Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2+x-6}{x-2}=\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}=x+3$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=5$. Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi $f(2)={\lim }_{x\to 2}f(x)$, tức $a^2+a+1=5\iff a^2+a-4=0$. Phương trình này có $\Delta =1+16=17>0$ nên có 2 nghiệm thực phân biệt. Vậy có 2 giá trị của $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2$, $y=\sin x$, $y=\cos x$ đều liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm $y=\tan x$ có tập xác định $D=\{x\in \mathbb{R}:x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy có 3 hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>4$: $f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}=x+4$ (vì $x\ne 4$), là hàm đa thức nên liên tục trên $(4;+\infty )$. Với $x<4$: $f(x)=mx+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty ;4)$. Vậy $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f$ liên tục tại $x=4$.
Ta có:
- $f(4)=4m+1$.
- ${\lim }_{x\to 4^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 4^{-}}(mx+1)=4m+1$.
- ${\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 4^{+}}(x+4)=8$.
Hàm liên tục tại $x=4$ khi và chỉ khi $4m+1=8\iff m=\frac{7}{4}$.
Vậy $m=\frac{7}{4}$ là giá trị cần tìm.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$. Xét tính liên tục tại $x=1$.

Với $x\ne 1$, ta có $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Giới hạn trái: với $x<1$ thì $|x-1|=1-x=-(x-1)$, nên
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{-(x-1)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(2-x)=1.$$

Giới hạn phải: với $x>1$ thì $|x-1|=x-1$, nên
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x-2)=-1.$$

Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1\ne -1={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số gián đoạn tại $x=1$ với mọi giá trị của $m$ (kể cả khi $m=1$ hay $m=-1$ thì cũng chỉ có một giới hạn một bên bằng $f(1)$).

Với mọi $x_0\ne 1$, hàm $f$ là hàm phân thức (trên miền không đổi dấu của $|x-1|$) liên tục tại $x_0$.

Kết luận: Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, đồng thời gián đoạn tại $x=1$ (gián đoạn loại I, dạng nhảy) với mọi $m$; không tồn tại $m$ để hàm số liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>-2$: $f(x)=\frac{x^2+5x+6}{x+2}=\frac{(x+2)(x+3)}{x+2}=x+3$, nên ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=-2+3=1$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ tại $x=-2$ nên ${\lim }_{x\to -2^{-}}f(x)=m(-2)+n=1$, suy ra $-2m+n=1\Rightarrow m=\frac{n-1}{2}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 18.

a) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3x^2-5x+2}{x-1},& x\ne 1\\ 1,& x=1\end{array}$ xét tại $x=1$.

• $f(1)=1$.
• Với $x\ne 1$: $3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1)$, nên
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(3x-2)(x-1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(3x-2)=1.$$
• Vì ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1=f(1)$ nên $f$ liên tục tại $x=1$.

b) $f(x)=\{\begin{array}{ll}6x+5,& x\ge -1\\ 3-x,& x<-1\end{array}$ xét tại $x=-1$.

• $f(-1)=6(-1)+5=-1$.
• ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}(6x+5)=-1$.
• ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}(3-x)=3-(-1)=4$.
• Vì ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}f(x)=4\ne -1={\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}f(x)$ nên giới hạn ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại, do đó $f$ không liên tục tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định trên $\mathbb{R}$. Với mọi $x_0\in \mathbb{R}$, ta có ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=x_0^3-x_0^2+8x_0=f(x_0)$. Vậy $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$, xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$, tức tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$. Hàm số là phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng của tập xác định, tức liên tục trên mọi $x\in D$. Tại $x=0$ và $x=3$ hàm số không xác định nên không liên tục tại đó. Vậy $f$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$.

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$, xác định khi $x\ne -1$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Với mọi $x_0\ne -1$, do $\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và mẫu số khác $0$ tại $x_0$, ta có ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\frac{\sin x_0+1}{x_0+1}=f(x_0)$. Vậy $f$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ (không liên tục tại $x=-1$ vì hàm không xác định tại đó).

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$, xác định khi $x-2\ge 0$, tức $D=[2;+\infty )$. Với mọi $x_0>2$, ${\lim }_{x\to x_0}\sqrt{x-2}=\sqrt{x_0-2}=f(x_0)$ nên $f$ liên tục tại $x_0$. Tại $x_0=2$ (điểm trái của miền xác định), xét giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$, nên $f$ liên tục tại $x=2$. Vậy $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $g(x)=\frac{2}{x-1}$ là hàm phân thức liên tục trên tập xác định; tại $x_0=2$ ta có $g(2)=\frac{2}{2-1}=2$ tồn tại và ${\lim }_{x\to 2}g(x)=2=g(2)$, nên $g(x)$ liên tục tại $x_0=2$. → Đúng.

b) Với $x\ne 2$: ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x+2)=4$. → Đúng.

c) Vì ${\lim }_{x\to 2}f(x)=4\ne 4,5=f(2)$, nên $f(x)$ không liên tục tại $x_0=2$. → Sai.

