Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét khẳng định B: Trong hình lập phương, $AC\perp BD$ (hai đường chéo của hình vuông $ABCD$) và $AC\perp B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp AC$). Suy ra $AC\perp (BD{B}^{\prime })$. Mà $AC\subset (A^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên $(A^{\prime }{C}^{\prime }C)\perp (BD{B}^{\prime })$. Vậy khẳng định B đúng.

Các khẳng định khác sai: A) $(A^{\prime }{B}^{\prime }D)$ cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $BD$, không vuông góc vì không có đường nào trong $(A^{\prime }{B}^{\prime }D)$ vuông góc với $(ABCD)$ (tam giác $A^{\prime }BD$ đều, không có cạnh vuông góc đáy). C) $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$ cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $CD$, không vuông góc với đáy. D) $(BD{A}^{\prime })$ cắt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo giao tuyến $A^{\prime }B$, không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ mà $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, theo định lý về mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì vuông góc với mặt phẳng đó), ta có $(SAB)\perp (ABCD)$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Đáy tam giác vuông tại C nên $BC\perp AC$. Từ đó $BC\perp (SAC)$ (vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AC$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAC)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ và $ABCD$ là hình vuông:
a) Đúng: $ABCD$ hình vuông nên $AC\perp BD$; lại có $SA\perp BD$ (vì $SA\perp (ABCD)$). Suy ra $BD\perp (SAC)$ mà $BD\subset (SBD)$, do đó $(SAC)\perp (SBD)$.
b) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy, $B\subset (ABCD)$, $AB\perp SA$. Vậy góc giữa $SB$ và mặt đáy là $\widehat{SBA}$.
c) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên khoảng cách từ $S$ đến mặt đáy chính là độ dài đoạn $SA$.
d) Sai: Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $90^{\circ }$, là góc vuông chứ không phải góc nhọn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ (hình vuông) và $SA\perp BD$ nên $BD\perp (SAC)$, suy ra $(SAC)\perp (SBD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt đáy và $AB\perp SA$ nên góc giữa $SB$ và mặt đáy là $\widehat{SBA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $d(S,(ABCD))=SA$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $90^{\circ }$, không phải góc nhọn.

a) Ta có $\{\begin{array}{l}AD\perp AB(gt)\\ AD\perp SA(gt)\\ AB,SA\subset (SAB)\end{array}$ nên kết luận $AD\perp (SAB)$.
b) Vì $AD\perp (SAB)$ và $AD\subset (SAD)$ nên kết luận $(SAD)\perp (SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Đáy là tam giác vuông tại $C$ nên $BC\perp AC$. Từ đó $BC\perp (SAC)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AC$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Mà $BC$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, nên $(SBC)\perp (SAC)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Mặt khác đáy là hình vuông nên $AB\perp AD$. Ta có $AD\subset (ABCD)$, $AD\perp AB$ và $AD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), suy ra $AD\perp (SAB)$. Vì $AD\subset (ABCD)$ nên $(SAB)\perp (ABCD)$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 9, Mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ mà $A{A}^{\prime }\subset (A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$, nên $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)\perp (ABCD)$. Các mặt phẳng còn lại không vuông góc với $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAB)$, $SA\subset (SAC)$, $SA\subset (SAD)$ nên theo tính chất (mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng khác thì vuông góc với mặt phẳng đó) ta có $(SAB)\perp (ABCD)$, $(SAC)\perp (ABCD)$, $(SAD)\perp (ABCD)$. Mặt phẳng $(SBD)$ không chứa $SA$ và không có đường nào chứng minh được vuông góc với $(ABCD)$, nên khẳng định $(SBD)\perp (ABCD)$ là sai. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, $SA\perp AD$. Do $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$. Suy ra $AB\perp (SAD)$, mà $AB\subset (SAB)$ nên $(SAB)\perp (ABCD)$: khẳng định D đúng. Cũng do $SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$: khẳng định A đúng. Trong hình vuông $ABCD$, $BD\perp AC$ (hai đường chéo) và $BD\perp SA$ nên $BD\perp (SAC)$, mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$: khẳng định C đúng. Khẳng định B: góc giữa $(SAB)$ và $(SAC)$ là góc giữa $AB$ và $AC$ (cạnh $SA$ chung), mà $AB$ và $AC$ không vuông góc (góc $BAC=45°$ trong hình vuông), nên $(SAB)$ không vuông góc với $(SAC)$. Vậy khẳng định B SAI, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a$.

a) Đúng. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Đáy là hình vuông nên $AC\perp BD$. Trong mặt phẳng $(SAC)$ có $SA\cap AC=A$, do đó $BD\perp (SAC)$. Mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$.

b) Đúng. Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$ (vì $SA\perp (ABCD)$), hình chiếu của $C$ là $C$, nên hình chiếu của đường thẳng $SC$ là đường thẳng $AC$.

c) Sai. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}\ne a^3$.

