Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hai giao điểm với trục $Ox$ nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi $f(0)<0$ (vì hệ số $a=1>0$, parabol hướng lên, hai nghiệm trái dấu). Ta có $f(0)=m-1<0\iff m<1$. Kiểm tra: với $m<1$, $\Delta =4-4(m-1)=8-4m>0$ nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5: Tìm parabol $y=a{x}^2+bx+3$ (a ≠ 0).

a) Đi qua A(2;15) và B(-1;0):
- Thay A(2;15): $4a+2b+3=15\Rightarrow 4a+2b=12\Rightarrow 2a+b=6$.
- Thay B(-1;0): $a-b+3=0\Rightarrow a-b=-3$.
- Cộng hai phương trình: $3a=3\Rightarrow a=1$, suy ra $b=4$.
- Vậy $y=x^2+4x+3$. Kiểm tra: $x=2\Rightarrow 4+8+3=15$ ✓; $x=-1\Rightarrow 1-4+3=0$ ✓.

b) Có đỉnh I(-2;19):
- Hoành độ đỉnh: $-\frac{b}{2a}=-2\Rightarrow b=4a$.
- Tung độ đỉnh: $3-\frac{b^2}{4a}=19\Rightarrow 3-\frac{16a^2}{4a}=19\Rightarrow 3-4a=19\Rightarrow a=-4$.
- Suy ra $b=4a=-16$.
- Vậy $y=-4x^2-16x+3$. Kiểm tra: đỉnh tại $x=-\frac{-16}{2(-4)}=-2$, $y(-2)=-16+32+3=19$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ có đỉnh $I(-1;2)$ nên $-\frac{b}{2a}=-1\Rightarrow b=2a$ và $y_I=a(-1{)}^2+b(-1)+c=a-b+c=2$. Parabol đi qua $A(1;6)$ nên $a+b+c=6$. Trừ hai phương trình: $(a+b+c)-(a-b+c)=6-2\Rightarrow 2b=4\Rightarrow b=2$, suy ra $a=1$. Thay vào: $1+2+c=6\Rightarrow c=3$. Vậy parabol cần tìm là $y=x^2+2x+3$. Kiểm tra: đỉnh $x=-\frac{2}{2}=-1$, $y(-1)=1-2+3=2$ ✓; $y(1)=1+2+3=6$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-4x+3$ là parabol bậc hai với $a=1>0$ nên đồng biến trên khoảng bên phải đỉnh. Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị parabol $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$. Do đó đáp án A đúng, các phương án B, C, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol có bề lõm hướng xuống dưới (nhánh đi xuống vô cực khi |x| lớn), nên hệ số $a<0$. Các khẳng định $a>0$, $a=1$, $a=2$ đều sai vì không thể xác định giá trị cụ thể và dấu phải âm. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $-2x^2+2(m-2)x+m-2=0$ với $a=-2\ne 0$, $b=2(m-2)$, $c=m-2$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
$$\Delta =b^2-4ac=[2(m-2){]}^2-4(-2)(m-2)=4(m-2{)}^2+8(m-2)$$
$$=4(m-2)[(m-2)+2]=4(m-2)\cdot m=4m(m-2)$$

Yêu cầu $\Delta >0$:
$$4m(m-2)>0⟺m(m-2)>0⟺m<0\text{ hoặc }m>2$$

Vậy $m\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Kiểm tra: với $m=0$: phương trình $-2x^2-4x-2=0$ có nghiệm kép $x=-1$ (loại, đúng vì $m=0$ không thuộc tập trên); với $m=3$: $-2x^2+2x+1=0$, $\Delta =4+8=12>0$, hai nghiệm phân biệt — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $x^2-2(m+1)x+3m^2-3=0$ với $a=1$, $b=-2(m+1)$, $c=3m^2-3$.

Cách 1 (dùng biệt thức):
$$\Delta =b^2-4ac=4(m+1{)}^2-4(3m^2-3)=4(m^2+2m+1-3m^2+3)=-8(m^2-m-2)=-8(m-2)(m+1).$$

**a. Phương trình có nghiệm** $\iff \Delta \ge 0\iff (m-2)(m+1)\le 0\iff -1\le m\le 2$.

Vậy $m\in [-1;2]$.

