Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ đúng vì $BC\perp AB$ và $BC\perp B{B}^{\prime }$; $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ đúng theo tính chất hình hộp chữ nhật. Với A: $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, muốn $AC\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ thì $AC$ phải vuông góc với $A{A}^{\prime }$, nhưng $A{A}^{\prime }$ vuông góc với $(ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mọi đường thẳng trong $(ABCD)$, do đó $A{A}^{\prime }\perp AC$, tức $AC$ không thể vuông góc với $A{A}^{\prime }$ (trừ trường hợp suy biến). Vậy mệnh đề $AC\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, mà $AM\subset (SAB)$ nên $BC\perp AM$. Kết hợp giả thiết $AM\perp SB$, với $SB$ và $BC$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBC)$, ta được $AM\perp (SBC)$. Vậy đáp án D. (Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $AM$ không vuông góc $AC$; B sai vì $AM$ không vuông góc $BD$; C sai vì $AM$ không vuông góc $SA$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Vì $H$ là hình chiếu của $S$ lên $BC$ nên $SH\perp BC$. Từ đó $BC\perp SA$ và $BC\perp SH$, mà $SA$ và $SH$ cắt nhau tại $S$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SAH)$, suy ra $BC\perp (SAH)$. Các khẳng định A, B, C không suy ra được từ giả thiết (ví dụ $BC$ không vuông góc với $(SAB)$ vì $BC$ cắt $AB$ trong $(SAB)$...). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ cùng vuông góc với mặt đáy, nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ đều đúng. Còn $B{C}^{\prime }$ là đường chéo của mặt bên $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, không vuông góc với $(ABC)$ (vì nếu vuông góc thì phải vuông góc với $BC$ trong $(ABC)$, nhưng tam giác $BC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$ nên $B{C}^{\prime }\cdot BC>0$). Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại B, AC=2a nên AB=BC=a√2. a) BC⊥AB (vuông tại B) và BC⊥SA (vì SA⊥(ABC)) nên BC⊥(SAB): Đúng. b) SA⊥(ABC) nên hình chiếu của S lên (ABC) là A: Đúng. c) V = (1/3)·S(ABC)·SA = (1/3)·(a√2·a√2/2)·a = a³/3: Đúng. d) SB=SC=√(a²+2a²)=a√3, diện tích (SBC) = (1/2)·BC·d(S,BC) = (1/2)·a√2·a√3 = a²√6/2. Khoảng cách từ A đến (SBC): d = 3V/S(SBC) = a³/(a²√6/2) = 2a/√6 = a√6/3 ≈ 0,816a ≠ a√2/2 ≈ 0,707a: Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC⊥AB (do tam giác vuông tại B) và BC⊥SA (do SA⊥(ABC)) nên BC⊥(SAB).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì SA⊥(ABC) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=BC=a√2, S(ABC)=a², V=(1/3)·a²·a=a³/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
S(SBC)=a²√6/2, d(A,(SBC))=3V/S(SBC)=a√6/3 ≠ a√2/2.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $S(0;0;0)$, $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $\sqrt{2}$, tâm ngoại tiếp $I\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.

a) $(ABC):x+y+z=1$ có pháp tuyến $(1;1;1)$ cùng phương $\overrightarrow{SI}$, nên $SI\perp (ABC)$. Đúng.

b) $d(S,(ABC))=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\theta \approx 35,26^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SCA}$. Sai.

c) Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SEA}$ với $E\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$: $\cos \widehat{SEA}=\frac{1/2}{\sqrt{1/2}\sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, góc $\approx 54,7^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SBA}$. Sai.

