Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, trước hết xét giới hạn tại vô cực. Với $x\to +\infty$: $\lim f(x)=\lim \frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=1$. Với $x\to -\infty$, để $\sqrt{4x^2-cx+9}+dx$ có giới hạn hữu hạn thì $d=2$ (vì $\sqrt{4x^2-cx+9}\sim -2x$ khi $x\to -\infty$). Khi đó khai triển: $\sqrt{4x^2-cx+9}=-2x\sqrt{1-\frac{c}{4x}+\frac{9}{4x^2}}\approx -2x+\frac{c}{4}$, nên ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\frac{c}{4}$. Điều kiện đề bài: $\frac{c}{4}+1=\frac{7}{4}\Rightarrow c=3$. Liên tục tại $x=3$: nhánh $x>3$ phải có tử số triệt tiêu tại $x=3$: $9+3a+b=0\Rightarrow b=-9-3a$. Giới hạn bên phải: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=\frac{2\cdot 3+a}{2\cdot 3}=\frac{6+a}{6}$ (quy tắc L'Hôpital hoặc rút nhân tử). Giới hạn bên trái: $f(3)=\sqrt{36-3c+9}+3d=\sqrt{45-9}+6=6+6=12$. Suy ra $\frac{6+a}{6}=12\Rightarrow a=66$, và $b=-9-3\cdot 66=-207$. Vậy $a+b+c+d=66-207+3+2=-136$, khớp với đáp án $-136$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax+b}{x^2-9},& x>3\\ \sqrt{4x^2-cx+9}+dx,& x\le 3\end{array}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

**Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$:** $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=1$.

**Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$:** Với $x\to -\infty$, đặt $x=-t$, $t\to +\infty$:
$$\sqrt{4x^2-cx+9}=\sqrt{4t^2+ct+9}=2t\sqrt{1+\frac{c}{4t}+\frac{9}{4t^2}}=2t+\frac{c}{4}+o(1)=-2x+\frac{c}{4}+o(1).$$
Do đó $\sqrt{4x^2-cx+9}+dx=(d-2)x+\frac{c}{4}+o(1)$. Để giới hạn này hữu hạn (để tổng hai giới hạn bằng $\frac{7}{4}$) thì phải có $d=2$, khi đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\frac{c}{4}$.

Điều kiện đã cho: $\frac{c}{4}+1=\frac{7}{4}\Rightarrow c=3$. Vậy $d=2$, $c=3$.

**Liên tục tại $x=3$:** Giá trị trái: $f(3)=\sqrt{36-9+9}+3\cdot 2=6+6=12$.

Giá trị phải: hàm số liên tục tại $x=3$ (bên phải) đòi hỏi $x=3$ là nghiệm của tử số $x^2+ax+b$, tức $9+3a+b=0$, và
$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x+a}{2x}=\frac{6+a}{6}.$$

Liên tục tại $x=3$: $\frac{6+a}{6}=12\Rightarrow a=66$; suy ra $b=-9-3a=-9-198=-207$.

**Tổng:** $a+b+c+d=66+(-207)+3+2=-136$.

Kiểm tra lại: với $a=66,b=-207$: $x^2+66x-207=(x-3)(x+69)$, nên $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=\frac{x+69}{x+9}{|}_{x=3}=\frac{72}{12}=6$... xét lại: $\frac{(x-3)(x+69)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+69}{x+3}\to \frac{72}{6}=12$. ✓. Tổng hai giới hạn: $\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$. ✓.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $a+b+c+d=-136$.

Xét hàm số $g(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[0;1-\frac{1}{n}\right]$. Xét tổng sau: $$\sum _{k=0}^{n-1}g\left(\frac{k}{n}\right)$$ Suy ra $S=f(1)-f(0)=0$

Giả sử rằng $g(x)\ne 0$ với mọi $x\in \left[0;1-\frac{1}{n}\right]$

Do $g(x)$ liên tục nên chỉ có thể luôn dương hoặc âm trên đoạn xác định

+ Nếu $g(x)>0$ thì:

$$\sum _{k=0}^{n-1}g\left(\frac{k}{n}\right)>0$$

Mâu thuẫn vì $S=0$

+ Nếu $g(x)<0$ thì:

$$\sum _{k=0}^{n-1}g\left(\frac{k}{n}\right)<0$$

Mâu thuẫn vì $S=0$

Vì vậy luôn tồn tại ít nhất một điểm $m\in \left[0;1-\frac{1}{n}\right]$ sao cho $g(m)=0$

$\iff f\left(m+\frac{1}{n}\right)=f(m)$ (điều phải chứng minh)

Trước hết, nếu $a=b=0$ thì điều kiện trở thành $f(y^2)=f(x^2)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$.
Để ý hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ khác hằng sau thoả mãn: $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x⩾0,\\ 1,& x<0.\end{array}$
Vậy $(a,b)=(0,0)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta chứng minh mọi trường hợp còn lại đều buộc $f$ là hàm hằng.
Nếu $a=0$ và $b\ne 0$ thì $f(y^2)=f(b{y}^3+x^2)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$.
Thay $y=0$ cho ta $f(x^2)=0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ hay $f(x)=0$ với mọi $x\ge 0$.
Do đó $f(b{y}^3+x^2)=0$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$, thay $x=0$ thì $f(b{y}^3)=0,\forall y\in \mathbb{R}$, và vì $b\ne 0$ nên $f(x)=0$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Cuối cùng, giả sử $ab\ne 0$. Lấy $u,v\in \mathbb{R}$ bất kì, ta sẽ chứng minh hệ phương trình sau có nghiệm $(x,y)$:
$$\{\begin{array}{l}a{x}^3+y^2=u\\ b{y}^3+x^2=v\end{array}$$
Ta có $x=\sqrt[3]{\frac{u-y^2}{a}}$, nên $b{y}^3+\sqrt[3]{\frac{(u-y^2{)}^2}{a^2}}=v$.
Xét hàm $g(t)=b{t}^3+\sqrt[3]{\frac{(u-t^2{)}^2}{a^2}}$ trên $\mathbb{R}$, ta sẽ chứng minh $g$ là toàn ánh trên $\mathbb{R}$.
Để ý $g$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, và khi $x\to +\infty$ thì $g$ cùng dấu với $b$, và khi $x\to -\infty$ thì $g$ ngược dấu với $b$, do đó theo định lý giá trị trung gian suy ra được $g$ là toàn ánh trên $\mathbb{R}$.
Vì vậy phương trình $g(y)=v$ luôn có nghiệm $y\in \mathbb{R}$, do đó hệ phương trình trên có nghiệm $(x,y)$.
Từ đó ta suy ra được $f(u)=f(v)$ với mọi $u,v\in \mathbb{R}$ nên $f$ là hàm hằng.
Vậy tồn tại duy nhất cặp số thực $(a,b)=(0,0)$ để tồn tại hàm $f$ khác hằng.