Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tìm Y trước: $(x^3+1)(2x^2-3x+1)=0\iff x^3+1=0$ hoặc $2x^2-3x+1=0$. Từ $x^3+1=0\Rightarrow x=-1$. Từ $2x^2-3x+1=0\iff (2x-1)(x-1)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=1$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $Y=\{-1;1\}$.

Xét $X$: phương trình $x^2-2mx+2m-1=0$ có tổng hai nghiệm bằng $2m$ và tích hai nghiệm bằng $2m-1$. Thử $x=1$: $1-2m+2m-1=0$ luôn đúng, nên $x=1$ luôn là nghiệm với mọi $m$. Gọi nghiệm còn lại là $x_2$, theo định lý Vi-ét: $1\cdot x_2=2m-1\Rightarrow x_2=2m-1$.

Để $X=Y=\{-1;1\}$ thì nghiệm còn lại phải bằng $-1$: $2m-1=-1\iff m=0$.

Thử lại với $m=0$: phương trình trở thành $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$, tức $X=\{-1;1\}=Y$. Vậy $m=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $k$ là số nhân viên tăng ca ($0\le k\le 30$, $k\in \mathbb{Z}$). Lương mỗi nhân viên tăng ca: $400(1+2k\%)=400(1+0,02k)$ USD/tháng. Tổng chi trả lương: $k\cdot 400(1+0,02k)=400k+8k^2$. Doanh thu: $10000+800k$ USD/tháng (gồm tip $800k$ nộp lại cho chủ). Chi phí cố định điện nước: $8000$ USD/tháng. Lợi nhuận: $P(k)=10000+800k-(400k+8k^2)-8000=2000+400k-8k^2$. Đây là hàm bậc hai với hệ số $a=-8<0$, đạt cực đại tại $k=-\frac{400}{2(-8)}=25$. Vậy cần $25$ nhân viên tăng ca để lợi nhuận lớn nhất, khớp với đáp án nguồn 25.

Giả sử cửa hàng giảm giá $x$ lần, mỗi lần 5 nghìn đồng/cây $(x>0)$.
Khi đó:
Giá bán mỗi cây là: $p=80-5x$ (nghìn đồng)
Số cây bán được là: $n=40+20x$ (cây)
Giá nhập mỗi cây là: $c=50$ (nghìn đồng)
Lợi nhuận trong 1 ngày là:

