Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị Câu 4 là parabol có bề lõm hướng lên nên $a>0$. Đỉnh parabol nằm dưới trục hoành và đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, nên phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức $\Delta =b^2-4ac>0$. Vậy khẳng định đúng là $a>0,\Delta >0$, chọn đáp án A. (Lưu ý: mô tả figure ghi 'đỉnh tiếp xúc trục hoành' nhưng hình trên trang cho thấy đỉnh dưới trục hoành với hai nghiệm phân biệt, nhất quán với đáp án A.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có đỉnh $I(-1;4)$, cắt trục hoành tại $x=-3$ và $x=1$, nên $f(x)=-(x+1{)}^2+4=-x^2-2x+3$.
a) $f(x)>0$ khi và chỉ khi đồ thị nằm trên trục hoành, tức $-3<x<1$. Đúng.
b) Trên khoảng $(-3;1)$ thì $f(x)>0$, nên khẳng định $f(x)<0,\forall x\in \mathbb{R}$ sai.
c) Đỉnh parabol có tung độ lớn nhất bằng 4 (parabol quay xuống), nên $f(x)\le 4$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Đúng.
d) Tam giác có một đỉnh là đỉnh parabol $I(-1;4)$, hai đỉnh còn lại là giao điểm với trục hoành $(-3;0)$ và $(1;0)$. Độ dài đáy $=1-(-3)=4$, chiều cao $=4$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$ (đvdt). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị nằm trên trục hoành chính xác trên khoảng $(-3;1)$, nên $f(x)>0\iff -3<x<1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-3;1)$, đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)>0$, do đó khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $(-1;4)$ là điểm cao nhất nên $f(x)\le 4$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đáy tam giác là đoạn từ $(-3;0)$ đến $(1;0)$ dài 4, đỉnh $(-1;4)$ cách trục hoành 4, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$ (đvdt).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi độ cao của bóng theo thời gian $t$ (giây) là $h(t)=a{t}^2+bt+c$ với $a<0$ (parabol quay xuống dưới). Theo đề: $h(0)=1\Rightarrow c=1$; $h(1)=10\Rightarrow a+b+c=10\Rightarrow a+b=9$... kiểm tra lại: $a+b=9$. Và $h(3,5)=6,25\Rightarrow 12,25a+3,5b+c=6,25\Rightarrow 12,25a+3,5b=5,25$. Thay $b=9-a$: $12,25a+31,5-3,5a=5,25\Rightarrow 8,75a=-26,25\Rightarrow a=-3$, suy ra $b=12$. Vậy $h(t)=-3t^2+12t+1$. Hoành độ đỉnh $t=-\frac{b}{2a}=2$ (giây), độ cao cực đại $h(2)=-12+24+1=13$ (m). Vậy độ cao cao nhất quả bóng đạt được là $13$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh của parabola $y=a{x}^2+bx+c$ là $x=-\frac{b}{2a}$. Xét từng phương án: A: $x=-\frac{3}{2(-1)}=\frac{3}{2}>0$. B: $x=-\frac{2}{2\cdot 4}=-\frac{1}{4}<0$ (đạt yêu cầu). C: $y=-x^2-2$ có $b=0$ nên $x=0$. D: $x=-\frac{-4}{2}=2>0$. Vậy hàm số $y=4x^2+2x-7$ có hoành độ đỉnh âm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 3: parabola có bề lõm hướng xuống ($a<0$), đi qua điểm $(0;3)$, cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=3$, đỉnh tại $x=1$ với tung độ 4. Xét $y=-x^2+2x+3$: có $a=-1<0$ (bề lõm xuống); $y(0)=3$; đỉnh $x=-\frac{2}{2(-1)}=1$, $y(1)=-1+2+3=4$; nghiệm $-x^2+2x+3=0\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Loại B vì bề lõm hướng lên; loại C vì đỉnh tại $(0;3)$; loại D vì đỉnh tại $x=-1$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai có dạng $y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng phương án: A có bậc cao nhất là 3 (hàm bậc ba); B là hàm phân thức (hàm hữu tỉ); C chứa căn thức, không phải đa thức; D có dạng $y=-x^2-5x-3$ với $a=-1\ne 0$, là hàm bậc hai. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=5x^2+5x-4$ có $a=5,b=5,c=-4$. Hoành độ đỉnh $x_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2}$. Tung độ đỉnh $y_I=5{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+5\left(-\frac{1}{2}\right)-4=\frac{5}{4}-\frac{5}{2}-4=\frac{5-10-16}{4}=-\frac{21}{4}$. Vậy $I\left(-\frac{1}{2};-\frac{21}{4}\right)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol có bề lõm hướng lên nên $a>0$. Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung, tức $-\frac{b}{2a}<0$, mà $a>0$ nên $b>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ (trên trục hoành) nên $y(0)=c>0$. Vậy $a>0,b>0,c>0$, khớp với đáp án A (theo bảng đáp án Mã đề 1103, Câu 15 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxy với A(0;0), B(162;0). Do parabol đối xứng nên đỉnh có hoành độ x = 81. Parabol qua A, B có dạng y = a·x(162 − x). Điểm M có hoành độ HA = 10 và tung độ MH = 43, nên 43 = a·10·152 = 1520a, suy ra a = 43/1520. Chiều cao cổng là giá trị lớn nhất tại đỉnh: h = a·81² = (43/1520)·6561 = 282123/1520 ≈ 185,6 m. Vậy chọn B, trùng đáp án nguồn (Mã 1103, Câu 19: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có đỉnh $(1;-4)$, đi qua $(0;-3)$, cắt Ox tại $x=-1$ và $x=3$, nên $f(x)=(x-1{)}^2-4=x^2-2x-3$.
