Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tâm nền nhà $H(450;600;0)$ nên nửa chiều dài và nửa chiều rộng nền nhà là $450cm$ và $600cm$. Gọi $O_1$ là tâm đáy $ABCD$ của hình chóp (nằm trên đường thẳng qua $H$ vuông góc mặt đất, cách mặt đất $450cm$). Nửa đường chéo đáy: $O_{1}A=\sqrt{450^2+600^2}=750cm$. Vì các cạnh bên bằng nhau nên $S$ nằm trên đường thẳng qua $O_1$ vuông góc với $(ABCD)$. Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là $\alpha$, nên $\tan \alpha =\frac{S{O}_1}{O_{1}A}=\frac{1}{5}\Rightarrow S{O}_1=\frac{750}{5}=150cm$. Vậy đỉnh mái nhà cách mặt đất: $450+150=600cm=6m$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABC: SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại C, AC = a, AB = 2a nên BC = √(AB² − AC²) = √3·a; tam giác ABC có sin∠BAC = BC/AB = √3/2 nên ∠BAC = 60°, ∠ABC = 30°. Tam giác SAC vuông tại A với SA = AC = a nên SC = a√2, các góc ∠SCA = ∠CSA = 45°.

a) Góc với mặt phẳng (ABC):
- SA ⊥ (ABC) nên góc giữa SA và (ABC) bằng 90°.
- SC có hình chiếu lên (ABC) là AC, góc = ∠SCA = 45°.
- SB có hình chiếu lên (ABC) là AB, góc = ∠SBA với tan∠SBA = SA/AB = a/(2a) = 1/2, vậy góc = arctan(1/2) ≈ 26°33′.

b) Góc với mặt phẳng (SAC):
- Vì BC ⊥ AC (giả thiết) và BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC)) nên BC ⊥ (SAC), góc giữa BC và (SAC) bằng 90°.
- BA có hình chiếu lên (SAC) là CA, góc = ∠BAC = 60°.
- Vì BC ⊥ (SAC) nên hình chiếu của B lên (SAC) là C, hình chiếu của BS là CS; góc = ∠BSC. Tam giác SBC có SB = √(SA² + AB²) = √5·a, SC = a√2, BC = a√3, nên cos∠BSC = (SB² + SC² − BC²)/(2·SB·SC) = (5 + 2 − 3)/(2√10) = √10/5, góc = arccos(√10/5) ≈ 50°46′.

c) Góc với mặt phẳng (SAB), CH là đường cao của ΔABC:
- CH ⊥ AB và CH ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC)) nên CH ⊥ (SAB), góc giữa CH và (SAB) bằng 90°.
- Vì CH ⊥ (SAB) nên H là hình chiếu của C lên (SAB). Trong ΔABC vuông tại C: AH = AC·cos∠BAC = a/2, CH = a√3/2, BH = AB − AH = 3a/2.
- CA: góc = ∠CAH, tan∠CAH = CH/AH = √3 nên góc = 60°.
- CB: góc = ∠CBH, tan∠CBH = CH/BH = (a√3/2)/(3a/2) = √3/3 nên góc = 30°.
- CS: góc = ∠CSH với SH = √(SA² + AH²) = a√5/2, CS = a√2, CH = a√3/2; cos∠CSH = (CS² + SH² − CH²)/(2·CS·SH) = (2 + 5/4 − 3/4)/(√10) = √10/4, góc = arccos(√10/4) ≈ 37°46′.

d) AK là đường cao của ΔSAC từ A; vì SA = AC nên K là trung điểm SC, AK = (SA·AC)/SC = a/√2, SK = a√2/2 = a/√2.
- AK ⊥ SC và AK ⊥ BC (vì BC ⊥ (SAC) ⊃ AK) nên AK ⊥ (SBC): góc giữa AK và (SBC) bằng 90°.
- Vì AK ⊥ (SBC) nên K là hình chiếu của A lên (SBC).
- AS: góc = ∠ASK; tam giác AKS vuông tại K có AK = SK = a/√2 nên ∠ASK = 45°.
- AC: góc = ∠ACK = ∠ACS = 45° (vì K nằm trên SC, tam giác SAC cân tại A, ∠ACS = 45°).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ trục: vì đáy vuông tại $A,B$ nên $AD\perp AB$, $BC\perp AB$, do đó $AD\parallel BC$. Chọn $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;2a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$.

a) $SC$ và $(SAB)$: Ta có $AB\perp BC$ (giả thiết) và $SA\perp BC$ ($SA\perp$ đáy) $\Rightarrow BC\perp (SAB)$. Vậy hình chiếu của $SC$ lên $(SAB)$ là $CB$, góc cần tính là $\widehat{SCB}$. Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ với $BC=a$, $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Do đó $\tan \widehat{SCB}=\frac{SB}{BC}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCB}=60^0$.