$$L=(p-c).n=(80-5x-50)(40+20x)=-100x^2+400x+1200$$

L là hàm bậc hai có $a<0$, đạt giá trị cực đại tại $x=-\frac{b}{2a}=2$.
Khi đó để lợi nhuận lớn nhất thì giá bán mỗi cây là: $80-5.2=70$ (nghìn đồng).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: 7.5.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;1,8)$, $B(10;1,8)$, $C(2,5;3,6)$ (vì $OD=2,5$, $CD=3,6$). Do $OA=BE=1,8$ nên parabol có trục đối xứng $x=5$, nên phương trình có dạng $y=a(x-0)(x-10)+1,8$. Thay $C(2,5;3,6)$: $3,6=a\cdot 2,5\cdot (-7,5)+1,8\Rightarrow -18,75a=1,8\Rightarrow a=-0,096$. Đỉnh parabol tại $x=5$: $y=1,8+(-0,096)(5)(-5)=1,8+2,4=4,2$. Vậy độ cao lớn nhất của quả bóng so với mặt đất là $4,2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^2-2(m+1)x-3$ có $a=1>0$, bậc hai, đỉnh tại $x=m+1$, nghịch biến trên $(-\infty ;m+1)$ và đồng biến trên $(m+1;+\infty )$.
(a) Với $m=0$: đỉnh $x=1$, hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$ → Đúng.
(b) Với $m=0$: $f(x)=x^2-2x-3$, $f(-5)=25+10-3=32$, $f(-1)=1+2-3=0$, nên $f(-5)>f(-1)$, không phải $f(-5)<f(-1)$ → Sai.
(c) Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ khi và chỉ khi $m+1\ge 1\iff m\ge 0$, không đúng với mọi $m\in \mathbb{R}$ (ví dụ $m=-2$ thì hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$) → Sai.
(d) Hàm đồng biến trên $(4;2024)$ khi $m+1\le 4\iff m\le 3$. Giá trị nguyên dương: $m\in \{1,2,3\}$, đúng 3 giá trị → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với m=0, đỉnh parabol tại x=1, a=1>0 nên hàm đồng biến trên (1;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
f(-5)=32 > f(-1)=0, nên f(-5)<f(-1) là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ nghịch biến trên (-∞;1) khi m+1≥1, tức m≥0; không đúng với mọi m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồng biến trên (4;2024) ⇔ m+1≤4 ⇔ m≤3; các giá trị nguyên dương là 1,2,3 — đúng 3 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số y = ax² + bx + 2 có bảng biến thiên cho thấy đỉnh tại x = 3/2 với giá trị nhỏ nhất bằng -1/4 (a > 0). Ta có hệ: -b/(2a) = 3/2 ⟹ b = -3a; và 2 - b²/(4a) = -1/4 ⟹ b²/(4a) = 9/4 ⟹ b² = 9a. Thay b = -3a: 9a² = 9a ⟹ a = 1 (a ≠ 0), suy ra b = -3. Vậy A = a + b = 1 + (-3) = -2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol bề lõm hướng lên (a > 0), đỉnh (2; −1), nên f(x) = a(x − 2)² − 1 = ax² − 4ax + 4a − 1, suy ra c = 4a − 1.
(a) Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞). Trên khoảng (0; 2) hàm nghịch biến nên không đồng biến trên toàn khoảng (0; +∞) ⇒ Sai.
(b) Vì a > 0, GTNN f(x) = f(2) = −1 ⇒ Đúng.
(c) 4a − c = 4a − (4a − 1) = 1 ⇒ Đúng.
(d) |f(x)| = m có đúng 4 nghiệm phân biệt ⇔ 0 < m < 1 (vì min f = −1 và f cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt). Với m = 0, |f(x)| = 0 ⇔ f(x) = 0 chỉ có 2 nghiệm. Không có số nguyên m nào thỏa mãn ⇒ Sai.
a) Đồ thị có đỉnh tại x = 2 nên hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞). Trên khoảng (0; 2) hàm nghịch biến, do đó hàm số không đồng biến trên toàn khoảng (0; +∞). ⇒ Sai.
b) Parabol có bề lõm hướng lên (a > 0) và đỉnh có tung độ −1 (theo hình vẽ, đỉnh (2; −1)), nên min f(x) = f(2) = −1. ⇒ Đúng.
c) Từ đồ thị, đỉnh của parabol là (2; −1) nên f(x) = a(x − 2)² − 1 = ax² − 4ax + 4a − 1. Suy ra b = −4a và c = 4a − 1, do đó 4a − c = 4a − (4a − 1) = 1. ⇒ Đúng.
d) Vì min f(x) = −1 và đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, phương trình |f(x)| = m có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 1. Không tồn tại số nguyên m nào thỏa mãn (với m = 0, |f(x)| = 0 ⇔ f(x) = 0 chỉ có 2 nghiệm). ⇒ Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: h(0)=2 (điểm A cách mặt đất 2 m), đỉnh parabol tại t=1 với h(1)=7. Viết h(t)=a(t-1)²+7. Vì h(0)=2 nên a+7=2 ⇒ a=-5 (số âm). h(t)=-5(t-1)²+7=-5t²+10t+2, vậy b=10. (a) a=-5<0: Đúng. (b) Độ cao lớn nhất = 7 m: Đúng. (c) a=2b ⇔ -5=20: Sai. (d) Viên bi chạm đất: -5(t-1)²+7=0 ⇒ (t-1)²=1,4 ⇒ t=1+√1,4≈2,18 giây (nhận nghiệm dương >1): Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị parabol có nhánh hướng xuống nên a<0; cụ thể a=-5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol tại t=1 có giá trị h(1)=7, nên độ cao lớn nhất bằng 7 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(t)=-5(t-1)²+7=-5t²+10t+2 nên a=-5, b=10; a=2b ⇔ -5=20 là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải -5(t-1)²+7=0 ⇒ t=1+√1,4≈2,18 giây.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O(0;0)$ tại điểm đá phát, trục $Ox$ theo phương ngang, trục $Oy$ theo phương thẳng đứng. Quỹ đạo là parabol có đỉnh $(16;4)$ nên có dạng $y=a(x-16{)}^2+4$. Vì parabol đi qua gốc $O(0;0)$: $0=a\cdot 256+4\Rightarrow a=-\frac{1}{64}$. Tại vị trí hàng rào $x=10$: $y=-\frac{(10-16{)}^2}{64}+4=4-\frac{36}{64}=4-0,5625=3,4375\approx 3,44$ m. Vậy độ cao quả bóng tại hàng rào gần bằng $3,44$ m, trùng đáp án nguồn (mã đề 1014, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với mặt đất là trục Ox, gốc tại $A$: theo hình vẽ ta có $A(0;0)$, $C(3;0)$, $E(7;0)$, $G(9;0)$, $I(11;0)$; $B(0;4)$, $D(3;5,8)$.