d) $d(A,BC)=AE=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(ABC):x+y+z=1$ có pháp tuyến $(1;1;1)$ cùng phương $\overrightarrow{SI}=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$, nên $SI\perp (ABC)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SC$ và $(ABC)$: $\sin \theta =\frac{d(S,(ABC))}{SC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\theta \approx 35,26^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SCA}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SEA}$ ($AE\perp BC$, $SE\perp BC$). Với $E\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$: $\cos \widehat{SEA}=\frac{1/2}{\sqrt{1/2}\cdot \sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, góc $\approx 54,7^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SBA}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,BC)=AE=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc nên $AC\perp BD$. Do đó $BD\perp (SA\cap AC)=(SAC)$. Các phương án A, B sai vì $SB,SC$ không vuông góc mặt đáy; phương án C sai vì $BC$ không vuông góc với $SA$ (và $BC$ không vuông góc với $AC$). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: (A) Nếu $a\parallel (P)$ và $b\perp a$ thì $b$ có thể song song với $(P)$, cắt $(P)$, hoặc nằm trong $(P)$ chứ không nhất thiết $b\perp (P)$. Ví dụ: $a$ song song $(P)$, $b$ nằm trong $(P)$ và vuông góc với hình chiếu của $a$ thì $b\perp a$ nhưng $b$ không vuông góc $(P)$. Vậy A là khẳng định SAI. (B) Đúng: hai mặt phẳng song song thì đường thẳng vuông góc với một mặt cũng vuông góc với mặt kia. (C) Đúng: vì $b\perp (P)$ nên $b$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong hoặc song song với $(P)$, do đó $b\perp a$. (D) Đúng: hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1145, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $SH\perp (ABCD)$ nên $SH$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đó, suy ra $SH\perp BD$.
b) Sai: $AB\perp AD$ nhưng $AB$ không vuông góc với $SA$ (vì $SA$ nghiêng so với mặt đáy, tam giác $SAH$ vuông tại $H$ với $AH=2a$, $SH=2a$ nên $SA=2\sqrt{2}a$, góc $SAH\ne 90^{\circ }$). Do đó $AB$ không vuông góc với $(SAD)$.
c) Đúng: $BC\perp AB$ (hình chữ nhật) và $BC\perp SH$ (vì $SH\perp (ABCD)$) nên $BC\perp (SAB)$. Vì $BC\subset (BMC)$ nên $(BMC)\perp (SAB)$.
d) Đúng: Diện tích hình thang $AHCD$ với $AH=2a$, $DC=4a$, chiều cao $AD=3a$ là $\frac{(2a+4a)\cdot 3a}{2}=9a^2$. Khoảng cách từ $M$ (trung điểm $SA$) đến mặt đáy bằng $\frac{SH}{2}=a$. Vậy $V_{M.AHCD}=\frac{1}{3}\cdot 9a^2\cdot a=3a^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ S Đ Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$SH\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp BD$ vì $BD\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB\perp AD$ nhưng $AB$ không vuông góc với $SA$ (tam giác $SAH$ vuông tại $H$, $SA$ nghiêng), nên $AB$ không vuông góc với $(SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SH\Rightarrow BC\perp (SAB)$; vì $BC\subset (BMC)$ nên $(BMC)\perp (SAB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{AHCD}=\frac{(2a+4a)\cdot 3a}{2}=9a^2$; khoảng cách từ $M$ đến đáy là $\frac{SH}{2}=a$; $V=\frac{1}{3}\cdot 9a^2\cdot a=3a^3$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mà $BC\perp AB$, $BC\perp SA$, $AB,SA\subset (SAB)$ và cắt nhau tại $A$, nên $BC\perp (SAB)$.

b) Vì $BC\perp (SAB)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ theo giao tuyến $SB$. Trong $(SAB)$, kẻ $AH\perp SB$ tại $H$, suy ra $AH\perp (SBC)$. Do đó $CH$ là hình chiếu của $AC$ lên $(SBC)$, góc giữa $AC$ và $(SBC)$ là $\widehat{ACH}$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=AB=2a$ nên $SB=2a\sqrt{2}$. Diện tích $\Delta SAB$: $AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{2a\cdot 2a}{2a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AC=2a\sqrt{2}$.

Trong tam giác $ACH$ (vuông tại $H$): $\sin \widehat{ACH}=\frac{AH}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{ACH}=30^{\circ }$.

