Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ đi qua ba điểm nên ta có hệ:
$$a+b+c=1$$
$$4a+2b+c=-3$$
$$25a+5b+c=-2$$
Trừ phương trình thứ nhất khỏi thứ hai: $3a+b=-4$. Trừ phương trình thứ hai khỏi thứ ba: $21a+3b=1\Rightarrow 7a+b=\frac{1}{3}$.
Trừ hai kết quả: $4a=\frac{13}{3}\Rightarrow a=\frac{13}{12}$; suy ra $b=-4-3a=-4-\frac{13}{4}=-\frac{29}{4}$; và $c=1-a-b=1-\frac{13}{12}+\frac{29}{4}=\frac{43}{6}$.
Do đó:
$$30a+8b+3c=30\cdot \frac{13}{12}+8\cdot \left(-\frac{29}{4}\right)+3\cdot \frac{43}{6}=\frac{65}{2}-58+\frac{43}{2}=54-58=-4.$$
Vậy $30a+8b+3c=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ là $x=-\frac{b}{2a}$. Kiểm tra từng phương án: A: $x=-\frac{1}{2}$; B: $x=-\frac{6}{2(-3)}=1$; C: $x=-\frac{-2}{2}=1$; D: $x=-\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}=-1$. Vậy hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2+x+2$ có trục đối xứng $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=3x^2-2x+1$ có $a=3>0$, $b=-2$, $c=1$. Tọa độ đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, $y=3\cdot \frac{1}{9}-2\cdot \frac{1}{3}+1=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1=\frac{2}{3}$. Xét các phát biểu:
i. Sai, vì hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ chứ không phải $\left(-\infty ;\frac{2}{3}\right)$.
ii. Sai, vì đỉnh là $I\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$ chứ không phải $\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$.
iii. Đúng, trục đối xứng là $x=\frac{1}{3}$.
iv. Đúng, vì $a=3>0$ nên GTNN $=\frac{2}{3}$ tại $x=\frac{1}{3}$.
Vậy có 2 phát biểu sai (i và ii).

(AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng: $-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}\Rightarrow b=-\frac{2a}{3}$. Parabol đi qua $A(1;3)$: $a+b+4=3\Rightarrow a+b=-1$. Thay $b=-\frac{2a}{3}$: $a-\frac{2a}{3}=\frac{a}{3}=-1\Rightarrow a=-3$, suy ra $b=2$. Khi đó $a+2b=-3+4=1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol mở lên, cắt trục tung tại $(0;-2)$ và có đỉnh tại $I(-1;-3)$. Xét các phương án: với $y=x^2+2x-2$, đỉnh có hoành độ $x=-\frac{2}{2}=-1$, $y(-1)=1-2-2=-3$, và $y(0)=-2$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: $y=x^2-2x-2$ có đỉnh $(1;-3)$; $y=x^2+2x-6$ có đỉnh $(-1;-7)$; $y=x^2-2x+2$ có đỉnh $(1;1)$ — đều không khớp. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-4x+1$ có $a=1>0$, $b=-4$, $c=1$. Đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=2$, $y(2)=4-8+1=-3$ nên đỉnh là $I(2;-3)$, do đó mệnh đề a sai (nói $I(2;3)$). Trục đối xứng là $x=2$, mệnh đề b sai (nói $x=3$). Vì $a=1>0$ nên bề lõm hướng lên, mệnh đề c đúng. Hình vẽ trong đề có đỉnh $(2;-3)$, trục đối xứng $x=2$, đi qua $(1;-2)$, $(3;-2)$, $(0;1)$, $(4;1)$ — khớp với đồ thị hàm số, mệnh đề d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol: $x=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2$, $y=2^2-4\cdot 2+1=-3$, nên $I(2;-3)$ chứ không phải $I(2;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng parabol là $x=-\frac{b}{2a}=2$, không phải $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=1>0$ nên bề lõm parabol hướng lên.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ có đỉnh $(2;-3)$, trục đối xứng $x=2$, đi qua $(1;-2)$, $(3;-2)$, $(0;1)$, $(4;1)$, đúng với đồ thị $y=x^2-4x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $y=x^2+2x-15$ có hoành độ $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1$, tung độ $y=(-1{)}^2+2(-1)-15=1-2-15=-16$. Vậy đỉnh là $I(-1;-16)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lãi mỗi tháng: $L(x)=(x-40)(120-x)=-x^2+160x-4800$, với $40\le x\le 120$ (để có lãi và có khách mua). Đây là parabol với đỉnh tại $x=\frac{160}{2}=80$. Khi đó $L(80)=40\cdot 40=1600$ USD, lớn nhất. Vậy cửa hàng nên bán mỗi đôi giày giá $80$ USD.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Cho $y=x^2-3x$ có đồ thị (P) là parabol quay lên, và đường thẳng $d:y=x-3$.