Parabol $(P_1)$ có đỉnh $D(3;5,8)$ nên có dạng $y=a(x-3{)}^2+5,8$. Vì $(P_1)$ đi qua $B(0;4)$: $9a+5,8=4\Rightarrow a=-0,2$. Vậy $y=-0,2(x-3{)}^2+5,8$, suy ra $y^{\prime }=-0,4(x-3)$.

Tại $E(7;0)$: $y_F=-0,2\cdot 16+5,8=2,6$, tức $F(7;2,6)$; hệ số góc tiếp tuyến tại $F$: $y^{\prime }(7)=-1,6$.

Parabol $(P_2)$ có đỉnh $H(9;h)$ nên có dạng $y=b(x-9{)}^2+h$, $y^{\prime }=2b(x-9)$. Nối trơn tru tại $F$ nghĩa là $(P_2)$ đi qua $F$ và có cùng tiếp tuyến tại $F$: $2b(7-9)=-1,6\Rightarrow b=0,4$; và $0,4\cdot 4+h=2,6\Rightarrow h=1$.

Điểm $K$ có hoành độ $x=11$ (trên $(P_2)$): $y_K=0,4(11-9{)}^2+1=0,4\cdot 4+1=2,6$.

Vậy khoảng cách từ $K$ đến mặt đất bằng $2,6$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: gốc $O$ tại chân cổng trái, trục $Ox$ dọc mặt đất. Hai chân cổng tại $x=0$ và $x=8$, đỉnh parabol tại $x=4$, phương trình có dạng $y=a(x-4{)}^2+h$ với $h$ là chiều cao cổng.

Vì điểm $(0;0)$ thuộc parabol: $a\cdot 16+h=0\Rightarrow a=-\frac{h}{16}$.

Điểm cách chân cổng $0,5m$ có hoành độ $x=0,5$ và cao $2,93m$: $a(0,5-4{)}^2+h=2,93\Rightarrow -\frac{h}{16}\cdot 12,25+h=2,93$.

Suy ra $h\left(1-\frac{12,25}{16}\right)=2,93\Rightarrow h\cdot \frac{3,75}{16}=2,93\Rightarrow h=\frac{2,93\cdot 16}{3,75}=\frac{46,88}{3,75}\approx 12,5013$.

Vậy chiều cao của cổng parabol khoảng $12,5m$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $h(0)=200$ nên $c=200$; parabol có đỉnh tại $t=0$ và giảm dần nên $b=0$, $a<0$. Theo mô hình vật lý (gia tốc trọng trường), $a=-5$, vậy $h(t)=-5t^2+200$. Kiểm tra: $h(5)=-125+200=75$ (m) đúng như đề bài. Nước chạm đất khi $h(t)=0\iff -5t^2+200=0\iff t^2=40\iff t=\sqrt{40}\approx 6,32$ (s) (nhận giá trị dương). Khớp với đáp án nguồn 6,32.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi giá tour là $m$ (triệu đồng/người), với $0<m\le 2$. Mỗi lần giảm 100 ngàn đồng (0,1 triệu) thì thêm 10 người, nên số người tham gia là $50+\frac{2-m}{0,1}\cdot 10=50+100(2-m)=250-100m$. Doanh thu $T(m)=m(250-100m)=250m-100m^2$. Đây là hàm bậc hai với $a=-100<0$, đạt max tại $m=-\frac{250}{2(-100)}=1,25$ (thuộc $(0;2]$). Vậy $m=1,25$ triệu đồng/người.