a) $f^2(x)-5f(x)+6=0\iff f(x)=2$ hoặc $f(x)=3$. Với $f(x)=2$: $(x-1{)}^2=6$ cho 2 nghiệm; với $f(x)=3$: $(x-1{)}^2=7$ cho 2 nghiệm. Tổng cộng 4 nghiệm phân biệt, không phải 3 → Sai.
b) $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$ → Sai.
c) $\min f=-4$ nên $f(x)=m$ có nghiệm $\iff m\ge -4$ → Đúng.
d) Trên khoảng $(-2;2)$, đỉnh $x=1$ thuộc khoảng nên $\min f=-4$; giới hạn trên ${\sup }_{(-2;2)}f={\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=9$. Bất phương trình $f(x)\ge 2m-1$ có nghiệm trong $(-2;2)$ khi $2m-1<9\iff m<5$. Khi $m<3$ thì $2m-1<5<9$, nên chắc chắn có nghiệm (ví dụ lấy $x$ gần $-2$) → Đúng. Khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=2 và f(x)=3 mỗi phương trình cho 2 nghiệm phân biệt, tổng 4 nghiệm phân biệt nên khẳng định 'ba nghiệm' sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
a+b+c=f(1)=-4≠2.
c) (AI giải đề cho tôi)
min f = -4 nên f(x)=m có nghiệm ⟺ m≥-4.
d) (AI giải đề cho tôi)
sup f trên (-2;2) là 9, cần 2m-1<9 ⟺ m<5; với m<3 điều kiện này thỏa nên bất phương trình có nghiệm thuộc (-2;2).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục $Ox$ dọc theo nhịp cầu, gốc $O$ tại giữa nhịp. Đỉnh parabol ở giữa nhịp, dây ngắn nhất $0,8$ m nên phương trình thành cầu: $y=0,8+k{x}^2$. Tại đầu nhịp $x=15$ m, dây dài nhất $5$ m nên $5=0,8+k\cdot 225\Rightarrow k=\frac{4,2}{225}=0,018\overline{6}$.

Khoảng cách giữa các dây bằng nhau, bằng $\frac{30}{20}=1,5$ m, nên mỗi mặt bên có $21$ sợi dây tại $x=0,\pm 1,5,\pm 3,\dots ,\pm 15$.