b) $SD$ và $(SAC)$: Ta có $DC\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy) và $DC\perp AC$ vì $\overrightarrow{DC}=(a;-a;0)$, $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, tích vô hướng $a^2-a^2=0$. Vậy $DC\perp (SAC)$, hình chiếu của $D$ lên $(SAC)$ là $C$, hình chiếu của $SD$ là $SC$. Góc giữa $SD$ và $(SAC)$ là $\widehat{DSC}$. Tam giác $SDC$ vuông tại $C$: $SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{2a^2+4a^2}=a\sqrt{6}$, $DC=a\sqrt{2}$. Suy ra $\sin \widehat{DSC}=\frac{DC}{SD}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, tức $\widehat{DSC}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 35^{0}15^{\prime }$ (hoặc $\tan \widehat{DSC}=\frac{DC}{SC}=\frac{a\sqrt{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$).

c) $AC$ và $(SAD)$: Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA$ $\Rightarrow AB\perp (SAD)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $(SAD)$, thì $H$ thuộc đường thẳng qua $C$ song song $AB$, tức $H$ nằm trên $AD$ với $CH=AB=a$, $AH=BC=a$. Hình chiếu của $AC$ lên $(SAD)$ là $AH$, góc cần tính là $\widehat{CAH}$. Tam giác $ACH$ vuông tại $H$ với $AH=CH=a$ nên $\tan \widehat{CAH}=\frac{CH}{AH}=1\Rightarrow \widehat{CAH}=45^0$.

Kết luận: a) $60^0$; b) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 35^{0}15^{\prime }$; c) $45^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hệ trục với đáy bể là hình vuông cạnh 100cm, các cạnh bên thẳng đứng. Mặt nước là hình bình hành ABCD cắt ba cạnh bên tại A, B, C với độ cao 40, 44, 48cm. Vì ABCD là hình bình hành nên trung điểm AC trùng trung điểm BD, suy ra độ cao của D là d(D)=d(A)+d(C)−d(B)=40+48−44=44cm. Như vậy mặt nước nằm trên mặt phẳng z = 40 + 0,04x + 0,04y (cm), với vectơ pháp tuyến n = (−0,04; −0,04; 1), |n| = √(1+0,0032) = √1,0032. Cạnh bên của hình lập phương có phương thẳng đứng u = (0;0;1). Góc α giữa cạnh bên và mặt nước thỏa sin α = |cos(u,n)| / |n| = 1/√1,0032. Do đó P = √2508 · sin α = √2508/√1,0032 = √(2508/1,0032) = √2500 = 50.

Ta có $SA\perp (ABC)\Rightarrow \left(SC,(ABC)\right)=\widehat{SCA}$

Ta có $SA\perp (ABC)\Rightarrow \left(SB,(ABC)\right)=\widehat{SBA}$

(AI giải đề cho tôi)
a) Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên trung điểm $H$ của $BC$ là chân đường cao, tức $AH\perp BC$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ trên $(ABC)$ là $H$ nên $A^{\prime }H\perp (ABC)$, suy ra $A^{\prime }H\perp BC$. Vì $BC$ vuông với cả $AH$ và $A^{\prime }H$ (hai đường thẳng cắt nhau tại $H$, cùng nằm trong mặt phẳng $(A^{\prime }AH)$) nên $BC\perp (A^{\prime }AH)$. Do đó $BC\perp A^{\prime }A$ (đpcm).

b) Vì $H$ là hình chiếu của $A^{\prime }$ trên $(ABC)$ nên góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $(ABC)$ là góc $\left(A{A}^{\prime },(ABC)\right)=\widehat{A^{\prime }AH}$.

Tam giác $A^{\prime }AH$ vuông tại $H$ với $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$ là cạnh huyền.

Tính $AH$: tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $AB=AC=2a$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, nên $\widehat{BAH}=60^{\circ }$ và $AH=AB\cos 60^{\circ }=2a\cdot \frac{1}{2}=a$ (khi đó $BC=2a\sin 60^{\circ }=2a\sqrt{3}$).

Theo định lý Pythagore: $A^{\prime }H=\sqrt{A{A}^{\prime 2}-A{H}^2}=\sqrt{2a^2-a^2}=a$.

Suy ra $\tan \widehat{A^{\prime }AH}=\frac{A^{\prime }H}{AH}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{A^{\prime }AH}=45^{\circ }$.