(AI giải đề cho tôi)
Vì xe đứng yên tại t=0 nên d=0. Hệ: a+b+c=6; 8a+4b+2c=16; 27a+9b+3c=26. Từ phương trình thứ hai chia 2: 4a+2b+c=8, trừ phương trình đầu: 3a+b=2. Từ phương trình thứ ba trừ 3 lần phương trình đầu: 24a+6b=8, tức 12a+3b=4. Thay b=2-3a: 12a+6-9a=4 ⟹ 3a=-2 ⟹ a=-2/3, b=4, c=6-4+2/3=8/3. Vậy v(t)=-(2/3)t^3+4t^2+(8/3)t. Tại t=5: v(5)=-(2/3)(125)+4(25)+(8/3)(5)=-250/3+100+40/3=100-210/3=30 (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đỉnh parabol là $(2;-1)$ và đồ thị đi qua $(0;3)$. Suy ra $f(x)=a(x-2{)}^2-1$ với $4a-1=3\Rightarrow a=1$, tức $f(x)=(x-2{)}^2-1=x^2-4x+3$.
a) $f(2)=-1\ne 0$ nên parabol không đi qua $(2;0)$ → Sai.
b) Vì parabol có trục đối xứng $x=2$, $f(u)=f(v)\iff u=v$ hoặc $u+v=4$. Trường hợp $u=v$: $m^2-m-10=2m^2-3m-9\iff (m-1{)}^2=0\Rightarrow m=1$. Trường hợp $u+v=4$: $(m^2-m-10)+(2m^2-3m-9)=4\iff 3m^2-4m-23=0$, tổng hai nghiệm bằng $\frac{4}{3}$. Tổng tất cả giá trị của $m$ là $1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}\ne 1$ → Sai.
c) Trục đối xứng là $x=2$ → Đúng.
d) Hàm số là $y=x^2-4x+3$, không phải $y=2x^2-8x+3$ → Sai. Khớp đáp án nguồn SSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh $(2;-1)$ nên $f(2)=-1\ne 0$, parabol không đi qua $(2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(u)=f(v)\iff u=v$ hoặc $u+v=4$. Hai trường hợp cho $m=1$ và tổng nghiệm $\frac{4}{3}$, tổng tất cả là $\frac{7}{3}\ne 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol là $(2;-1)$ nên trục đối xứng là $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đỉnh $(2;-1)$ và $f(0)=3$ suy ra $f(x)=x^2-4x+3\ne 2x^2-8x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đỉnh parabol là $(2;-1)$ và parabol đi qua $(0;3)$. Viết $f(x)=a(x-2{)}^2-1$; do $f(0)=4a-1=3$ nên $a=1$, tức $f(x)=(x-2{)}^2-1=x^2-4x+3$.
a) $f(2)=-1\ne 0$ nên parabol KHÔNG đi qua $(2;0)$ → Sai.
b) $f(x)=x^2-4x+3\ne 2x^2-8x+3$ → Sai.
c) Trục đối xứng là $x=2$ → Đúng.
d) $f(u)=f(v)\iff (u-v)(u+v-4)=0$ với $u=m^2-m-10$, $v=2m^2-3m-9$.
TH1: $u=v\Rightarrow m^2-2m+1=0\Rightarrow m=1$.
TH2: $u+v-4=0\Rightarrow 3m^2-4m-23=0$, tổng hai nghiệm bằng $\frac{4}{3}$.
Tổng tất cả giá trị của $m$ là $1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}\ne 1$ → Sai.
Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án nguồn (SSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol là $(2;-1)$ nên $f(2)=-1\ne 0$, parabol không đi qua $(2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đỉnh $(2;-1)$ và $f(0)=3$ suy ra $f(x)=(x-2{)}^2-1=x^2-4x+3\ne 2x^2-8x+3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol có hoành độ $x=2$ nên trục đối xứng là đường thẳng $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(u)=f(v)\iff (u-v)(u+v-4)=0$. TH1 $u=v$: $m=1$. TH2 $u+v=4$: $3m^2-4m-23=0$, tổng nghiệm $\frac{4}{3}$. Tổng tất cả $m$ bằng $\frac{7}{3}\ne 1$.

Câu 3 [Hình cần kiểm tra lại: p11_f2]
Giả sử cổng $(P):y=a{x}^2+bx+c$ nhận trục Oy là trục đối xứng, gốc O là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 chân cổng.
Khi đó đỉnh của (P) là I(0;4) và (P) đi qua A(-3;0) và B(3;0).
Lập được công thức $(P):y=-\frac{4}{9}{x}^2+4$ (0.25 điểm).

Với xe tải độ rộng 3m nên giả sử $N\left(\frac{3}{2};y_N\right)\in (P)$ (0.25 điểm).
Khi đó $y_N=-\frac{4}{9}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2+4=3$.
Do vậy để xe tải đi qua cổng thì chiều cao của xe tải không quá 3m.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại vị trí ban đầu $A$ của tàu $A$, trục hoành hướng về phía $B$ (hướng Đông), trục tung hướng Nam. Sau $t$ giờ, tàu $A$ ở $A_1(0;7t)$. Tàu $B$ chạy thẳng về vị trí ban đầu của tàu $A$ (điểm $A$) với vận tốc 8 hải lí/giờ nên ở $B_1(10-8t;0)$ với $0\le t\le \frac{10}{8}=1,25$.

Khoảng cách giữa hai tàu:
$$d^2(t)=(10-8t{)}^2+(7t{)}^2=100-160t+113t^2.$$
Xét hàm $f(t)=113t^2-160t+100$ trên $[0;1,25]$. Hoành độ đỉnh:
$$t=\frac{160}{2\cdot 113}=\frac{80}{113}\approx 0,7080\in [0;1,25].$$
Vì hệ số $113>0$ nên $d^2$ (và do đó $d$) đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\frac{80}{113}\approx 0,71$ giờ. Khi đó $d_{\min }=\sqrt{100-\frac{160\cdot 80}{113}+113\cdot \frac{6400}{12769}}\approx 6,63$ hải lí.

Vậy sau khoảng $0,71$ giờ khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất.