Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

Theo định lí Thales và tính chất tỉ số diện tích trong không gian:
Tổng các tỉ số đoạn thẳng kẻ từ điểm $O$ trong tam giác đáy $BCD$ song song với các cạnh bên đến các mặt đối diện thỏa mãn hệ thức:
$\frac{OM}{AB}+\frac{ON}{AC}+\frac{OP}{AD}=1$.
Thay các giá trị đã biết vào hệ thức:
$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{OP}{AD}=1⟺\frac{5}{6}+\frac{OP}{AD}=1⟺\frac{OP}{AD}=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$. Chọn B.

Mặt phẳng $(M{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt hai mặt phẳng đáy song song $(ABCD)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo hai giao tuyến song song.
Do đó $MN\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$. Vì $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ nên $MN\parallel AC$.
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$ và $MN\parallel AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}{A}^{\prime }{C}^{\prime }$. Vậy $\frac{MN}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}$.

Gọi $E,F,G$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,DB$. Khi đó $\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}=\frac{AP}{AG}=\frac{2}{3}$, suy ra $MN\parallel EF\subset (BCD)$ và $MP\parallel EG\subset (BCD)$. Do đó $(MNP)\parallel (BCD)$. Chọn đáp án D.

Dùng định lý Thales trong không gian và tính chất đường trung bình, ta có $\frac{SM}{SA}=\frac{1}{3},\frac{SN}{SB}=\frac{1}{3}⟹\frac{SM}{SA}+\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$. Chọn B.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 6), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án D.

Trong tam giác $BCD$, $K$ là trung điểm của $CD$, $O$ là trung điểm của $BD$, nên $KO$ là đường trung bình của tam giác $BCD$, suy ra $KO\parallel BC$.

Mặt khác $BC\parallel AD$ (do $ABCD$ là hình bình hành), do đó $KO\parallel AD\subset (SAD)⟹KO\parallel (SAD)$.

Trong tam giác $SBD$, $O$ là trung điểm của $BD$ và $E$ là trung điểm của $SB$, nên $OE$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, suy ra $OE\parallel SD\subset (SAD)⟹OE\parallel (SAD)$.

Mà $KO\cap OE=\{O\}$ trong mặt phẳng $(KOE)$, suy ra $(KOE)\parallel (SAD)$.

Chọn đáp án D.

Xét mặt bên $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành, vì $F$ và $D$ lần lượt là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ nên $FD\parallel AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$. Mà $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }B{C}^{\prime })$, suy ra $FD\parallel (A^{\prime }B{C}^{\prime })$.
Xét mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành, vì $F$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $AB$ nên $EF\parallel A^{\prime }B$. Mà $A^{\prime }B\subset (A^{\prime }B{C}^{\prime })$, suy ra $EF\parallel (A^{\prime }B{C}^{\prime })$.
Do $FD$ và $EF$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $F$ cùng nằm trong mặt phẳng $(DEF)$ và song song với $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$, nên mặt phẳng $(DEF)\parallel (A^{\prime }B{C}^{\prime })$. Chọn D.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0412, trang 5), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $0,6$.

Do $(R)\parallel (ABCD)\parallel (EFMH)$ và $CK\parallel DH$ nên mặt phẳng $(CDHK)$ cắt $(ABCD),(R),(EFMH)$ theo các giao tuyến song song.
Tỉ số khoảng cách từ $(R)$ đến $(ABCD)$ và khoảng cách giữa $(EFMH),(ABCD)$ bằng $\frac{CK}{DH}=\frac{60}{150}=0,4$.
Do đó $\frac{BJ}{BF}=0,4\Rightarrow k=\frac{FJ}{BF}=1-0,4=0,6$.