Vậy góc giữa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14 (Phần IV): Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a (chóp đều), đáy ABCD là hình vuông tâm O.

a) Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S, mà O là trung điểm AC (tâm hình vuông) nên SO ⊥ AC. Tương tự SB = SD nên SO ⊥ BD. SO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC, BD trong mặt phẳng (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD). Suy ra SO ⊥ BC (vì BC ⊂ (ABCD)).

b) Tam giác SAC vuông cân tại S (SA = SC = a, AC = a√2) nên SO = √(a² − a²/2) = a/√2. Tam giác SOC vuông tại O với SO = OC = a/√2, M trung điểm SC nên OM = SC/2 = a/2 (tính chất đường trung tuyến).

Góc α giữa OM và (SBC): sin α = d(O,(SBC))/OM.
Tam giác SBC đều cạnh a nên S_{SBC} = a²√3/4. Tam giác OBC vuông cân tại O với OB = OC = a/√2 nên S_{OBC} = a²/4.
V_{O.SBC} = (1/3)·(a²/4)·(a/√2) = a³/(12√2).
d(O,(SBC)) = 3V/S_{SBC} = (a³/(4√2))·(4/(a²√3)) = a/√6.
Vậy sin α = (a/√6)/(a/2) = 2/√6 = √6/3.

Kiểm tra lại bằng tọa độ: đặt O(0,0,0), A(a/√2,0,0), C(−a/√2,0,0), B(0,a/√2,0), D(0,−a/√2,0), S(0,0,a/√2), M(−a/(2√2),0,a/(2√2)). Mặt phẳng (SBC): phương trình x/... kiểm tra qua tích có hướng SB×SC = (a²/2, a²/2, a²/2) ∝ (1,1,1), phương trình x + y + z = a/√2. Khoảng cách từ O: (a/√2)/√3 = a/√6 ✓. |OM| = √(a²/8 + a²/8) = a/2 ✓. sin α = (a/√6)/(a/2) = √6/3 ✓. Kết quả khớp với lời giải đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Tấm ván ABCD hình chữ nhật có chiều dài 3,5 m đặt dọc theo mặt phẳng nghiêng (từ đáy hố lên miệng hố) và bề rộng 1 m. Cạnh dưới của ván nằm ở đáy hố (thấp hơn mặt đáy 2 m), cạnh trên nằm ở miệng hố (thuộc mặt đáy). Hai đỉnh chéo nhau là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật: một đỉnh thuộc cạnh dưới (nằm ở đáy hố) và đỉnh kia thuộc cạnh trên (nằm ở miệng hố), nên độ chênh cao giữa hai đỉnh này bằng độ sâu hố là 2 m.

Độ dài đường chéo của tấm ván:
$$d=\sqrt{3,5^2+1^2}=\sqrt{12,25+1}=\sqrt{13,25}\approx 3,640\text{ m}.$$

Góc $\alpha$ giữa đường chéo và mặt phẳng đáy thỏa:
$$\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13,25}}\approx 0,5494.$$

Suy ra $\alpha =\arcsin (0,5494)\approx 33,3^{\circ }$ (khoảng $33^{\circ }18^{\prime }$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy, do đó $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SB$ và hình chiếu của nó, tức góc giữa $SB$ và $AB$ (góc $SBA$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng đáy, do đó $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đáy, tức là góc giữa $SC$ và $AC$ (góc $SCA$). Vậy đáp án là D.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SB$ và $BA$. Chọn C. (Lưu ý: đáp án do AI giải thích bổ sung, nguồn không in đáp án chính thức.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $DA$ là hình chiếu của $SD$ trên mặt phẳng đáy. Do đó góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SDA}$, tức là góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $AD$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt đáy. Hình chiếu của $SC$ trên mặt đáy là $AC$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$ của nó, tức góc $\widehat{SCA}$. Vậy đáp án là $SC$ và $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AC=a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $SA=AC=a$, nên $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=1\Rightarrow \widehat{SCA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$ của nó, tức là góc $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (do $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$), có $SA=a$ và $AB=a$ (tam giác $ABC$ đều cạnh $a$). Khi đó $\tan (\widehat{SBA})=\frac{SA}{AB}=\frac{a}{a}=1$, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $SB$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$, chọn đáp án B. Giải thích này khớp đúng với dữ kiện của Câu 51 (S.ABC, tam giác ABC đều cạnh a, SA = a, góc giữa SB và (ABC)).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Đáy là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=a$ nên $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{2}a}{a\sqrt{2}}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=a\sqrt{2}$ nên $AC=AB\sqrt{2}=2a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{2a}{2a}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A^{\prime }C$ lên $(ABCD)$ là $AC$, nên góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }CA}$. Hình lập phương cạnh $a\sqrt{6}$: $A{A}^{\prime }=a\sqrt{6}$, $AC=a\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}=a\sqrt{12}$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }CA}=\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 35,26^{\circ }\approx 35^{\circ }$. Lưu ý: đề in trên trang 15 cho cạnh $a\sqrt{6}$ (không phải $a\sqrt{7}$), và kết quả khớp với đáp án đã cho.