Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ba mặt phẳng $(ABCD)$, $(IJKL)$, $(EFGH)$ song song với nhau, nên các đoạn thẳng nối tương ứng giữa hai mặt phẳng song song tỉ lệ theo khoảng cách giữa các mặt phẳng. Cụ thể, với hai mặt phẳng song song, mọi đoạn nối từ một điểm trên mặt phẳng dưới tới điểm tương ứng trên mặt phẳng trên bị mặt phẳng giữa chia theo cùng một tỉ số $\lambda =\frac{AI}{AE}=\frac{GK}{GC}$ (tính chất giao tuyến của các mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đường thẳng). Do đó $\frac{AI}{AE}=\frac{GK}{GC}\Rightarrow AI=\frac{GK}{GC}\cdot AE=\frac{60}{150}\cdot 120=72$ cm. Kết quả khớp với đáp án nguồn (72).

Nguồn in gốc có hai phương án cùng nhãn C; phương án thứ hai ("chéo với đường thẳng đó") nhiều khả năng là D nhưng giữ nguyên theo nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng phân biệt hoặc song song hoặc cắt nhau theo một giao tuyến, nên khẳng định A đúng. B sai vì hai đường thẳng song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng chưa đủ để kết luận hai mặt phẳng song song (chúng có thể cắt nhau). C sai vì hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó). D sai vì hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng song song có thể chéo nhau, không nhất thiết song song với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với hai mặt phẳng song song $(P)\parallel (Q)$:
- A đúng: đây là tính chất bắc cầu của quan hệ song song giữa các mặt phẳng phân biệt.
- B đúng: nếu đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại một điểm thì điểm đó thuộc $(Q)$ hoặc không. Nếu $d$ không cắt $(Q)$ thì $d\parallel (Q)$ hoặc $d\subset (Q)$; nhưng nếu $d\subset (Q)$ thì vì $(Q)\parallel (P)$ nên $d\parallel (P)$, mâu thuẫn với $d$ cắt $(P)$. Vậy $d$ cắt $(Q)$.
- C đúng: nếu mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $(P)$ thì $(\alpha )$ không song song với $(P)$, do đó không song song với $(Q)$ (vì $(Q)\parallel (P)$), và $(\alpha )$ không trùng $(Q)$ (vì nếu $(\alpha )\equiv (Q)$ thì $(\alpha )\parallel (P)$, mâu thuẫn). Vậy $(\alpha )$ cắt $(Q)$.
- D sai: đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song có thể nằm trong mặt phẳng còn lại. Ví dụ: $d\subset (Q)$ và $d\parallel (P)$ thì $d$ song song với $(P)$ nhưng $d$ không song song với $(Q)$ vì $d$ nằm trong $(Q)$.
Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ chung cạnh $AB$, nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét đáp án B: Trong hình bình hành $ABEF$ ta có $AF\parallel BE$. Xét vectơ: $\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$. Vì $ABEF$ và $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{EB}$ (do $AF\parallel BE$ cùng hướng) và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Suy ra $\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{EC}$, tức $FD\parallel EC$ và $FD=EC$. Trong mặt phẳng $(AFD)$ có hai đường thẳng cắt nhau $AF$ và $FD$; trong mặt phẳng $(BEC)$ có $BE\parallel AF$ và $EC\parallel FD$ với $AF,FD$ cắt nhau tại $F$. Theo định lí về hai mặt phẳng song song, ta được $(AFD)\parallel (BEC)$. Các đáp án khác sai: $AD$ không song song với $(BEF)$ vì không có đường thẳng nào trong $(BEF)$ song song với $AD$; $(ABD)$ chính là $(ABCD)$ chứa $E$... không song song với $(EFC)$; $EC$ cắt mặt phẳng $(ABF)$ tại... thực tế $EC$ không song song với $(ABF)$ vì $EC$ có phương không nằm trong mặt đó nhưng xét $EC=EB+BC$ với $EB$ nằm trong $(ABF)$ nên $EC$ cắt $(ABF)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ là trung điểm của $SA,SB,SC,SD$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$ (tính chất đường trung bình của tam giác $SAC$, $SAD$).

