Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$, ta có $y=\frac{x^2-2x+5}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+4}{x-1}=(x-1)+\frac{4}{x-1}$. Trên khoảng $(1;+\infty )$, đặt $t=x-1>0$, khi đó $y=t+\frac{4}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot \frac{4}{t}}=4$, dấu bằng xảy ra khi $t=\frac{4}{t}\iff t=2$, tức $x=3\in (1;+\infty )$. Vậy $\underset{(1;+\infty )}{\min }y=4$, đạt được tại $x=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;2]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=\sqrt{2}$ với $f(\sqrt{2})=4$ (đỉnh của nhánh đồ thị bên phải, mốc $y=4$ được đánh dấu trên hình). Do đó $\underset{[0;2]}{\mathrm{Max}}f(x)=4$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 311, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ xác định trên $[2;4]$ vì $x=1\notin [2;4]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x-1)-(x^2+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. Trên $[2;4]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=3$. Tính giá trị: $y(2)=\frac{7}{1}=7$, $y(3)=\frac{12}{2}=6$, $y(4)=\frac{19}{3}\approx 6,33$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $6$ tại $x=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 311: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;3]$ ta thấy: tại $x=-1$ hàm số có giá trị $f(-1)=3$ (cực đại cục bộ), hàm giảm xuống đạt giá trị nhỏ nhất $f(1)=-1$ tại $x=1$, sau đó tăng lên đạt giá trị lớn nhất $f(3)=4$ tại $x=3$. Vậy $M=4$, $m=-1$. Khớp với đáp án A và bảng đáp án (mã đề 1002, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;3]$: tại $x=-1$ hàm số có giá trị $f(-1)=3$ (cực đại cục bộ), tại $x=1$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất $f(1)=-1$, và tại $x=3$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $f(3)=4$. So sánh các giá trị: giá trị lớn nhất $M=4$, giá trị nhỏ nhất $m=-1$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $G(x)=0,25x^2(30-x)=7,5x^2-0,25x^3$ với $x>0$. Vì $G(x)\ge 0$ chỉ khi $0<x\le 30$ (với $x>30$ thì $G<0$, huyết áp không giảm), xét $G$ trên $(0;30)$. $G^{\prime }(x)=15x-0,75x^2=0,75x(20-x)$. $G^{\prime }(x)>0$ khi $x\in (0;20)$ và $G^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (20;30)$, nên $G$ đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $x=20$. Kiểm tra: $G(20)=0,25\cdot 400\cdot 10=1000$ lớn hơn $G(30)=0$. Vậy cần tiêm $20$ mg, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên đoạn $[-4;5]$. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ có thể đạt tại các đầu mút hoặc điểm tới hạn. Ta so sánh: $f(-4)=\frac{2}{3}$, $f(-2)=\frac{46}{3}$ (cực đại), $f(4)=-\frac{62}{3}$ (cực tiểu), $f(5)=-\frac{52}{3}$. Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $-\frac{62}{3}$ tại $x=4$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-4;5]$ bằng $-\frac{62}{3}$.

(AI giải đề cho tôi) Đáp án theo bảng mã đề 1203, Phần II câu 2: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai (DSDS).
a) Đúng: $M=f(-2)=7$, $m=f(4)=-4$, nên $P=3\cdot 7-2\cdot (-4)=29$.
b) Sai: giá trị lớn nhất trên $[-2;4]$ là $f(-2)=7$, không phải $f(3)=2$.
c) Sai theo đáp án chính thức của đề.
d) Sai: $f(3)=2>f(0)$, nên $f(3)<f(0)$ là sai.
a) (AI giải đề cho tôi) Theo hình vẽ, trên đoạn $[-2;4]$ ta có $M=f(-2)=7$ và $m=f(4)=-4$. Khi đó $P=3M-2m=3\cdot 7-2\cdot (-4)=21+8=29$. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi) Trên đoạn $[-2;4]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(-2)=7$, không phải $f(3)=2$. Mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi) Theo bảng đáp án chính thức (mã đề 1203, Phần II câu 2, vị trí c) là S (Sai). Lưu ý: theo hình vẽ, đỉnh parabol tại $(1;-2)$ khiến mệnh đề này có vẻ đúng; tuy nhiên đáp án chính thức của đề ghi là Sai, nên giữ nguyên theo nguồn. Cần đối chiếu lại với đề gốc/bản giải chính thức.
d) (AI giải đề cho tôi) Theo bảng đáp án chính thức (mã đề 1203, Phần II câu 2, vị trí d) là S (Sai). Quả thực theo hình vẽ $f(3)=2$ còn $f(0)<0$ (điểm trên parabol giữa $-2$ và $1$), nên $f(3)>f(0)$, mệnh đề $f(3)<f(0)$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ có $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}<0$ với mọi $x\ne 0$, nên hàm số nghịch biến trên $[1;2]$. Do đó $M=y(1)=\frac{1+1}{1}=2$ và $m=y(2)=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$. Vậy $M+m=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$, khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1203.