**b. Phương trình có hai nghiệm trái dấu:**

Vì $a=1>0$, phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi tích hai nghiệm âm:
$$P=\frac{c}{a}=3m^2-3<0\iff m^2<1\iff -1<m<1.$$

(Khi $-1<m<1$ thì $\Delta =-8(m-2)(m+1)>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, và tích nghiệm $3m^2-3<0$ nên hai nghiệm trái dấu — điều kiện thỏa mãn.)

Vậy $m\in (-1;1)$.

*Cách 2 cho câu b (dùng định lý Vi-ét):* hai nghiệm trái dấu $\iff \Delta >0$ và $S=2(m+1)\ne 0$... thực chất chỉ cần $P=3m^2-3<0$ vì điều này đã kéo theo $\Delta >0$ như đã kiểm tra ở trên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh parabol là $I(1;-3)$ và đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$. Viết parabol dạng $y=a(x-1{)}^2-3$. Thay $x=0,y=-1$: $a(0-1{)}^2-3=-1\Rightarrow a=2$. Vậy $y=2(x-1{)}^2-3=2x^2-4x-1$. Kiểm tra: $y=2x^2-4x-1$ có $y(0)=-1$, đỉnh $x=\frac{4}{4}=1$, $y(1)=-3$, khớp hình vẽ. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có đỉnh $I(1;-4)$, cắt trục tung tại điểm có tung độ $-3$, đi qua các điểm $(-1;0)$ và $(3;0)$. Dạng chính tắc: $f(x)=a(x-1{)}^2-4$. Vì $f(0)=a-4=-3\Rightarrow a=1>0$; khi đó $f(x)=x^2-2x-3$ (kiểm tra: $f(-1)=0$, $f(3)=0$ đúng). Vậy $a=1,b=-2,c=-3$.
a) Sai: vì $a>0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$, không nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
b) Đúng: $a=1>0$ (parabol quay lên).
c) Sai: $c=-3<0$ (đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm).
d) Đúng: $a+b+c=f(1)=-4$ (tung độ đỉnh). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=1>0$, hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$ (đỉnh tại $x=1$), nên khẳng định nghịch biến trên $(1;+\infty )$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Parabol quay bề lõm lên trên nên $a>0$; cụ thể từ đỉnh $(1;-4)$ và $f(0)=-3$ ta được $a=1>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-3)$ nên $c=f(0)=-3<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a+b+c=f(1)=-4$ vì $(1;-4)$ là đỉnh parabol.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=x^2-2mx-2m+5$ có trục đối xứng $x=\frac{2m}{2}=m$. Theo đề, trục đối xứng là $x=-5$ nên $m=-5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 4: -5).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên ($a>0$), cắt trục tung tại $(0;-2)$ và có đỉnh dưới trục hoành. Loại A, B vì $a=-1<0$. Xét C: $y=x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$ có đỉnh $(1;1)$ và $y(0)=2>0$, không khớp. Xét D: $y=x^2-2x-2=(x-1{)}^2-3$ có $a=1>0$, đỉnh $I(1;-3)$, $y(0)=-2$, cắt trục hoành tại $x=1\pm \sqrt{3}$ (một nghiệm âm, một nghiệm dương), khớp hoàn toàn với đồ thị. Vậy đáp án là D, trùng với bảng đáp án mã đề 0102.

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh: $x_I=\frac{-b}{2a}$. Thay vào: $y_I=a\cdot \frac{b^2}{4a^2}+b\cdot \frac{-b}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{-\Delta }{4a}$ với $\Delta =b^2-4ac$. Vậy $I\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a}\right)$, khớp đáp án C (mã đề 0102, câu 6).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có bậc hai với đỉnh $I(1;-4)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ $-3$, nên $c=-3$ và $f(1)=a+b+c=-4$.
- a) $f(1)=a+b+c=-4$ (đỉnh có tung độ $-4$) → Đúng.
- b) $c=-3<0$ → Sai.
- c) Vì $a>0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$, nên khẳng định nghịch biến trên $(1;+\infty )$ là Sai.
- d) Parabol có nhánh hướng lên nên $a>0$ → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol là $I(1;-4)$ nên $f(1)=a+b+c=-4$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-3)$ nên $c=-3<0$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a>0$, hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$ (đồng thời nghịch biến trên $(-\infty ;1)$). Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có nhánh hướng lên nên $a>0$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị parabol $y=x^2-2mx-2m+5$ có trục đối xứng là $x=\frac{2m}{2}=m$. Theo đề, trục đối xứng là $x=-5$, nên $m=-5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 0101: $-5$).