a) **Vẽ đồ thị (P):**
- Hàm số $y=x^2-3x$ có $a=1>0$ nên parabol quay lên.
- Tọa độ đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$; $y=-\frac{9}{4}$, tức đỉnh $I\left(\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)$.
- Bảng giá trị: $x=0\Rightarrow y=0$; $x=1\Rightarrow y=-2$; $x=2\Rightarrow y=-2$; $x=3\Rightarrow y=0$.
- Đồ thị đi qua $O(0;0)$, đối xứng qua trục $x=\frac{3}{2}$, cắt trục hoành tại $x=0$ và $x=3$.

b) **Khoảng đồng biến, nghịch biến và GTNN:**
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$ (vì $a>0$).
- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.
- Giá trị nhỏ nhất: $y_{\min }=y\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}$, đạt tại $x=\frac{3}{2}$.

c) **Giao điểm của d và (P):**
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-3x=x-3\iff x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$.
- Với $x=1$: $y=1-3=-2$.
- Với $x=3$: $y=3-3=0$.
Vậy $d$ cắt (P) tại hai điểm $A(1;-2)$ và $B(3;0)$.

d) **Biện luận số nghiệm của $x^2-3x+1=m$:**
Phương trình tương đương $x^2-3x=m-1$. Xét giao điểm của (P) với đường thẳng $y=m-1$ (song song trục hoành). Vì $\underset{(P)}{\min }y=-\frac{9}{4}$:
- Nếu $m-1<-\frac{9}{4}\iff m<-\frac{5}{4}$: phương trình vô nghiệm.
- Nếu $m-1=-\frac{9}{4}\iff m=-\frac{5}{4}$: phương trình có nghiệm kép $x=\frac{3}{2}$.
- Nếu $m-1>-\frac{9}{4}\iff m>-\frac{5}{4}$: phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Kiểm tra bằng biệt thức: $x^2-3x+1-m=0$ có $\Delta =9-4(1-m)=5+4m$; $\Delta <0\iff m<-\frac{5}{4}$, $\Delta =0\iff m=-\frac{5}{4}$, $\Delta >0\iff m>-\frac{5}{4}$ — khớp hoàn toàn với kết luận đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2}=2\Rightarrow b=-4$. Parabol đi qua $M(1;1)$: $1=1-4+c\Rightarrow c=4$. Vậy $b=-4;c=4$, chọn C.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 29: Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$.

Bước 1: Xét hàm số $y=x^2-4x+3$ với $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Vì $a=1>0$ nên parabol có bề lõm hướng lên.

Bước 2: Tọa độ đỉnh:
$$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2,y=2^2-4\cdot 2+3=-1.$$
Vậy đỉnh $I(2;-1)$.

Bước 3: Giao điểm với trục $Oy$: cho $x=0$ thì $y=3$, ta được điểm $(0;3)$.

Bước 4: Giao điểm với trục $Ox$: giải $x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, ta được hai điểm $(1;0)$ và $(3;0)$.

Bước 5: Bảng giá trị một số điểm phụ: $x=-1\Rightarrow y=8$; $x=0\Rightarrow y=3$; $x=1\Rightarrow y=0$; $x=2\Rightarrow y=-1$; $x=3\Rightarrow y=0$; $x=4\Rightarrow y=3$; $x=5\Rightarrow y=8$.

Bước 6: Vẽ hệ trục tọa độ, đánh dấu các điểm $I(2;-1)$, $(0;3)$, $(1;0)$, $(3;0)$ và các điểm phụ, sau đó vẽ đường parabol đi qua các điểm này, có trục đối xứng là đường thẳng $x=2$, bề lõm hướng lên. Đồ thị là một parabol với đỉnh $I(2;-1)$, cắt trục hoành tại $(1;0)$ và $(3;0)$, cắt trục tung tại $(0;3)$, trục đối xứng $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 4, parabol có bề lõm hướng xuống, đỉnh được đánh dấu tại $x=-\frac{3}{4}$ và $y=\frac{17}{8}$.

a. Tọa độ đỉnh của đồ thị là $I\left(-\frac{3}{4};\frac{17}{8}\right)$.

b. Vì parabol có bề lõm hướng xuống (hệ số $a<0$):
- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{3}{4}\right)$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{3}{4};+\infty \right)$.

c. Vì $a<0$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh: $\underset{\mathbb{R}}{\max }y=\frac{17}{8}$, đạt được khi $x=-\frac{3}{4}$.

d. Tập xác định: hàm số bậc hai xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
Tập giá trị: vì GTLN của hàm số là $\frac{17}{8}$ và hàm số nhận mọi giá trị không vượt quá GTLN này, nên $T=\left(-\infty ;\frac{17}{8}\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Vẽ parabol.

a) $y=2x^2+4x-6$.
- $a=2>0$ nên parabol quay bề lõm lên trên.
- Hoành độ đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1$; tung độ đỉnh: $y=2(-1{)}^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$. Đỉnh $I(-1;-8)$.
- Trục đối xứng: $x=-1$.
- Giao điểm với trục $Oy$: $x=0\Rightarrow y=-6$, điểm $(0;-6)$, và điểm đối xứng qua trục là $(-2;-6)$.
- Giao điểm với trục $Ox$: $2x^2+4x-6=0\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$, tức các điểm $(1;0)$ và $(-3;0)$.
- Vẽ parabol đi qua các điểm $(-3;0),(-2;-6),I(-1;-8),(0;-6),(1;0)$, bề lõm hướng lên.

b) $y=-x^2-2$.
- $a=-1<0$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
- Đỉnh: $x=-\frac{0}{2(-1)}=0$, $y=-2$. Đỉnh $I(0;-2)$, trục đối xứng là trục $Oy$.
- Lấy thêm vài điểm: $x=\pm 1\Rightarrow y=-3$; $x=\pm 2\Rightarrow y=-6$.
- Parabol không cắt trục $Ox$ vì $-x^2-2=0\iff x^2=-2$ vô nghiệm.
- Vẽ parabol qua các điểm $(-2;-6),(-1;-3),I(0;-2),(1;-3),(2;-6)$, bề lõm hướng xuống, đối xứng qua trục $Oy$.

(AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ là $x=-\frac{b}{2a}$. Với $(P):y=2x^2+6x+3$ ta có $a=2,b=6$, nên trục đối xứng là $x=-\frac{6}{2\cdot 2}=-\frac{3}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=-4x-2x^2$ có $a=-2$, $b=-4$. Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2(-2)}=-1$. Tung độ đỉnh $y=-4(-1)-2(-1{)}^2=4-2=2$. Vậy đỉnh là $I(-1;2)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-2x+3$ có $a=1>0$, bậc hai, đỉnh tại $x=-\frac{b}{2a}=1$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$. Do đó mệnh đề đúng là D: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$. Các phương án A, B (khoảng $(-\infty ;2)$) và C (đồng biến trên $(-\infty ;1)$) đều sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol có bề lõm hướng lên ($a>0$), đỉnh tại $(-1;-4)$, cắt trục tung tại $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $x=-3$ và $x=1$. Xét $y=x^2+2x-3$: có $a=1>0$, đỉnh $I(-1;-4)$, $y(0)=-3$, nghiệm $x^2+2x-3=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án B, C có $a<0$ (bề lõm hướng xuống) nên loại; phương án D có đỉnh $(1;-4)$ và cắt trục tung tại $-3$ nhưng nghiệm là $x=-1,x=3$, không khớp hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát hình vẽ ở trang 9 (Câu 11): parabol có nhánh hướng xuống nên $a<0$. Đỉnh parabol nằm bên phải trục tung, tức $x=-\frac{b}{2a}>0$; vì $a<0$ nên suy ra $b>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ nên $c>0$. Vậy $a<0,b>0,c>0$, khớp với đáp án D đã cho.