Vậy góc giữa $AC$ và $(SBC)$ bằng $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ nên $AC\perp BD$ tại $O$. Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Do đó $AC$ vuông góc với hai đường thẳng $BD$ và $SO$ cắt nhau tại $O$ trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Từ đó $CD\perp (SAD)$ (vì $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Suy ra $CD\perp SD$ (vì $SD\subset (SAD)$). Các đường $SC,AC,SB$ không vuông góc với $CD$ (chỉ $BC\perp CD$ trong đáy). Vậy $CD$ vuông góc với $SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OB\perp OA$ và $OB\perp OC$ nên $OB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $OA,OC$ nằm trong mặt phẳng $(OAC)$. Suy ra $OB\perp (OAC)$. Các khẳng định còn lại sai: $OB$ nằm trong $(OBC)$ và $(OAB)$ nên không thể vuông góc với chúng; $OB$ không vuông góc với $(ABC)$ vì $OB$ không vuông góc với $BC$ (tam giác $OBC$ vuông tại $O$).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy $a\sqrt{2}$, cạnh bên $2a$. Gọi O tâm đáy: $AC=2a\Rightarrow OA=a$, chiều cao $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$.
a) $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD\perp SO$ (vì $SO\perp (ABCD)$) $\Rightarrow BD\perp (SAC)$. Đúng.
b) Góc giữa cạnh bên và đáy là $\widehat{SAO}$: $\tan \widehat{SAO}=\frac{SO}{OA}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow 60^{\circ }$. Đúng.
c) Góc giữa mặt bên và đáy là góc giữa SM (M trung điểm BC) và OM, $OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$: $\tan \alpha =\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{6}\Rightarrow \alpha \approx 67,8^{\circ }\ne 45^{\circ }$. Sai.
d) Tọa độ $A(0,0,0),B(a\sqrt{2},0,0),C(a\sqrt{2},a\sqrt{2},0),S\left(\frac{a\sqrt{2}}{2},\frac{a\sqrt{2}}{2},a\sqrt{3}\right)$. Pháp tuyến $(SAB)$: $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=(0,-a^2\sqrt{6},a^2)$; pháp tuyến $(SBC)$: $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(a^2\sqrt{6},0,a^2)$. Tích vô hướng $=a^4\ne 0$, tức $\cos$ góc giữa hai mặt phẳng $=\frac{a^4}{a^2\sqrt{7}\cdot a^2\sqrt{7}}=\frac{1}{7}\ne 0$, nên $(SBC)$ không vuông góc $(SAB)$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC và BD ⊥ SO nên BD ⊥ (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
tan(SAO)=SO/OA=a√3/a=√3 ⇒ góc bằng 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = SO/OM = a√3/(a√2/2)=√6 ⇒ α≈67,8° ≠ 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến (SAB)=(0,−a²√6,a²), pháp tuyến (SBC)=(a²√6,0,a²), tích vô hướng = a⁴ ≠ 0 (cos góc nhị diện = 1/7), nên hai mặt phẳng không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp AD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Do đó $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $AB\perp (SAD)$. Các phương án khác sai vì $AC$, $BD$ không vuông góc với $AB$ (trong hình chữ nhật), còn $SC$ không vuông góc với $(SAB)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ trục: A(0;0;0), B(2a;0;0), C(2a;2a;0), D(0;4a;0) (AD ∥ BC, AB ⊥ AD và AB ⊥ BC). Vì (SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD) nên giao tuyến SA ⊥ (ABCD), suy ra SA ⊥ AB, SA ⊥ AD.
a) BC ⊥ AB (giả thiết) và BC ⊥ SA (vì SA ⊥ đáy) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB (vì SB ⊂ (SAB)). Vậy tam giác SBC vuông tại B.
b) Ta có CD ⊥ AC: thật vậy vectơ CD = (−2a; 2a), vectơ AC = (2a; 2a) nên CD·AC = −4a² + 4a² = 0. Mặt khác CD ⊥ SA (vì SA ⊥ đáy) ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AH (vì AH ⊂ (SAC)). Kết hợp AH ⊥ SC (H là hình chiếu của A trên SC) ⇒ AH ⊥ (SCD).
c) Vì BC ⊥ (SAB) nên khoảng cách từ C đến (SAB) bằng BC = 2a. Góc giữa SC và (SAB) là 30° nên sin30° = BC/SC ⇒ SC = 2a/sin30° = 4a. Tam giác SBC vuông tại B: SB = √(SC² − BC²) = √(16a² − 4a²) = 2a√3. Tam giác SAB vuông tại A: SA = √(SB² − AB²) = √(12a² − 4a²) = 2a√2. Tọa độ S(0; 0; 2a√2). Mặt phẳng (SCD) đi qua C(2a;2a;0), D(0;4a;0), S(0;0;2a√2) có phương trình: √2x + √2y + 2z = 4a√2. Khoảng cách từ B(2a;0;0): d(B,(SCD)) = |2a√2 − 4a√2| / √(2+2+4) = 2a√2 / (2√2) = a. (Kiểm tra: d(A,(SCD)) = 4a√2/(2√2) = 2a = AH, đúng vì AH ⊥ (SCD) và AH = SA·AC/SC = (2a√2·2a√2)/4a = 2a.) Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng a.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ (đi qua giao điểm). Do đó đáp án là C. Các phương án A, B chỉ nói về vị trí tương đối (số điểm chung), D chỉ vuông góc với một đường thẳng nào đó nên không đủ điều kiện.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, $AD\perp CD$, $AC\perp BD$; và $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông với mọi đường thẳng trong đáy.
- A đúng: $CD\perp AD$, $CD\perp SA$ với $AD,SA\subset (SAD)$ nên $CD\perp (SAD)$.
- C đúng: $BD\perp AC$, $BD\perp SA$ với $AC,SA\subset (SAC)$ nên $BD\perp (SAC)$.
- D đúng: $BC\perp AB$, $BC\perp SA$ với $AB,SA\subset (SAB)$ nên $BC\perp (SAB)$.
- B sai: $AC\perp BD$ nhưng $AC$ không vuông góc với $SB$ (tam giác $SAB$ vuông tại $A$, $SB$ không vuông góc với $AC$), nên không thể có $AC\perp (SBD)$.
Vậy khẳng định SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình thoi tâm $O$ nên $AC\perp BD$ tại $O$, và $SO\perp (ABCD)$. Từ đó: $BD\perp AC$ và $BD\perp SO$ (vì $SO\perp$ đáy) nên $BD\perp (SAC)$ → A đúng. Tương tự $AC\perp BD$ và $AC\perp SO$ nên $AC\perp (SBD)$ → C đúng. Vì $BO$ nằm trên $BD$ mà $BD\perp (SAC)$ nên $BO\perp (SAC)$ → D đúng. Mệnh đề B: $BD\perp (SCD)$ là SAI vì nếu $BD\perp (SCD)$ thì $BD\perp CD$, nhưng trong hình thoi $BD$ là đường chéo, $CD$ là cạnh, góc giữa chúng không phải $90^{\circ }$ (chỉ khi hình thoi là hình vuông, và khi đó $BD$ không thể vuông góc với cả mặt $(SCD)$ chứa $CD$ nói chung). Vậy mệnh đề SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Do đó $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ thuộc mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $CD\perp (SAD)$. Vậy khẳng định A đúng.
Các khẳng định khác sai: $AC$ không vuông góc $(SBD)$ vì $AC$ nằm trong đáy và cắt $BD$ tại tâm hình vuông; $BD$ không vuông góc $(SAB)$ vì $BD$ không vuông $AB$; $BC$ không vuông góc $(SCD)$ vì $BC$ song song $AD$ mà $AD$ không vuông góc $(SCD)$.