Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=x^2\ge 0$ với mọi $x$ và $f^{\prime }(x)=0$ chỉ tại $x=0$, hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ (đạo hàm không âm và chỉ triệt tiêu tại một điểm). Do đó trên đoạn $[-1;4]$, giá trị lớn nhất của $f(x)$ đạt tại $x=4$, tức là $f(4)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[5;+\infty )$, ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}>0$ với mọi $x\ge 5$, nên $f$ đồng nhất tăng trên nửa khoảng này. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=5$: $f(5)=5+\frac{1}{5}=\frac{26}{5}=5,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^3}{3}+2x^2-5x+1$ trên đoạn $[-1;3]$.

Ta có $y^{\prime }=x^2+4x-5$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-5$. Vì $x=-5\notin [-1;3]$ nên trên đoạn đã cho chỉ có nghiệm $x=1$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=-1$, $x=1$, $x=3$:
- $y(-1)=\frac{-1}{3}+2+5+1=\frac{23}{3}$
- $y(1)=\frac{1}{3}+2-5+1=-\frac{5}{3}$
- $y(3)=9+18-15+1=13$

So sánh: $\max \left\{\frac{23}{3};-\frac{5}{3};13\right\}=13$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ bằng $13$, đạt được tại $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, nghịch biến trên $(-2;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$. Tại $x=-2$ hàm đạt cực đại $f(-2)=3$ và tại $x=2$ hàm đạt cực đại $f(2)=3$. Vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$ nên giá trị lớn nhất của hàm số là $\max \{f(-2),f(2)\}=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-1;2]$: hàm số tăng từ $f(-1)=3$ đến $x=0$ rồi giảm xuống $f(0)=0$, sau đó tăng đến $f(1)=2$ rồi giảm đến $f(2)=1$. Vậy $M=\max \{3;0;2;1\}=3$, $m=\min \{3;0;2;1\}=0$. Suy ra $M+m=3+0=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 29: đồ thị là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua các điểm $(-1;0)$, $(0;-2)$, $(2;2)$, nên $f(x)=1+\frac{3}{2x-1}$. Kiểm tra: $f(-1)=1-1=0$, $f(0)=1-3=-2$, $f(2)=1+1=2$ đều khớp hình vẽ. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-6}{(2x-1{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh của miền xác định.
a) Trên $[1;2]$ hàm nghịch biến nên max tại $x=1$: $f(1)=1+3=4\ne 2$ → Sai.
b) Đoạn $[-2;1]$ chứa điểm gián đoạn $x=\frac{1}{2}$; trên $\left(\frac{1}{2};1\right]$ hàm nghịch biến và ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{+}}f(x)=+\infty$, nên hàm không có giá trị lớn nhất trên $[-2;1]$ → Sai.
c) Trên $[-3;0]$ (nằm hoàn toàn trên nhánh trái, không chứa $x=\frac{1}{2}$) hàm nghịch biến nên ${\max }_{[-3;0]}f(x)=f(-3)$ → Đúng.
d) Trên $[3;4]$ hàm nghịch biến nên max tại $x=3$, tức ${\max }_{[3;4]}f(x)=f(3)\ne f(4)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ hàm $f(x)=1+\frac{3}{2x-1}$ nghịch biến nên max tại $x=1$, $f(1)=4\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đoạn $[-2;1]$ chứa tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$; khi $x\to {\frac{1}{2}}^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$ nên hàm không đạt giá trị lớn nhất bằng 0 (cũng không có max) trên $[-2;1]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;0]$ hàm nghịch biến (nhánh trái) nên ${\max }_{[-3;0]}f(x)=f(-3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[3;4]$ hàm nghịch biến nên ${\max }_{[3;4]}f(x)=f(3)\ne f(4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=0$; hàm đồng biến từ $-1$ đến $0$ đạt $f(0)=5$; nghịch biến từ $0$ đến $2$ đạt $f(2)=1$; đồng biến từ $2$ đến $3$ đạt $f(3)=4$. Giá trị lớn nhất là giá trị lớn nhất trong các giá trị tại hai đầu mút và các điểm cực trị: $\underset{[-1;3]}{\max }f(x)=\max \{0;5;1;4\}=5$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Trên đoạn $[-1;3]$, xét $f(-1)=-1+3+2=4$; $f(1)=1-3+2=0$; $f(3)=27-9+2=20$. So sánh: ${\max }_{[-1;3]}f(x)=20$ tại $x=3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{4-3x}$ xác định trên $[0;1]$ vì $4-3x\ge 1>0$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-3}{2\sqrt{4-3x}}<0$ với mọi $x\in [0;1]$, nên hàm số nghịch biến trên đoạn $[0;1]$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=1$: $y(1)=\sqrt{4-3}=1$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$. Trên đoạn $[-4;0]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=-3$. Tính giá trị: $f(-4)=\frac{-64}{3}+16+12-4=\frac{8}{3}$; $f(-3)=-9+9+9-4=5$; $f(0)=-4$. So sánh: $\min f(x)=f(0)=-4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền giảm giá cho mỗi máy ($x\ge 0$). Khi đó giá bán mỗi máy là $150-x$ nghìn đồng, và số máy bán được mỗi tháng là $200+4x$ (vì giảm 5 nghìn đồng thì tăng 20 chiếc, tức giảm 1 nghìn đồng tăng 4 chiếc). Doanh thu: $$T(x)=(150-x)(200+4x)=30000+400x-4x^2.$$ Đây là hàm bậc hai với $a=-4<0$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=-\frac{400}{2(-4)}=50$. Kiểm tra: $T^{\prime }(x)=400-8x=0\Rightarrow x=50$, và $T^{\prime \prime }(x)=-8<0$ nên là điểm cực đại. Vậy cửa hàng nên giảm giá 50 nghìn đồng (giá bán còn 100 nghìn đồng/máy, bán được 400 máy, doanh thu $T(50)=40000$ nghìn đồng) để doanh thu lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;5]$: giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $3$ (tại điểm cao nhất của đồ thị), giá trị nhỏ nhất là $-2$ (tại điểm thấp nhất, gần $x=2$). Tổng $\max f+\min f=3+(-2)=1$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, trên khoảng $(1;+\infty )$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống đạt giá trị $-3$ tại $x=2$ rồi tăng trở lại. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(1;+\infty )$ là $f(2)=-3$. Chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\cos x-1\le 0$ với mọi $x$, nên hàm số nghịch biến trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$. Do đó GTLN đạt tại $x=0$: $f(0)=\sin 0-0+1=1$. Vậy $\max f(x)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-2x^2-4x+5$ trên $[1;3]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-4x-4=0\iff x=2$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$; chỉ $x=2$ thuộc $[1;3]$. Tính: $y(1)=1-2-4+5=0$; $y(2)=8-8-8+5=-3$; $y(3)=27-18-12+5=2$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-3$ tại $x=2$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;1]$ hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=1$, và $f(1)=0$, $f(-1)<0$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;1]$ là $1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{7-6x}$ liên tục và giảm dần trên đoạn $[-1;1]$ vì $y^{\prime }=-\frac{3}{\sqrt{7-6x}}<0$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=1$: $y(1)=\sqrt{7-6}=1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+5}{2x-1}$ xác định trên $[1;2]$ vì $2x-1\ne 0$ với mọi $x\in [1;2]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)-(x+5)\cdot 2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-11}{(2x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne \frac{1}{2}$. Vậy hàm số nghịch biến trên $[1;2]$, do đó giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$: $y(1)=\frac{1+5}{2-1}=6$. Kiểm tra: $y(2)=\frac{7}{3}\approx 2,33<6$. Vậy GTLN trên $[1;2]$ bằng $6$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-7;-3]$ ta có $x<0$ nên $y=\left|\frac{1}{x}\right|=-\frac{1}{x}=\frac{1}{|x|}$. Hàm số $y=\frac{1}{|x|}$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ vì $y^{\prime }=\frac{1}{x^2}>0$ với $y=-1/x$... xét trực tiếp: với $x_1<x_2<0$ thì $|x_1|>|x_2|$ nên $\frac{1}{|x_1|}<\frac{1}{|x_2|}$, do đó hàm số nghịch biến theo $|x|$, tức trên đoạn $[-7;-3]$ hàm số đồng biến theo $x$ (khi $x$ tăng từ $-7$ đến $-3$, $|x|$ giảm từ $7$ đến $3$ nên $y$ tăng). Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=-7$: $y_{\min }=\frac{1}{7}\approx 0,\mathrm{142857...}\approx 0,14$.