Xét các phương án:
- A: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, nhưng $AB$ không song song với mặt phẳng $(SAD)$ (vì $AB$ cắt $AD$ tại $A\in (SAD)$), nên $A^{\prime }{B}^{\prime }$ không song song $(SAD)$. Sai.
- B: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$, mà $AC$ cắt $BD$ tại giao hai đường chéo của hình bình hành, nên $AC$ không song song $(SBD)$. Sai.
- C: Trong mặt phẳng $(SAC)$: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$; trong $(SAD)$: $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$. Hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt nhau tại $A^{\prime }$ và lần lượt song song với $AC,AD$ (hai đường thẳng cắt nhau trong $(ABC)$), nên theo định lý về hai mặt phẳng song song ta có $(A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABC)$. Đúng.
- D: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ mà $AC$ cắt $BD$, nên $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không song song $BD$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $(P)\parallel (Q)$ thì mọi đường thẳng $a\subset (P)$ không có điểm chung với $(Q)$, do đó $a\parallel (Q)$ (định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng). Vậy A đúng.

B sai: hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng song song có thể chéo nhau (ví dụ $AB$ và $C{C}^{\prime }$ trong hình hộp).

C sai: hai đường thẳng song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt chưa đủ để kết luận hai mặt phẳng song song (chỉ có một cặp đường thẳng song song, hai mặt phẳng có thể cắt nhau).

D sai: qua một điểm ngoài mặt phẳng có vô số đường thẳng song song với mặt phẳng đó (mọi đường thẳng trong mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm đó, với $(\alpha )\parallel (P)$); chỉ có duy nhất một mặt phẳng qua điểm đó song song với $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định của Câu 44:

- **A (sai):** Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cùng song song với $(Q)$ thì chưa chắc $(P)\parallel (Q)$. Điều kiện đúng phải là hai đường thẳng đó **cắt nhau** (định lý về hai mặt phẳng song song). Nếu hai đường thẳng trong $(P)$ song song với nhau và cùng song song với $(Q)$ thì $(P)$ có thể cắt $(Q)$. Ví dụ: $(P)$ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song $a,b$, $(Q)$ là mặt phẳng song song với $a,b$ nhưng cắt $(P)$ theo giao tuyến khác.

- **B (đúng):** Đây là tính chất của hai mặt phẳng song song: nếu $(P)\parallel (Q)$ và $(R)$ cắt $(P)$ thì $(R)$ cắt $(Q)$, và hai giao tuyến song song với nhau (vì cùng nằm trong $(R)$ và không cắt nhau).

- **C (đúng):** Nếu $(P)\parallel (Q)$ thì mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ không có điểm chung với $(Q)$, do đó song song với $(Q)$.

- **D (đúng):** Nếu đường thẳng $a$ cắt $(P)$ tại điểm $M$ và $(P)\parallel (Q)$ thì $M\notin (Q)$, nên $a$ không thể song song hoặc nằm trong $(Q)$; do đó $a$ cắt $(Q)$.

