAD$ (vuông tại $A$). Với $SA=2\sqrt{3}a$, $AD=2a$: $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SDA}=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$.
c) Đúng: $ABCD$ hình vuông nên $BD\perp AC$; $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BD$. Vậy $BD\perp (SAC)$.
d) Đúng: $AH\perp SB$ và $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AH$, suy ra $AH\perp (SBC)\Rightarrow AH\perp SC$. Tương tự $AK\perp SD$, $CD\perp AK\Rightarrow AK\perp (SDC)\Rightarrow AK\perp SC$. Do đó $SC\perp (AHK)\Rightarrow SC\perp HK$. Mặt khác $AI\perp SC$ (I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SC) nên $AI$ nằm trong mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, tức $AI\subset (AHK)$. Vậy $HK\perp AI$. Kết quả khớp đáp án mã đề 119: a)Đúng - b)Sai - c)Đúng - d)Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc $\widehat{SDA}=\arctan \frac{2\sqrt{3}a}{2a}=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ (hình vuông) và $BD\perp SA\Rightarrow BD\perp (SAC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AH\perp (SBC)$ và $AK\perp (SDC)\Rightarrow SC\perp (AHK)\Rightarrow SC\perp HK$; vì $AI\perp SC$ nên $AI\subset (AHK)$, do đó $HK\perp AI$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, các đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $d$ nằm trong mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $d$; trong mặt phẳng đó có vô số đường thẳng qua $O$ vuông góc với $d$ (chúng cùng song song với hình chiếu vuông góc). Vậy có vô số đường thẳng, đáp án A. Khớp với bảng đáp án (mã đề 119, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $BC\perp AB$ (đáy vuông tại $B$) và $SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$, nên $BC\perp (SAB)$ → mệnh đề C đúng. Vì $H\in SB\subset (SAB)$ nên $AH\subset (SAB)$, suy ra $AH\perp BC$; kết hợp $AH\perp SB$ (H là hình chiếu của A trên SB) ta được $AH\perp (SBC)$ → mệnh đề B đúng. Từ đó $SC\perp AH$ (vì $SC\subset (SBC)$) và $SC\perp AK$ (K là hình chiếu của A trên SC), mà $AH\cap AK=A$ nên $SC\perp (AHK)$ → mệnh đề D đúng. Riêng mệnh đề A sai: mặc dù $AK\perp SC$, ta không có $AK\perp BC$ vì $K\in SC$ không nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ (chỉ có $AH$ mới nằm trong $(SAB)$), nên không kết luận được $AK\perp (SBC)$. Thực tế nếu $AK\perp (SBC)$ thì chân đường vuông góc từ A xuống $(SBC)$ phải duy nhất là H, tức K = H, điều này chỉ xảy ra khi H trùng S, không đúng chung. Vậy mệnh đề sai là A, trùng đáp án của đề (Mã đề 119, Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Vậy đáp án đúng là D.

a) Ta có:
$$\{\begin{array}{l}(A^{\prime }AB)\perp (ABC)\\ (A^{\prime }AC)\perp (ABC)\\ (A^{\prime }AB)\cap (A^{\prime }AC)=A{A}^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp (ABC)$$

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

b) $A{A}^{\prime }\perp (ABC)\Rightarrow \left(A^{\prime }B,(ABC)\right)=\left(A^{\prime }B,AB\right)=\widehat{AB{A}^{\prime }}$
Tam giác $A{A}^{\prime }B$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{AB{A}^{\prime }}=\frac{A{A}^{\prime }}{AB}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{AB{A}^{\prime }}=45^{\circ }$
Vậy $\left(A^{\prime }B,(ABC)\right)=45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$ (vì $SB\subset (SAB)$). Vậy khẳng định đúng là $SB\perp BC$. Kiểm tra các phương án khác: $SB$ không vuông góc $AB$ (tam giác $SAB$ vuông tại $A$); $SA\perp SM$ sai vì góc $ASM$ nhọn; $SM\perp BC$ sai vì hình chiếu của $SM$ lên đáy là $AM$ mà $AM$ không vuông góc $BC$ (chỉ trung tuyến nên không vuông góc với cạnh huyền).