Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;4]$: điểm cao nhất của đồ thị là điểm đầu mút trái với tọa độ $(-2;7)$, nên ${\max }_{[-2;4]}f(x)=f(-2)=7$. Điểm thấp nhất là điểm đầu mút phải với tọa độ $(4;-4)$, nên ${\min }_{[-2;4]}f(x)=f(4)=-4$ (các giá trị trung gian như $f(1)=-2$, $f(3)=2$ đều lớn hơn $-4$ và nhỏ hơn $7$). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: $7+(-4)=3$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án chính thức (Mã đề 1020, câu 8 = B).

Chọn B (theo thứ tự phương án trong lời giải gốc; theo đề mã 1010 là phương án A). Căn cứ vào bảng biến thiên ta có $\underset{[-1;3]}{\max }f(x)=5$.

Ta có: $m=\underset{[-2;4]}{\min }f(x)=-4$, $M=\underset{[-2;4]}{\max }f(x)=7$. Vậy $M+m=7+(-4)=3$. Trong lời giải gốc (trang 15, Câu 6) đáp án là C vì thứ tự phương án ở đó là A. $-2$; B. $5$; C. $3$; D. $0$; theo đề mã 1010 (trang 2) phương án mang giá trị $3$ là D.

Chọn A. Ta có: $f^{\prime }(x)=4x^3-4x$. Xét $f^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=0\\ x=1\end{array}$. Ta có $f(-1)=-2;f(0)=-1;f(1)=-2;f(2)=7$. Vậy $M=7,m=-2$. Do đó $M+3m=7+3(-2)=1$.

Chọn C (theo thứ tự phương án trong lời giải gốc; theo đề mã 1010 là phương án D). Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên khoảng $(-\infty ;-1)$ bằng $-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=2x^3+3x^2-12x+5$ trên $[-1;2]$. Ta có $y^{\prime }=6x^2+6x-12=6(x-1)(x+2)=0$ nên $x=1$ (thuộc đoạn) hoặc $x=-2$ (loại). Tính giá trị: $y(-1)=-2+3+12+5=18$; $y(1)=2+3-12+5=-2$; $y(2)=16+12-24+5=9$. Vậy $\max y=18$ tại $x=-1$, khớp đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 201, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3+3x^2-9x-6$ trên $[-1;2]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$, nên $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ (do $x=-3\notin [-1;2]$). Trên $[-1;1]$: $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến), trên $[1;2]$: $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến). Tính giá trị tại các điểm: $y(-1)=-1+3+9-6=5$; $y(1)=1+3-9-6=-11$; $y(2)=8+12-18-6=-4$. So sánh: giá trị lớn nhất là $5$ tại $x=-1$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là v(t)=s'(t)=-3t^2+12t+1. Đây là parabol bậc hai với hệ số a=-3<0 nên đạt giá trị lớn nhất tại t=-12/(2·(-3))=2 (giây). Khi đó v_max=v(2)=-3·4+12·2+1=-12+24+1=13 (m/s). Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=3$ (tại $x=-1$) và giá trị nhỏ nhất $m=-1$ (tại $x=1$). Vậy $M+m=3+(-1)=2$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-x^2-x+2$ trên $[0;2]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-2x-1$; $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$ (loại vì $-\frac{1}{3}\notin [0;2]$). Tính giá trị: $y(0)=2$, $y(1)=1-1-1+2=1$, $y(2)=8-4-2+2=4$. Vậy giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0;2]$ là $1$, đạt tại $x=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[1;2]$ ta có $\cos x\le 1$ nên $f^{\prime }(x)=\cos x-2025\le 1-2025=-2024<0$ với mọi $x$. Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $[1;2]$, do đó giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn này đạt tại đầu mút trái, tức là ${\max }_{[1;2]}f(x)=f(1)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-x^2-x+2$ trên $[0;2]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$ (loại vì $-\frac{1}{3}\notin [0;2]$). Tính giá trị: $y(0)=2$, $y(1)=1-1-1+2=1$, $y(2)=8-4-2+2=4$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $1$ tại $x=1$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 2101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=2x+140+\frac{1800}{x}$ với $x>0$. Ta có $f^{\prime }(x)=2-\frac{1800}{x^2}$. Cho $f^{\prime }(x)=0$ suy ra $x^2=900$, tức $x=30$ (vì $x>0$). Với $0<x<30$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>30$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đạt cực tiểu (cũng là giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty )$) tại $x=30$. Vậy công ty phải sản xuất 30 đồ chơi để chi phí trung bình mỗi sản phẩm thấp nhất (khi đó $f(30)=260$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2, trên đoạn $\left[-1;\frac{3}{2}\right]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=4$ tại điểm cực đại $x=-1$ và giá trị nhỏ nhất $m=-1$ tại điểm cực tiểu $x=\frac{3}{2}$. Do đó $2M+2m=2\cdot 4+2\cdot (-1)=8-2=6$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $\left[0,\frac{5}{2}\right]$ hàm số $f(x)$ liên tục nên đạt GTLN và GTNN. Quan sát đồ thị: điểm cuối bên phải tại $x=\frac{5}{2}$ có tung độ $4$ (đường nét đứt ứng với $y=4$), và điểm cực tiểu trong khoảng có tung độ $-1$ (đường nét đứt ứng với $y=-1$). Trên đoạn này, giá trị lớn nhất là $M=4$ và giá trị nhỏ nhất là $m=-1$. Vậy $M=4,m=-1$, khớp với đáp án D và với đáp án của đề (Câu 5, mã đề 1201: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-3x^4+4x^3+1$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=-12x^3+12x^2=12x^2(1-x)=0\iff x=0$ hoặc $x=1$. Với $x<1$ (khác 0) thì $y^{\prime }>0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $x=1$: $y(1)=-3+4+1=2$. Ngoài ra $y(0)=1$ và $y\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Vậy giá trị lớn nhất bằng $2$, đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-2t+9=(t-1{)}^2+8$. Trên đoạn $[0;10]$, $v(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=1$ (giây) với $v_{\min }=8$ m/s. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 121: 8).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$, nghịch biến trên $(1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$; $f(1)=5$, $f(2)=-1$ (x=2 là điểm không xác định, giá trị -1 không đạt được), khi $x\to \pm \infty$ hàm số tiến tới các giá trị hữu hạn nhỏ hơn 5. Trên khoảng $(-\infty ;2)$, hàm số đạt giá trị lớn nhất $5$ tại $x=1$ (điểm này thuộc khoảng). Vậy GTLN của hàm số trên khoảng $(-\infty ;2)$ bằng $5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+5$ trên $[0;2]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong đoạn $[0;2]$ chỉ có $x=1$. Tính giá trị: $y(0)=5$, $y(1)=1-3+5=3$, $y(2)=8-6+5=7$. Vậy $\min y=3$, $\max y=7$, tổng $=3+7=10$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 002, Câu 2 = 10).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+2$ trên $[-2;0]$. Có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong đoạn $[-2;0]$ chỉ có $x=-1$. Tính: $y(-2)=-8+6+2=0$; $y(-1)=-1+3+2=4$; $y(0)=2$. Vậy $\max y=4$, $\min y=0$, tổng $=4+0=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 001, Câu 1 = 4).