Vậy câu sai là **A**.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(\alpha )\parallel (\beta )$ nên hai mặt phẳng không có điểm chung. Do đó đường thẳng $a\subset (\alpha )$ và $b\subset (\beta )$ không thể có điểm chung (nếu chung điểm thì điểm đó thuộc cả $(\alpha )$ và $(\beta )$, mâu thuẫn). Tuy nhiên $a$ và $b$ có thể song song hoặc chéo nhau, nên khẳng định chắc chắn đúng là $a$, $b$ không có điểm chung. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: ta có $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ do $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành) nên $BD\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Ta cũng có $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ nên $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$, suy ra $B{C}^{\prime }\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai đường thẳng $BD$ và $B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $B$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(B{C}^{\prime }D)$, đồng thời chúng song song với $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, mặt khác hai mặt phẳng này không trùng nhau. Vậy $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (B{C}^{\prime }D)$. Các phương án khác: $(BC{A}^{\prime })$ cắt $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại... thực tế $A^{\prime }$ không tạo được cặp đường thẳng song song tương ứng; $(A^{\prime }{C}^{\prime }C)$ chứa $C{C}^{\prime }$ cắt các đường thẳng của $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; $(BD{A}^{\prime })$ chứa $A^{\prime }$ với $A^{\prime }B$ không song song với đường nào trong $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ một cách đầy đủ. Đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề của Câu 50:
- A đúng: nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng cắt nhau theo một giao tuyến, gồm vô số điểm chung.
- B đúng: tính bắc cầu của quan hệ song song với mặt phẳng.
- C sai: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, ví dụ hai cạnh của hình lập phương nằm trên hai mặt phẳng đối diện cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chéo nhau.
- D đúng: nếu đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó không thể song song hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại, nên nó cắt mặt phẳng còn lại.
Vậy mệnh đề Sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $(\alpha )\parallel (\beta )$ thì mọi đường thẳng $a\subset (\alpha )$ không có điểm chung với $(\beta )$, do đó $a\parallel (\beta )$: mệnh đề A đúng. B sai vì hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng song song có thể chéo nhau. C sai vì hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $d$, lấy $a\parallel d$ trong $(\alpha )$ và $b\parallel d$ trong $(\beta )$ thì $a\parallel b$ nhưng $(\alpha )$ cắt $(\beta )$). D sai vì qua một điểm ngoài mặt phẳng có vô số đường thẳng song song với mặt phẳng đó (mọi đường thẳng qua điểm đó và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến a, cả hai đều song song với a). B sai vì thiếu chữ 'phân biệt': hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba có thể trùng nhau, khi đó chúng không song song với nhau. C sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng đi qua hai đường thẳng song song có thể cắt nhau (giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó). D đúng: nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng không thể cắt nhau (nếu cắt nhau tại một điểm thì qua điểm đó có hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba, mâu thuẫn với tính duy nhất), nên chúng song song với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng — tính bắc cầu của quan hệ song song giữa các mặt phẳng phân biệt. B đúng — nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì giao tuyến của chúng là một đường thẳng, nên chúng có vô số điểm chung khác. C đúng — nếu đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó không thể song song hay nằm trong mặt phẳng còn lại, nên nó cắt mặt phẳng còn lại. D sai — hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ hai đường thẳng đi qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, cùng song song với mặt phẳng đó nhưng cắt nhau tại điểm đó). Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P)\parallel (Q)$. Xét từng mệnh đề:
- A: Nếu $d\subset (P)$ và $d^{\prime }\subset (Q)$ thì $d$ và $d^{\prime }$ không thể cắt nhau (vì $(P)\cap (Q)=\varnothing$), nhưng chúng có thể chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng). Ví dụ trong hình hộp, hai cạnh nằm trên hai mặt đáy song song có thể chéo nhau. Vậy mệnh đề A sai.
- B: Đúng, theo tính chất: nếu đường thẳng đi qua điểm $A\in (P)$ và song song với $(Q)$ thì nó nằm trong $(P)$ (vì nếu nó cắt $(P)$ tại $A$ và song song $(Q)$ thì nó phải cắt $(Q)$, mâu thuẫn).
- C: Đúng, vì $a\subset (Q)$ và $(Q)\cap (P)=\varnothing$ nên $a$ không có điểm chung với $(P)$, tức $a\parallel (P)$.
- D: Mệnh đề in trên tài liệu là “$\Delta$ cắt $(P)$ thì $\Delta$ cũng cắt $(P)$” — rõ ràng là lỗi in, ý đúng là “$\Delta$ cắt $(P)$ thì $\Delta$ cũng cắt $(Q)$”. Với ý này, mệnh đề đúng theo tính chất hai mặt phẳng song song: đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại. Do đó D không phải mệnh đề sai (theo ý nghĩa dự kiến).
Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A đúng: $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành), $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$.
- C đúng: $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó $MN\parallel BC\subset (SBC)$ và $MN\not\subset (SBC)$, suy ra $MN\parallel (SBC)$.
- B đúng: Trong mặt phẳng $(OMN)$ có $MN\parallel BC$ và $OM\parallel SC$, với $MN$ và $OM$ cắt nhau tại $M$, còn $BC$ và $SC$ nằm trong $(SBC)$ và cắt nhau tại $C$. Theo định lý về hai mặt phẳng song song, $(OMN)\parallel (SBC)$.
- D sai: $ON$ chỉ gặp mặt phẳng đáy $(ABCD)$ tại điểm $O$, mà $O$ không thuộc đường thẳng $CB$ (vì $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$). Mặt khác $ON$ không song song với $CB$ (chiếu lên đáy, hình chiếu của $ON$ là $OD$ không song song $CB$). Vậy $ON$ và $CB$ chéo nhau, không cắt nhau.

Khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu:
- A (SAI): Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cùng song song với $(Q)$ thì chưa chắc $(P)\parallel (Q)$, vì hai đường thẳng đó có thể song song với nhau (khi đó chúng không đủ để làm cơ sở suy ra $(P)\parallel (Q)$ theo định lý về hai mặt phẳng song song). Định lý yêu cầu hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng kia. Ví dụ: $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với nhau và cùng song song với $(Q)$, nhưng $(P)$ có thể cắt $(Q)$.
- B (ĐÚNG): Nếu $(P)\parallel (Q)$ thì mọi đường thẳng $d\subset (P)$ không có điểm chung với $(Q)$, nên $d\parallel (Q)$.
- C (ĐÚNG): Nếu $(P)\parallel (Q)$ và $(R)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $a$ thì $(R)$ cũng cắt $(Q)$ theo giao tuyến $b$, và $a\parallel b$ (do $a\subset (P)$, $b\subset (Q)$, $a,b\subset (R)$ và $a,b$ không cắt nhau).
- D (ĐÚNG): Nếu đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại điểm $M$ và $(P)\parallel (Q)$ thì $M\notin (Q)$, tức $d$ không song song và không nằm trong $(Q)$, nên $d$ cắt $(Q)$.
Vậy câu sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $SAB$, $M,N$ là trung điểm $SA,SB$ nên $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, suy ra $MN\parallel CD$. Đúng.
b) $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, không nằm trong $(ABCD)$; $CD\subset (ABCD)$. $SA$ cắt $(ABCD)$ tại $A$ và $A\notin CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành nên $A$ không thuộc đường thẳng $CD$). Do đó $SA$ và $CD$ không cắt nhau và không song song, tức chéo nhau. Đúng.
c) $MN\parallel AB$, $AB\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ (vì $M,N$ nằm ngoài mặt đáy), suy ra $MN\parallel (ABCD)$. Đúng.
d) Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $I$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) nên $MI\parallel SC$. Mặt khác $MN\parallel AB\parallel CD$. Trong mặt phẳng $(SCD)$ có hai đường thẳng cắt nhau $SC\cap CD=C$, với $MI\parallel SC$, $MN\parallel CD$, $MI\cap MN=M$, và $(MNI)$ không chứa $SC,CD$. Theo định lý về hai mặt phẳng song song, $(MNI)\parallel (SCD)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN\parallel AB$; mà $AB\parallel CD$ nên $MN\parallel CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA$ cắt mặt đáy $(ABCD)$ tại $A\notin CD$ nên $SA$ và $CD$ không cắt nhau, không song song, tức chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel AB\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên $MN\parallel (ABCD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(SAC)$: $M$ trung điểm $SA$, $I$ trung điểm $AC$ nên $MI\parallel SC$; và $MN\parallel CD$. Hai mặt phẳng $(MNI)$ và $(SCD)$ lần lượt chứa hai cặp đường thẳng song song cắt nhau nên song song.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(0,1,1)$. Khi đó $I(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)$, $K(\frac{1}{3},\frac{1}{3},1)$, $G$ trọng tâm $AC{C}^{\prime }$ là $G(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$. a) Trong lăng trụ $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, mà $C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, $B{B}^{\prime }\not\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$: đúng. b) Hai đáy của lăng trụ song song: $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: đúng. c) Phương trình đường thẳng $IG$: $\frac{x-1/3}{-1}=\frac{y-1/3}{1}=\frac{z}{1}$. Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ có phương trình $x+y=1$. Trên đường thẳng $IG$ ta có $x+y=\frac{2}{3}$ hằng số, không bao giờ bằng 1, nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, không cắt: sai. d) $\overrightarrow{IK}=(0,0,1)$, $\overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, pháp tuyến của $(IKG)$ là $\overrightarrow{IK}\times \overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},0)\parallel (1,1,0)$, trùng phương pháp tuyến của $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$. Điểm $G$ có $x+y=\frac{2}{3}\ne 1$ nên hai mặt phẳng phân biệt và song song: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ (lăng trụ), $C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $B{B}^{\prime }\not\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt đáy của lăng trụ song song với nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ trên, trên đường thẳng $IG$ luôn có $x+y=\frac{2}{3}\ne 1$, nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, không cắt mặt phẳng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(IKG)$ là $\overrightarrow{IK}\times \overrightarrow{IG}\parallel (1,1,0)$, cùng phương với pháp tuyến của $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, và $G\notin (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $(IKG)\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$, lấy $A$ làm gốc. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{A^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{B^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}$, $\overrightarrow{D^{\prime }}=\vec{a}+\vec{d}$.

