Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt ngang của khúc gỗ là hình tròn bán kính $R=20$ cm. Thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông nội tiếp đường tròn nên cạnh $a=R\sqrt{2}=20\sqrt{2}$ cm, nửa cạnh $\frac{a}{2}=10\sqrt{2}\approx 14,1421$ cm.

Xét một tấm ván ở một trong bốn phần còn lại (ví dụ phía trên hình vuông): tấm ván là hình chữ nhật có chiều rộng $x$ (song song với cạnh hình vuông) và chiều cao $h$, hai đỉnh phía ngoài nằm trên đường tròn. Chọn hệ trục tọa độ gốc tại tâm hình vuông, cạnh trên của tấm ván có tung độ $u=\frac{a}{2}+h=10\sqrt{2}+h$, nên hai đỉnh trên thỏa mãn ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2+u^2=400$, tức $x=2\sqrt{400-u^2}$ với $10\sqrt{2}\le u<20$.

Diện tích mặt cắt: $S=xh=2\left(u-10\sqrt{2}\right)\sqrt{400-u^2}$.

Đạo hàm: $S^{\prime }(u)=2\sqrt{400-u^2}-\frac{2u\left(u-10\sqrt{2}\right)}{\sqrt{400-u^2}}=0\Rightarrow 400-u^2-u\left(u-10\sqrt{2}\right)=0\Rightarrow 2u^2-10\sqrt{2}u-400=0$.

Giải: $u=\frac{10\sqrt{2}+\sqrt{200+3200}}{4}=\frac{5\sqrt{2}+5\sqrt{34}}{2}\approx 18,1129$ cm (nghiệm dương, thỏa điều kiện).

Suy ra $h\approx 18,1129-14,1421=3,9708$ cm và $x=2\sqrt{400-18,1129^2}\approx 16,9616$ cm.

Vậy $S_{\max }=x\cdot h\approx 16,9616\times 3,9708\approx 67,35$ cm${}^2$, làm tròn đến hàng phần chục là $67,3$ cm${}^2$ (theo quy tắc làm tròn của đề, kết quả khớp với đáp án $67,3$).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận (nghìn đồng): P(x) = F(x) − x·G(x) = −2x² + 1312x − (x³ − 77x² + 1000x + 40000) = −x³ + 75x² + 312x − 40000. P'(x) = −3x² + 150x + 312 = 0 ⇔ x² − 50x − 104 = 0 ⇔ x = 52 (nhận, vì 1 ≤ x ≤ 300; nghiệm −2 loại). P(52) = −140608 + 202800 + 16224 − 40000 = 38416 nghìn đồng = 38,416 triệu đồng ≈ 38 triệu đồng. Khớp đáp án nguồn (bảng đáp án đề 1020, câu 6 = 38).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2, trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số có một điểm cực đại tại $x=-3$ với $f(-3)=-6$ (được đánh dấu bằng đường nét đứt từ $x=-3$ xuống $y=-6$). Trên nhánh này, hàm số đồng biến rồi nghịch biến nên đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to -1^{-}$, $f(x)\to -\infty$ (tiệm cận đứng $x=-1$). Vậy ${\max }_{(-\infty ;-1)}f(x)=f(-3)=-6$. Kết quả trùng với đáp án đã cho (D, mã đề 1020).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;4]$: điểm cao nhất của đồ thị là điểm đầu mút trái với tọa độ $(-2;7)$, nên ${\max }_{[-2;4]}f(x)=f(-2)=7$. Điểm thấp nhất là điểm đầu mút phải với tọa độ $(4;-4)$, nên ${\min }_{[-2;4]}f(x)=f(4)=-4$ (các giá trị trung gian như $f(1)=-2$, $f(3)=2$ đều lớn hơn $-4$ và nhỏ hơn $7$). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: $7+(-4)=3$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án chính thức (Mã đề 1020, câu 8 = B).

Chọn B (theo thứ tự phương án trong lời giải gốc; theo đề mã 1010 là phương án A). Căn cứ vào bảng biến thiên ta có $\underset{[-1;3]}{\max }f(x)=5$.

Đáp án: 38. Chi phí sản xuất cho $x$ sản phẩm là $xG(x)=x^3-77x^2+1000x+40000$ (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp: $h(x)=-2x^2+1312x-\left(x^3-77x^2+1000x+40000\right)=-x^3+75x^2+312x-40000$ (nghìn đồng). Ta có: $h^{\prime }(x)=-3x^2+150x+312$. Xét $h^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=52\\ x=-2\end{array}\right]$. Bảng biến thiên trên $[1;300]$: $h^{\prime }(x)$ dương trên $(1;52)$, âm trên $(52;300)$; $h(x)$ tăng đến $h(52)=38416$ rồi giảm. Vậy lợi nhuận lớn nhất của doanh nghiệp khoảng 38 triệu đồng.