(AI giải đề cho tôi)
Trên [1;2], y = 1 + 1/x có y' = -1/x^2 < 0 nên hàm nghịch biến. Do đó M = y(1) = 2, m = y(2) = 3/2, nên M + m = 2 + 3/2 = 7/2. Khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol có đỉnh $(1;-2)$ và đi qua $(-2;7)$ nên $y=(x-1{)}^2-2$ trên $[-2;3]$; đoạn thẳng từ $(3;2)$ xuống $(4;-4)$. a) Sai vì $f(-2)=7>2$ nên GTLN trên $[-2;4]$ là $f(-2)=7$, không phải $f(3)=2$. b) Sai vì $f(3)=2$ và $f(0)=(0-1{)}^2-2=-1$, do đó $f(3)>f(0)$. c) Đúng vì trên $[-2;3]$ parabol đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh: $f(1)=-2$. d) Đúng vì $M=f(-2)=7$, $m=f(4)=-4$, nên $P=3M-2m=3\cdot 7-2\cdot (-4)=21+8=29$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1201: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2;4]$, $f(-2)=7$ là giá trị lớn nhất (parabol đi qua $(-2;7)$), lớn hơn $f(3)=2$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có dạng $y=(x-1{)}^2-2$ nên $f(0)=-1$, còn $f(3)=2$. Vậy $f(3)>f(0)$, khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;3]$ hàm số là parabol với đỉnh $(1;-2)$, nên GTNN bằng $f(1)=-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=f(-2)=7$, $m=f(4)=-4$, nên $P=3\cdot 7-2\cdot (-4)=29$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-24=0\iff x=\pm 2\sqrt{2}$. Trên đoạn $[2;19]$, chỉ có $x=2\sqrt{2}\approx 2,83$ thuộc đoạn. Xét $f(2)=8-48=-40$; $f(2\sqrt{2})=16\sqrt{2}-48\sqrt{2}=-32\sqrt{2}\approx -45,25$; $f(19)=19^3-24\cdot 19=6859-456=6403$. Vậy giá trị lớn nhất là $6403$, đạt tại $x=19$, tương ứng đáp án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=0$, hàm đồng biến từ $-1$ đến $0$ đạt $f(0)=5$, nghịch biến từ $0$ đến $2$ đạt $f(2)=1$, rồi đồng biến đến $f(3)=4$. So sánh các giá trị tại hai đầu và các điểm tới hạn: $\min \{f(-1),f(0),f(2),f(3)\}=\min \{0,5,1,4\}=0=f(-1)$. Vậy $\underset{[-1;3]}{\min }f(x)=f(-1)$, khớp với đáp án nguồn (Đề 2, Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-24=0\Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}$. Trên đoạn $[2;19]$ chỉ có điểm $x=2\sqrt{2}$. Tính: $f(2)=8-48=-40$; $f(2\sqrt{2})=(2\sqrt{2}{)}^3-24\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}-48\sqrt{2}=-32\sqrt{2}\approx -45,25$; $f(19)=6859-456=6403$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-32\sqrt{2}$ tại $x=2\sqrt{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Tính giá trị: $f(-3)=-27+9+2=-16$, $f(-1)=-1+3+2=4$, $f(1)=1-3+2=0$, $f(3)=27-9+2=20$. Vậy giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;3]$ là $20$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Tính giá trị tại các điểm nghi ngờ: $f(-3)=-27+9+2=-16$; $f(3)=27-9+2=20$; $f(-1)=-1+3+2=4$; $f(1)=1-3+2=0$. Vậy giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;3]$ là $20$, đạt tại $x=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-2t+9$. Xét trên đoạn $[0;6]$: hàm $v(t)$ có đạo hàm $v^{\prime }(t)=2t-2$, $v^{\prime }(t)=0\iff t=1$. Ta có $v(0)=9$, $v(1)=8$, $v(6)=36-12+9=33$. Vậy vận tốc lớn nhất trong 6 giây đầu là $33$ m/s, đạt tại $t=6$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. Trên đoạn $[-1;2]$, xét $f(-1)=-2$, $f(0)=-1$, $f(1)=-2$, $f(2)=16-8-1=7$. Vậy $M=7$, $m=-2$, nên $M+3m=7+3(-2)=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án trang 13, đề 1020, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: hàm số tăng từ $f(-1)=0$ đến $f(0)=5$, sau đó giảm đến $f(2)=1$, rồi tăng đến $f(3)=4$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là giá trị lớn nhất trong các giá trị $0,5,1,4$, tức ${\max }_{[-1;3]}f(x)=5$ đạt tại $x=0$. Vậy khẳng định đúng là B, trùng với bảng đáp án mã đề 1020 (câu 2 = B, trang 13).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2, trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số có một điểm cực đại tại $x=-3$ với $f(-3)=-6$ (được đánh dấu bằng đường nét đứt từ $x=-3$ xuống $y=-6$). Trên nhánh này, hàm số đồng biến rồi nghịch biến nên đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to -1^{-}$, $f(x)\to -\infty$ (tiệm cận đứng $x=-1$). Vậy ${\max }_{(-\infty ;-1)}f(x)=f(-3)=-6$. Kết quả trùng với đáp án đã cho (D, mã đề 1020).