a) $AC$ cắt $BD$ tại tâm $O$ của đáy $ABCD$; mặt khác $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (hai đường chéo của hai đáy song song). Vậy $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ chéo nhau, không song song. Mệnh đề SAI.

b) $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{d}-\vec{b}$, $\overrightarrow{B^{\prime }M}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}-(\vec{a}+\vec{b})=\frac{-2\vec{a}-2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Nếu $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{B^{\prime }M}$ thì so sánh hệ số của $\vec{a}$ (với $\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ độc lập) cho $\beta =0$; khi đó $\vec{b}+\vec{d}=\alpha (\vec{d}-\vec{b})$ đòi hỏi $\alpha =1$ và $\alpha =-1$ cùng lúc, vô nghiệm. Vậy $AC$ không song song với $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ (nó cắt mặt phẳng này). Mệnh đề SAI.

c) $\overrightarrow{BD}=\vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$. Hơn nữa $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{a}-\vec{b}=(\vec{d}-\vec{b})-(\vec{d}-\vec{a})=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }C}$, tức $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$ là tổ hợp của $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }C}$, nên $B{A}^{\prime }\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ với $B{A}^{\prime }$ không nằm trong $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ có hai cặp đường thẳng tương ứng song song nên song song với nhau. Mệnh đề ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$; $N$ là trọng tâm tam giác $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{(\vec{b}+\vec{d})+(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}+\vec{d})}{3}=\frac{2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{d})}{3}=2\overrightarrow{AM}$, suy ra $A,M,N$ thẳng hàng. Nhưng $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$ không cùng phương với $\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$ (do thành phần $\vec{a}$ độc lập), nên $C$ không thuộc đường thẳng $AMN$. Bốn điểm không thẳng hàng. Mệnh đề SAI.
a) Trong hình bình hành $ABCD$, $AC$ cắt $BD$ tại tâm $O$. Vì $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (hai đáy song song) nên $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ chéo nhau, không song song. Mệnh đề sai.
b) Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{d}-\vec{b}$, $\overrightarrow{B^{\prime }M}=\frac{-2\vec{a}-2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Nếu $AC\parallel (M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ thì $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{B^{\prime }M}$; so sánh hệ số của $\vec{a}$ cho $\beta =0$, khi đó $\vec{b}+\vec{d}=\alpha (\vec{d}-\vec{b})$ vô nghiệm vì $\vec{b},\vec{d}$ độc lập. Vậy $AC$ không song song và cắt mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Mệnh đề sai.
c) Ta có $\overrightarrow{BD}=\vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$. Hơn nữa $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{a}-\vec{b}=(\vec{d}-\vec{b})-(\vec{d}-\vec{a})=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }C}$, nên $B{A}^{\prime }\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ với $B{A}^{\prime }$ không nằm trong $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ có hai cặp đường thẳng tương giao song song nên song song với nhau. Mệnh đề đúng.
d) Với $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, còn $N=\frac{C+B^{\prime }+D^{\prime }}{3}$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{d})}{3}=2\overrightarrow{AM}$, suy ra $A,M,N$ thẳng hàng. Nhưng $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$ không cùng phương với $\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$ (do thành phần $\vec{a}$), nên $C$ không thuộc đường thẳng $AMN$. Bốn điểm không thẳng hàng, mệnh đề sai.