Tổng chiều dài dây một mặt bên:
$$S=21\cdot 0,8+k\sum x^2=16,8+\frac{4,2}{225}\cdot 2\left(1,5^2+3^2+\cdots +15^2\right).$$
Với $\sum x^2=2\cdot 2,25\cdot (1^2+2^2+\cdots +10^2)=4,5\cdot 385=1732,5$:
$$S=16,8+0,018\overline{6}\cdot 1732,5=16,8+32,34=49,14\text{ (m)}.$$

Hai mặt bên, cộng thêm $5\%$ để neo cố định:
$$T=2\cdot 49,14\cdot 1,05=103,194\approx 103\text{ (m)}.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1103, Câu 2: 103).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai cạnh rào là $x$ và $y$ (m), với cạnh $y$ song song bức tường (không cần rào). Tổng lưới: $2x+y=100$ với $x,y>0$. Diện tích $S=xy=x(100-2x)=100x-2x^2$. Hàm số $S(x)=-2x^2+100x$ có đỉnh tại $x=\frac{100}{4}=25$, khi đó $y=100-2\cdot 25=50$ và $S_{\max }=25\cdot 50=1250{\mathrm{m}}^2$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (Mã 1102, câu 18: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ ở trang 12: parabol có bề lõm hướng lên nên $a>0$. Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}<0$ (đỉnh nằm bên trái trục $Oy$), vì $a>0$ nên $-\frac{b}{2a}<0\Rightarrow b>0$ (cùng dấu với $a$). Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm phía trên gốc $O$ nên $y(0)=c>0$. Vậy $a>0,b>0,c>0$, chọn đáp án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 20: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: parabol có đỉnh $(1;-4)$ và $f(0)=-3$, nên $f(x)=(x-1{)}^2-4=x^2-2x-3$ (đi qua $(-1;0)$, $(3;0)$, $f(-2)=5$ khớp hình vẽ).
a) $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$ ⇒ Sai.
b) Trên khoảng $(-2;2)$, $f$ liên tục, đạt min $=-4$ tại $x=1$, và giá trị lớn nhất tiệm cận là ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=5$ (không đạt vì $f(-2)=5$ ngoài khoảng). BPT $f(x)\ge 2m-1$ có nghiệm thuộc $(-2;2)$ ⟺ $2m-1<5$ (nếu $2m-1\ge 5$ thì vô nghiệm vì $f<5$ trên khoảng) ⟺ $m<3$ ⇒ Đúng.
c) $\min f=-4$ nên $f(x)=m$ có nghiệm ⟺ $m\ge -4$ ⇒ Đúng.
d) Đặt $t=f(x)$: $t^2-5t+6=0\iff t=2$ hoặc $t=3$. Cả hai giá trị $>-4=\min f$ nên mỗi phương trình $f(x)=2$, $f(x)=3$ có 2 nghiệm phân biệt (x=1±√5, x=1±√6), tổng cộng 4 nghiệm phân biệt, không phải 3 ⇒ Sai.
Đối chiếu bảng đáp án chính thức Mã đề 1102, Câu 7: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập.
a) Theo đáp án chính thức (Mã đề 1102, Câu 7a): Sai. Từ đồ thị, đỉnh parabol là $(1;-4)$ và $f(0)=-3$, nên $f(x)=x^2-2x-3$, suy ra $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$.
b) Theo đáp án chính thức (Mã đề 1102, Câu 7b): Đúng. Trên khoảng $(-2;2)$, $f(x)$ đạt giá trị từ $-4$ (tại $x=1$) đến gần $5$ (không đạt, vì $f(-2)=5$ ngoài khoảng). Bất phương trình có nghiệm thuộc $(-2;2)$ khi $2m-1<5\iff m<3$.
c) Theo đáp án chính thức (Mã đề 1102, Câu 7c): Đúng. Đỉnh parabol là $(1;-4)$ nên $\min f(x)=-4$, do đó phương trình $f(x)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge -4$.
d) Theo đáp án chính thức (Mã đề 1102, Câu 7d): Sai. Đặt $t=f(x)$, ta được $t=2$ hoặc $t=3$. Vì $\min f=-4$ và parabol bậc hai, mỗi giá trị $t=2$ và $t=3$ cho hai nghiệm phân biệt, tổng cộng $4$ nghiệm phân biệt (không phải ba).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục gốc tại giữa nhịp cầu. Parabol có dạng $y=0,8+a{x}^2$ (dây ngắn nhất $0,8$ m ở giữa nhịp). Tại mép cầu $x=15$: $5=0,8+225a\Rightarrow a=\frac{4,2}{225}=0,018\overline{6}$.

Theo bản vẽ, khoảng cách giữa các dây là $1,5$ m, nên có $\frac{30}{1,5}+1=21$ dây ở mỗi mặt bên, tại $x=0,\pm 1,5,\pm 3,...,\pm 15$.

Tổng chiều dài dây một mặt bên:
$$S_1=21(0,8)+a\sum x^2=16,8+\frac{4,2}{225}\cdot 2\cdot 1,5^2(1^2+2^2+...+10^2)$$
$$=16,8+\frac{4,2}{225}\cdot 4,5\cdot 385=16,8+32,34=49,14\text{ m}.$$

Hai mặt bên: $2\cdot 49,14=98,28$ m. Cộng thêm 5% để neo: $98,28\cdot 1,05=103,194\approx 103$ m.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3 = 103).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đỉnh $(1;-4)$, đi qua $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=3$. Suy ra $f(x)=a(x-1{)}^2-4$ với $f(0)=a-4=-3\Rightarrow a=1$, tức $f(x)=(x-1{)}^2-4=x^2-2x-3$.
a) $f^2(x)-5f(x)+6=0\iff f(x)=2$ hoặc $f(x)=3$. Với $f(x)=2$: $(x-1{)}^2=6$ cho 2 nghiệm; với $f(x)=3$: $(x-1{)}^2=7$ cho 2 nghiệm. Tổng cộng 4 nghiệm phân biệt (vì $2\ne 3$), không phải 3 → SAI.
b) $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$ → SAI.
c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất $-4$ tại đỉnh và ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$, nên phương trình $f(x)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge -4$ → ĐÚNG.
d) Trên khoảng $(-2;2)$, hàm số liên tục, $f(-2)=5$ không thuộc khoảng, giá trị lớn nhất (sup) trên khoảng là 5 (chưa đạt). Bất phương trình $f(x)\ge 2m-1$ có nghiệm thuộc $(-2;2)$ khi và chỉ khi $2m-1<{\sup }_{(-2;2)}f=5\iff m<3$ → ĐÚNG. Khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2$ và $f(x)=3$ mỗi phương trình cho 2 nghiệm phân biệt, tổng cộng 4 nghiệm phân biệt chứ không phải 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^2-2x-3$ thì $a+b+c=f(1)=-4\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\min f=-4$ nên $f(x)=m$ có nghiệm khi $m\ge -4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;2)$, sup của $f$ là $f(-2)=5$ (không đạt được). Cần $2m-1<5\iff m<3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên nên $a>0$. Đỉnh parabol nằm bên trái trục $Oy$, tức $-\frac{b}{2a}<0$, kết hợp $a>0$ suy ra $b>0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương (phía trên gốc $O$) nên $y(0)=c>0$. Vậy $a>0,b>0,c>0$, tương ứng phương án C, trùng với đáp án nguồn (Mã 1101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với chân cổng $A$ tại $x=0$, $B$ tại $x=162$. Parabol có dạng $y=ax(162-x)$, đỉnh tại $x=81$. Điểm $M$ có hoành độ $x=HA=10$ và $y=MH=43$, nên $43=a\cdot 10\cdot 152\Rightarrow a=\frac{43}{1520}$. Chiều cao cổng: $h=y(81)=\frac{43}{1520}\cdot 81^2=\frac{43\cdot 6561}{1520}\approx 185,6m$. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn (Mã 1101, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao có dạng $y=a(t-3{)}^2+21$ với đỉnh $(3;21)$. Vì bóng đá từ mặt đất: $y(0)=0\Rightarrow 9a+21=0\Rightarrow a=-\frac{7}{3}$. Vậy $y=-\frac{7}{3}{t}^2+14t$. a) Đúng. b) $y(1)=-\frac{7}{3}+14=\frac{35}{3}$ m, đúng. c) Bóng chạm đất khi $-\frac{7}{3}{t}^2+14t=0\Rightarrow t=6$ giây, nên sau 10 giây bóng đã chạm đất từ lâu; phát biểu sai. d) $y>10\iff -\frac{7}{3}{t}^2+14t>10\iff 7t^2-42t+30<0\iff t\in \left(\frac{42-\sqrt{924}}{14};\frac{42+\sqrt{924}}{14}\right)\approx (0.83;5.17)$. Số nguyên $t$ lớn nhất là 5, không phải 6; phát biểu sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=a(t-3{)}^2+21$, $y(0)=0\Rightarrow a=-\frac{7}{3}$, nên $y=-\frac{7}{3}{t}^2+14t$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(1)=-\frac{7}{3}+14=\frac{35}{3}$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=0\Rightarrow t=6$ giây, bóng chạm đất lúc 6 giây chứ không phải 10 giây.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y>10\iff 7t^2-42t+30<0\iff 0.83<t<5.17$, nên $t\in \mathbb{Z}$ lớn nhất là 5 giây.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ 4 nên $c=4$. Tung độ đỉnh là $y_{\text{đỉnh}}=c-\frac{b^2}{4a}=3$, suy ra $\frac{b^2}{4a}=4-3=1$, tức $b^2=4a$. Khi đó $T=-4a+b^2+c^2=-4a+4a+16=16$. Kết quả khớp với đáp số nguồn (Câu 2: 16).