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh: $x_I=\frac{-b}{2a}$. Tung độ đỉnh: $y_I=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-\Delta }{4a}$ với $\Delta =b^2-4ac$. Vậy $I\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a}\right)$, khớp đáp án B (mã đề 0101, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol hướng lên nên $a>0$, loại A, B. Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ $-2$ nên $c=-2$, loại C (vì $c=2$). Với $y=x^2-2x-2$: đỉnh $I(1;-3)$ nằm bên phải trục Oy và thấp hơn $-2$, cắt Oy tại $(0;-2)$, khớp với hình vẽ. Vậy đáp án D, trùng đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh parabol $y=x^2-5x+4$ là $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2\cdot 1}=\frac{5}{2}$. Vậy chọn A.

Ta có: +) $f(0)=c$, $f(1)=a+b+c$, $f(-1)=a-b+c$.

+) $f(\alpha )=f(\beta )\Rightarrow a({\alpha }^2-{\beta }^2)+b(\alpha -\beta )=0\Rightarrow (\alpha -\beta )(a(\alpha +\beta )+b)=0\iff \{\begin{array}{l}\alpha =\beta \\ \alpha +\beta =\frac{-b}{a}\end{array}$

+) $f(x)$ là một tam thức bậc hai, nên với mỗi số $k$ cố định, tồn tại nhiều nhất hai số thực phân biệt $x$ để $f(x)=k$.

Từ đây suy ra, do $f(f(1))=f(f(0))=f(f(-1))$ nên tập $\{f(1),f(0),f(-1)\}$ chứa nhiều nhất hai phần tử phân biệt. Kết hợp $f(1)\ne f(0)$ ta có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: $f(1)=f(-1)$, $f(1)\ne f(0)$

Từ $f(1)=f(-1)\Rightarrow (a+b+c)=(a-b+c)\Rightarrow b=0$.

Khi đó $f(x)=a{x}^2+c$.

Điều kiện bài toán trở thành: $f(f(1))=f(f(0))\Rightarrow f(a+c)=f(c)$.

Vì $f(1)\ne f(0)$ nên $a+c\ne c$ (luôn đúng do $a\ne 0$).

Áp dụng tính chất hàm bậc hai với $b=0$: $(a+c)+c=0\Rightarrow a+2c=0\Rightarrow c=-\frac{a}{2}$

Vậy $f(x)=a{x}^2-\frac{a}{2}$. Thử lại thỏa mãn bài toán

Trường hợp 2: $f(0)=f(-1)$ và $f(1)\ne f(0)$

Từ $f(0)=f(-1)\Rightarrow c=a-b+c\Rightarrow a=b$. Khi đó $f(x)=a{x}^2+ax+c$.

Điều kiện còn lại: $f(f(1))=f(f(0))\Rightarrow f(2a+c)=f(c)$.

Vì $f(1)\ne f(0)$ nên $2a+c\ne c$ (đúng do $a\ne 0$).

Theo tính chất đối xứng: $(2a+c)+c=-\frac{b}{a}=-\frac{a}{a}=-1\Rightarrow 2a+2c=-1\Rightarrow c=\frac{-1-2a}{2}$

Vậy $f(x)=a{x}^2+ax-\frac{2a+1}{2}$. Thử lại thỏa mãn

Vậy tất cả các hàm thỏa mãn bài toán là $f(x)=a{x}^2-\frac{a}{2}$, $f(x)=a{x}^2+ax-\frac{2a+1}{2}$

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$ là parabol có bề lõm hướng lên trên (nhìn từ hình vẽ: nhánh parabol đi lên vô cực hai phía, đỉnh nằm dưới trục hoành). Do đó $a>0$. Từ hình vẽ không thể xác định giá trị cụ thể của $a$ (như $a=2$ hay $a=3$), nên khẳng định đúng là $a>0$.