Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy. Hình chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD)$ với $SO=3\mathrm{cm}$ là chiều cao, cạnh bên $SA=3\sqrt{2}\mathrm{cm}$. Trong tam giác vuông $SOA$ vuông tại $O$: $OA=\sqrt{S{A}^2-S{O}^2}=\sqrt{18-9}=3\mathrm{cm}$. Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là $\widehat{SAO}$, nên $\tan \widehat{SAO}=\frac{SO}{OA}=\frac{3}{3}=1\Rightarrow \widehat{SAO}=45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (45).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $BA$ của nó trên mặt phẳng, tức là góc $SBA$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy. Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là $\widehat{SAO}$. Trong tam giác vuông $SOA$ có $SO=3\sqrt{3}$, $SA=6$, nên $\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\widehat{SAO}=60^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, tức $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$, tức là góc $SBA$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy. Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là $\widehat{SAO}$. Trong tam giác vuông $SOA$ có $\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA}=\frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{SAO}=30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (30).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, tức $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$, tức là góc $SBA$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 9 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh lục giác đều là $a$. Diện tích lục giác đều: $\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=18\sqrt{3}\Rightarrow a^2=12\Rightarrow a=2\sqrt{3}$. Khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh lục giác bằng $a=2\sqrt{3}$. Thanh tre nối đỉnh lều với đỉnh lục giác, tạo với mặt sàn góc $30^{\circ }$, nên chiều cao cột giữa (độ dài dây đèn) là $h=a\tan 30^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=2$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (câu 18, mã đề 1102: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh lục giác đều là $a$. Diện tích đáy $\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=18\sqrt{3}\Rightarrow a^2=12\Rightarrow a=2\sqrt{3}$. Hình chiếu của đỉnh trùng tâm $O$ của lục giác, nên các thanh tre là các cạnh bên của chóp. Góc giữa thanh tre (cạnh bên, ví dụ $SA$) với mặt sàn là góc $\angle SAO=30^{\circ }$, với $OA$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác: $OA=a=2\sqrt{3}$. Chiều cao cột giữa $SO=OA\cdot \tan 30^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=2$ m. Vậy độ dài dây đèn cần chuẩn bị ít nhất là $2$ m, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 18 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chỉ nhận giá trị từ $0^{\circ }$ đến $90^{\circ }$ (khi $\Delta \subset (P)$ thì $\alpha =0^{\circ }$, khi $\Delta \perp (P)$ thì $\alpha =90^{\circ }$, khi $\Delta$ không vuông góc với $(P)$ thì $\alpha =(\Delta ,{\Delta }^{\prime })$ với ${\Delta }^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc). Do đó khẳng định C ('$\alpha$ nhận giá trị từ $0^{\circ }$ đến $180^{\circ }$') là sai. Các khẳng định A, B, D đều đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chỉ nhận giá trị từ $0^{\circ }$ đến $90^{\circ }$, nên khẳng định A sai. Các khẳng định B, C, D đều đúng theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = √3a. Trong tam giác vuông SAB (vuông tại A): SB = √(SA² + AB²) = √(3a² + a²) = 2a.

a) ĐÚNG: Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD), do đó góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC, tức là SCA (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng).

b) ĐÚNG: Ta có BC ⊥ AB (đáy hình vuông) và BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH. Mặt khác AH ⊥ SB theo giả thiết (H là hình chiếu của A lên SB). AH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SB và BC trong (SBC) nên AH ⊥ (SBC).

c) ĐÚNG: Vì BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ SB và BC ⊥ AB. Hai đường thẳng SB ⊂ (SBC) và AB ⊂ (ABC) cùng vuông góc với cạnh BC tại B, do đó góc nhị diện [S, BC, A] là góc SBA. Trong tam giác vuông SAB: tan SBA = SA/AB = √3a/a = √3 ⇒ góc SBA = 60°.

d) SAI: Khoảng cách từ A đến (SBC) chính là AH (do AH ⊥ (SBC)). AH là đường cao của tam giác vuông SAB ứng với cạnh huyền SB: AH = SA·AB/SB = (√3a·a)/(2a) = (√3a)/2 ≈ 0,866a. Trong khi √6a/3 ≈ 0,816a, hai giá trị không bằng nhau nên mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD); góc giữa SC và (ABCD) là SCA.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH, kết hợp AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC).
c) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ (SAB) nên góc nhị diện [S,BC,A] là góc SBA; tan SBA = SA/AB = √3 ⇒ 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(SBC)) = AH = SA·AB/SB = √3a/2 ≈ 0,866a ≠ √6a/3 ≈ 0,816a nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$, do đó $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$. Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$, tức là $\widehat{SBA}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 0103, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $C(2a;2a;0)$, $D(0;2a;0)$, $S(0;0;2\sqrt{2}a)$.
a) ĐÚNG: $SA\perp (ABCD)$ nên $DA$ là hình chiếu của $SD$ trên $(ABCD)$; góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$ (với $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{2}$).
b) SAI: $BC\perp AB$ (đáy vuông) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy) nên $BC\perp (SAB)$; nhưng $BC$ không vuông góc với $CD$ nên không suy ra $BC\perp (SCD)$.
c) ĐÚNG: $(SBC)$ qua $S(0;0;2\sqrt{2}a)$, $B(2a;0;0)$, $C(2a;2a;0)$ có pháp tuyến $\vec{n}=(\sqrt{2};0;1)$, phương trình $\sqrt{2}x+z=2\sqrt{2}a$. Khoảng cách từ $A(0;0;0)$: $d=\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}a}{3}$.
d) SAI: Vì $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp BA$ và $BC\perp BS$, góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SBA}$ với $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{2}$, suy ra góc $\approx 54,74^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Kết quả khớp đáp án nguồn: 2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $SA\perp (ABCD)$ nên $DA$ là hình chiếu của $SD$ trên $(ABCD)$; góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$; nhưng $BC$ không vuông góc với $CD$ nên không suy ra $BC\perp (SCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(SBC)$: $\sqrt{2}x+z=2\sqrt{2}a$; $d(A,(SBC))=\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}a}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SBA}$ với $\tan \widehat{SBA}=\sqrt{2}$, góc $\approx 54,74^{\circ }\ne 60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$. Hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ là $AB$. Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$, tức là $\widehat{SBA}$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Lều là hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy AB=4 m. Tâm đáy O có AO = AC/2 = 4√2/2 = 2√2 m. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là ∠SAO = 60°, nên chiều cao cọc chính giữa SO = AO·tan60° = 2√2·√3 = 2√6 ≈ 4,899 m. Cộng phần dư phía trên 0,1 m: 4,899 + 0,1 ≈ 4,999 ≈ 5,0 m. Khớp đáp án nguồn 5,0.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ là đường vuông góc chung, hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$. Vậy góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và $AC$, tức $\widehat{SCA}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, do đó $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$, tức là $\widehat{SBA}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$, do đó $AD$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$. Góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SD$ và hình chiếu $AD$, tức là $\widehat{SDA}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy, do đó $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều, cạnh đáy $2a$, cạnh bên (chiều cao) $h=2\sqrt{3}a$.
a) $A{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+B{B}^{\prime 2}}=\sqrt{4a^2+12a^2}=4a$. Góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là góc giữa $A{B}^{\prime }$ và hình chiếu $A^{\prime }B$: $\sin \alpha =\frac{B{B}^{\prime }}{A{B}^{\prime }}=\frac{2\sqrt{3}a}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha =60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. Sai.
b) $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, nên $d(A{A}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime })=d(A,(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(A,B^{\prime }{C}^{\prime })$ trong đáy = đường cao tam giác đều cạnh $2a$ là $\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Sai.
c) $S_{ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{a}^2$, $V=S\cdot h=\sqrt{3}{a}^2\cdot 2\sqrt{3}a=6a^3$. Đúng.
d) Tọa độ: $A(0,0,0),B(2a,0,0),C(a,\sqrt{3}a,0),A^{\prime }(0,0,2\sqrt{3}a)$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ qua $A$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2a,0,2\sqrt{3}a)\times (a,\sqrt{3}a,2\sqrt{3}a)=(-6a^2,-2\sqrt{3}{a}^2,2\sqrt{3}{a}^2)$, tức $3x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0$. Khoảng cách từ $A^{\prime }$: $d=\frac{|-\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}a|}{\sqrt{9+3+3}}=\frac{6a}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}a$. Đúng.
Khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, Phần II câu 3: SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{3}a}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha =60^{\circ }\ne 30^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách bằng đường cao tam giác đều cạnh $2a$: $a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\sqrt{3}{a}^2\cdot 2\sqrt{3}a=6a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính bằng tọa độ được $d(A^{\prime },(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{6a}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}a$.