Đáp án: 67,3. Xây dựng mô hình như hình vẽ (nửa đường tròn tâm O, dây AB, tam giác OAB vuông cân tại H, hình chữ nhật MNPQ nội tiếp với $P(a;b)$ trên cung). Vì $OAH$ là tam giác vuông cân tại $H$ nên ta được $OH=HA=HB=10\sqrt{2}$. Xem phần còn lại của tấm bia là phần đồ thị bên trên $AB$ của đường tròn $y=\sqrt{20^2-x^2}$. Gọi $P(a;b)$, $0<a<10\sqrt{2}$ với $b=\sqrt{20^2-a^2}$. Ta có diện tích tấm bia hình chữ nhật được cắt ra là $S_{MNPQ}=2a\left(\sqrt{400-a^2}-10\sqrt{2}\right)$. Xét hàm số $f(x)=2x\left(\sqrt{400-x^2}-10\sqrt{2}\right)$, $x\in \left(0;10\sqrt{2}\right)$. Ta có đạo hạm $$f^{\prime }(x)=2\left(\sqrt{400-x^2}-10\sqrt{2}\right)-\frac{2x^2}{\sqrt{400-x^2}}=\frac{800-4x^2-20\sqrt{2}\sqrt{400-x^2}}{\sqrt{400-x^2}}$$ $$f^{\prime }(x)=0\iff 800-4x^2-20\sqrt{2}\sqrt{400-x^2}=0\iff 5\sqrt{2}\sqrt{400-x^2}=200-x^2$$ $$50\left(400-x^2\right)=40000-400x^2+x^4\iff x^4-350x^2+20000=0\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{350+\sqrt{42500}}{2}\\ x^2=\frac{350-\sqrt{42500}}{2}\end{array}$$ Với điều kiện đã cho ta được $x=\sqrt{175-\sqrt{10625}}$. Do đó $$\max S_{MNPQ}=2\sqrt{175-\sqrt{10625}}\left(\sqrt{400-\left(175-\sqrt{10625}\right)}-10\sqrt{2}\right)$$ $$=\sqrt{175-\sqrt{10625}}\left(\sqrt{225+\sqrt{10625}}-10\sqrt{2}\right)\approx 67,3499\left({\text{cm}}^2\right).$$

Đáp án: 20. Điều kiện $x>0$. Ta có thể tích của chiếc hộp là $V=x^2.h$. Theo giả thiết thể tích chiếc hộp bằng $4000{\text{cm}}^3$ nên ta có $x^2.h=4000\iff h=\frac{4000}{x^2}$. Ta có diện tích xung quanh và đáy của chiếc hộp là $S=x^2+4xh=x^2+4x.\frac{4000}{x^2}=x^2+\frac{16000}{x}$. Ta khảo sát hàm số $f\left(x\right)=x^2+\frac{16000}{x}$. Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=2x-\frac{16000}{x^2}$, $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=20$. Bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ âm trên $(0;20)$, dương trên $(20;+\infty )$; $f(x)$ giảm đến $1200$ rồi tăng. Ta có $x=20\left(\text{cm}\right)$ thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất.

Ta có: $m=\underset{[-2;4]}{\min }f(x)=-4$, $M=\underset{[-2;4]}{\max }f(x)=7$. Vậy $M+m=7+(-4)=3$. Trong lời giải gốc (trang 15, Câu 6) đáp án là C vì thứ tự phương án ở đó là A. $-2$; B. $5$; C. $3$; D. $0$; theo đề mã 1010 (trang 2) phương án mang giá trị $3$ là D.

Chọn A. Ta có: $f^{\prime }(x)=4x^3-4x$. Xét $f^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=0\\ x=1\end{array}$. Ta có $f(-1)=-2;f(0)=-1;f(1)=-2;f(2)=7$. Vậy $M=7,m=-2$. Do đó $M+3m=7+3(-2)=1$.

Chọn C (theo thứ tự phương án trong lời giải gốc; theo đề mã 1010 là phương án D). Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên khoảng $(-\infty ;-1)$ bằng $-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;3]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=3$ (tại $x=-1$) và giá trị nhỏ nhất $m=-1$ (tại $x=0$). Vậy $M+m=3+(-1)=2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bán kính đáy là $r$ (cm), chiều cao là $h$ (cm). Dung tích $V=\pi r^{2}h=500$ cm³ nên $h=\frac{500}{\pi r^2}$. Diện tích vật liệu (có nắp và đáy): $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{1000}{r}$, với $r>0$. Tìm cực tiểu: $S^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{1000}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac{250}{\pi }$. Khi đó $h=\frac{500}{\pi r^2}=2r=2\sqrt[3]{\frac{250}{\pi }}\approx 2\sqrt[3]{79,577}\approx 2\cdot 4,301\approx 8,6$ cm. Vậy chiều cao lon để chi phí vật liệu nhỏ nhất là khoảng $8,6$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $MI=x$ với $0\le x\le 4$. Khi đó $CI=CM-MI=4-x$ và vì $C$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $CM\perp AB$ tại $M$, với $MA=MB=2$ km ta có $IA=IB=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$.