d) Sai. Hình chiếu của $D$ lên $(ABCD)$ là $D$, hình chiếu của $S$ là $A$, nên góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SDA}$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ với $SA=AD=a$ nên $\widehat{SDA}=45^{\circ }\ne 30^{\circ }$.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai — khớp đáp án mã đề 1011 (ĐĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp BD$ (vì $SA\perp (ABCD)$) và $AC\perp BD$ (đáy hình vuông) nên $BD\perp (SAC)$, suy ra $(SBD)\perp (SAC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ là $A$, của $C$ là $C$, nên hình chiếu của $SC$ là $AC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a=\frac{a^3}{3}\ne a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}=45^{\circ }$ vì tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, mà $AB$ là giao tuyến của $(SAB)$ và $(ABCD)$, do đó $(SAB)\perp (ABCD)$ (điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng).
b) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$, tức tam giác $SAC$ vuông tại $A$.
c) Sai: $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $CD\perp (SAD)$, không phải $(SAB)$. Thật vậy $CD$ không vuông góc với $AB$ nên không thể vuông góc với $(SAB)$.
d) Sai: Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là góc $SBA$ (vì $SA\perp (ABCD)$). Ta có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra góc bằng $60^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ với $AB$ là giao tuyến của $(SAB)$ và $(ABCD)$, suy ra $(SAB)\perp (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$, tam giác $SAC$ vuông tại $A$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, không phải $(SAB)$; $CD$ không vuông góc với $AB$ nên không vuông góc với $(SAB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$ với $\tan \widehat{SBA}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, nên góc bằng $60^{\circ }$ chứ không phải $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = 2a.
a) Đúng: Vì SA ⊥ (ABCD) và SA ⊂ (SAC) nên (SAC) ⊥ (ABCD) (theo định lý về mặt phẳng chứa đường vuông góc).
b) Sai: Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}$, không bằng $2a^3$.
c) Đúng: Vì SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu của S lên (ABCD); D ∈ (ABCD) nên góc giữa SD và (ABCD) là $\widehat{SDA}$.
d) Đúng: Khoảng cách từ S đến (ABCD) chính là chiều cao SA = 2a.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) và SA ⊂ (SAC) nên (SAC) ⊥ (ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}\ne 2a^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
A là hình chiếu của S trên (ABCD) nên góc giữa SD và (ABCD) là $\widehat{SDA}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ S đến (ABCD) bằng SA = 2a.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABC)$ nên $SB$ là đường vuông góc chung, mặt phẳng $(SBC)$ chứa $SB$ nên $(SBC)\perp (ABC)$. Các phương án khác không suy ra được từ giả thiết. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SA=a. a) Đúng: SA⊥(ABCD) nên (SAB)⊥(ABCD) (mặt phẳng chứa đường vuông góc với (ABCD)). b) Sai: V = (1/3)·a²·a = a³/3 ≠ a³. c) Đúng: SA⊥(ABCD) nên d(S,(ABCD)) = SA = a. d) Sai: CD∥AB, AB⊂(SAB) nên CD∥(SAB); khoảng cách giữa SA và CD bằng khoảng cách từ CD đến (SAB) = khoảng cách từ D đến AB = AD = a ≠ a/2. Khớp đáp án mã đề 1102 câu 14: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABCD) và SA⊂(SAB) nên (SAB)⊥(ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)·S_đáy·SA = (1/3)·a²·a = a³/3, không bằng a³.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì SA⊥(ABCD) nên khoảng cách từ S đến (ABCD) là SA = a.
d) (AI giải đề cho tôi)
CD∥AB⊂(SAB) nên CD∥(SAB); d(SA,CD) = d(CD,(SAB)) = d(D,AB) = AD = a, không phải a/2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABC)$ và $SB\subset (SBC)$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, ta có $(SBC)\perp (ABC)$. Các mệnh đề khác không thể kết luận được từ giả thiết. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, nên mỗi mặt bên là hình chữ nhật. Xét hai mặt bên kề nhau, ví dụ $(ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ với hai mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: mặt $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa cạnh $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$, do đó $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$. Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, ta có $AB\perp BC$. Theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng: mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa $BC$ mà $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Vậy hai mặt bên kề nhau vuông góc với nhau → khẳng định B đúng. Các mặt bên song song với nhau chỉ đúng với các mặt đối nhau, không đúng với mọi cặp mặt bên (C sai); các mặt bên không thể đôi một vuông góc với nhau vì mặt đối nhau song song (D sai); A sai vì mọi mặt bên đều vuông góc với mặt đáy. Đáp án trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông. Các mặt bên là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Hai mặt bên kề nhau cắt nhau theo một cạnh bên; cạnh bên này vuông góc với mặt đáy, do đó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt đáy, kể cả đường thẳng chung trong mỗi mặt bên kề cạnh đó. Suy ra hai mặt bên kề nhau vuông góc với nhau → A đúng. B sai vì các mặt bên đều vuông góc với mặt đáy. C sai vì các mặt bên kề nhau cắt nhau (không song song). D sai vì chỉ các mặt bên kề nhau mới vuông góc, còn hai mặt bên đối diện thì song song. Kết quả khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\perp AB$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$. Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy khẳng định đúng là B.