Tổng độ dài đường ống: $f(x)=CI+IA+IB=4-x+2\sqrt{x^2+4}$.

$f^{\prime }(x)=-1+\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}$. Cho $f^{\prime }(x)=0$: $2x=\sqrt{x^2+4}\Rightarrow 4x^2=x^2+4\Rightarrow x^2=\frac{4}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ (thỏa $0\le x\le 4$).

Với $x<\frac{2}{\sqrt{3}}$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>\frac{2}{\sqrt{3}}$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$.

$f\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=4-\frac{2}{\sqrt{3}}+2\sqrt{\frac{4}{3}+4}=4-\frac{2}{\sqrt{3}}+2\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=4+\frac{6}{\sqrt{3}}=4+2\sqrt{3}\approx 7,4641$.

Vậy tổng độ dài đường ống nhỏ nhất bằng $4+2\sqrt{3}\approx 7,46$ km.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: đơn giá bán là 120 euro/chiếc nên $B(x)=120x$, không phải $130x$. b) Sai: $L(x)=B(x)-C(x)=120x-(0,02x^3-3x^2+174x+2400)=-0,02x^3+3x^2-54x-2400$ (dấu của $3x^2$ là dương, không phải âm). c) Đúng: $L^{\prime }(x)=-0,06x^2+6x-54=-0,06(x-10)(x-90)$; $L^{\prime }(x)>0$ khi $10<x<90$, vậy lợi nhuận tăng khi sản xuất từ 10 đến 90 chiếc. d) Đúng: trên $[0;130]$, $L$ giảm trên $(90;130)$ và đạt giá trị lớn nhất tại $x=90$: $L(90)=-0,02\cdot 729000+3\cdot 8100-54\cdot 90-2400=-14580+24300-4860-2400=2460$ euro. Kết quả khớp đáp án chính thức mã 201: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đơn giá 120 euro/chiếc nên $B(x)=120x$, không phải $130x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$L(x)=120x-C(x)=-0,02x^3+3x^2-54x-2400$, hệ số của $x^2$ phải là $+3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$L^{\prime }(x)=-0,06(x-10)(x-90)>0$ trên $(10;90)$ nên lợi nhuận tăng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$L$ đạt max tại $x=90$ với $L(90)=2460$ euro.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+24t+4$. Đây là parabol bậc hai với hệ số $a=-3<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $t=-\frac{24}{2\cdot (-3)}=4$ (giây). Khi đó $v(4)=-3\cdot 16+24\cdot 4+4=-48+96+4=52$ (m/s). Vậy vận tốc lớn nhất là $52$ m/s, trùng với đáp án nguồn (mã đề 201, câu 5: 52).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích: $V=\pi r^{2}h=500\Rightarrow h=\frac{500}{\pi r^2}$. Diện tích toàn phần: $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{1000}{r}$. Xét $S^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{1000}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac{250}{\pi }$. Với $\pi \approx 3,14$: $r^3\approx 79,62\Rightarrow r\approx 4,30$ cm. Vì $S^{\prime }(r)<0$ khi $r<\sqrt[3]{250/\pi }$ và $S^{\prime }(r)>0$ khi $r>\sqrt[3]{250/\pi }$ nên $S$ đạt nhỏ nhất tại $r\approx 4,3$ cm, khớp đáp án đề cho.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;3]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=2$ (tại điểm cao nhất của đồ thị) và giá trị nhỏ nhất $m=-2$ (tại điểm thấp nhất của đồ thị). Vậy $M+m=2+(-2)=0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=2x^3+3x^2-12x+5$ trên $[-1;2]$. Ta có $y^{\prime }=6x^2+6x-12=6(x-1)(x+2)=0$ nên $x=1$ (thuộc đoạn) hoặc $x=-2$ (loại). Tính giá trị: $y(-1)=-2+3+12+5=18$; $y(1)=2+3-12+5=-2$; $y(2)=16+12-24+5=9$. Vậy $\max y=18$ tại $x=-1$, khớp đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 201, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3+3x^2-9x-6$ trên $[-1;2]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$, nên $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ (do $x=-3\notin [-1;2]$). Trên $[-1;1]$: $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến), trên $[1;2]$: $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến). Tính giá trị tại các điểm: $y(-1)=-1+3+9-6=5$; $y(1)=1+3-9-6=-11$; $y(2)=8+12-18-6=-4$. So sánh: giá trị lớn nhất là $5$ tại $x=-1$. Khớp với đáp án nguồn A.