d) Tại $x_0=2$: $f$ liên tục (nhờ định nghĩa lại $f(2)=4,5$ làm hàm liên tục tại 2), $g$ liên tục và $g(2)=2\ne 0$, nên $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0=2$ với $y(2)=\frac{4,5}{2}=2,25$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(2)=2$ và ${\lim }_{x\to 2}g(x)=2=g(2)$ nên $g(x)$ liên tục tại $x_0=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x+2)=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2}f(x)=4\ne 4,5=f(2)$ nên $f(x)$ không liên tục tại $x_0=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ liên tục tại 2 (do $f(2)=4,5$ được định nghĩa phù hợp), $g$ liên tục tại 2 và $g(2)=2\ne 0$, nên thương $\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 18.

a) Xét tại $x=1$.
- $f(1)=1$.
- Với $x\ne 1$: $3x^2-5x+2=(x-1)(3x-2)$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(3x-2)}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(3x-2)=1$.
- Vì ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)=1$ nên hàm số liên tục tại $x=1$.

b) Xét tại $x=-1$.
- $f(-1)=6(-1)+5=-1$.
- ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}(6x+5)=-1$; ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}(3-x)=3-(-1)=4$.
- Vì ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}f(x)\ne {\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}f(x)$ nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số không liên tục tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định trên toàn trục thực nên $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$ xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$. Trên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$, hàm là thương của các hàm liên tục với mẫu khác 0 nên liên tục trên từng khoảng. Tại $x=0$: với $x\ne 0$, $f(x)=\frac{x}{x-3}$ nên ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$ (gián đoạn khắc phục được); tại $x=3$: ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=-\infty$, ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=+\infty$. Vậy $f$ liên tục trên $(-\infty ;0)$, $(0;3)$, $(3;+\infty )$ và không liên tục tại $x=0$, $x=3$.

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Trên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ hàm liên tục (thương của các hàm liên tục, mẫu khác 0). Tại $x=-1$ hàm không xác định. Chú ý $\sin (-1)+1\approx 0,1585\ne 0$ (tử dương), còn mẫu $x+1$ đổi dấu qua $x=-1$, nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=+\infty$. Vậy $f$ liên tục trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, gián đoạn tại $x=-1$ (gián đoạn vô cực, không khắc phục được).

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$ xác định khi $x\ge 2$. Hàm căn là hàm liên tục trên tập xác định nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$. Riêng tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$, tức $f$ liên tục phải tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=-2$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị của hàm tại điểm đó.

- Giá trị tại $x=-2$: $g(-2)=6(-2)+a=-12+a$.
- Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to -2^{-}}g(x)={\lim }_{x\to -2^{-}}(6x+a)=-12+a$.
- Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -2^{+}}g(x)={\lim }_{x\to -2^{+}}\left(2x^2-\sqrt{2+x}\right)=2(-2{)}^2-\sqrt{2+(-2)}=8-0=8$.

Để hàm số liên tục tại $x=-2$ ta cần $-12+a=8\Rightarrow a=20$.

Vậy $a=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{11}{x}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, không xác định tại $x=0$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Các hàm $y=7x+5$, $y=\sin x$, $y=x^2+2025$ đều liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 18.

a) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3x^2-5x+2}{x-1},& x\ne 1\\ 1,& x=1\end{array}$ xét tại $x=1$.

- $f(1)=1$.
- Với $x\ne 1$: $3x^2-5x+2=(x-1)(3x-2)$, nên
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(3x-2)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(3x-2)=1.$$
- Vì ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)=1$ nên $f$ liên tục tại $x=1$.

b) $f(x)=\{\begin{array}{ll}6x+5,& x\ge -1\\ 3-x,& x<-1\end{array}$ xét tại $x=-1$.

- $f(-1)=6(-1)+5=-1$.
- ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}(6x+5)=-1$.
- ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}(3-x)=3-(-1)=4$.
- Vì giới hạn trái $4\ne -1$ = giới hạn phải, nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại, do đó $f$ không liên tục tại $x=-1$ (gián đoạn tại $x=-1$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định trên toàn trục thực $\mathbb{R}$. Mọi hàm đa thức liên tục trên tập xác định của nó, nên $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ (tại mọi $x_0\in \mathbb{R}$, ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=x_0^3-x_0^2+8x_0=f(x_0)$).

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$ xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$, tức tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$. Trên $D$, hàm là thương của các hàm liên tục với mẫu khác 0 nên liên tục tại mọi điểm của $D$. Tại $x=0$ và $x=3$ hàm không xác định nên không liên tục. Cụ thể: ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x-3}=0$ (không tồn tại $f(0)$); ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\infty$ (vì $x^2-3x\to 0$). Vậy hàm liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$ và gián đoạn tại $x=0$, $x=3$.

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Trên $D$, tử số $\sin x+1$ và mẫu $x+1$ đều liên tục và mẫu khác 0, nên $f$ liên tục tại mọi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: xét ${\lim }_{x\to -1}f(x)={\lim }_{x\to -1}\frac{\sin x+1}{x+1}$. Đặt $t=x+1\to 0$, khi đó $\sin x+1=1+\sin (t-1)$. Ta có $1+\sin (t-1)=1+\sin (-1)\cos t+\cos (-1)\sin t$, nên ${\lim }_{t\to 0}\frac{1+\sin (t-1)}{t}={\lim }_{t\to 0}\left(\frac{1+\sin (-1)\cos t}{t}+\cos 1\cdot \frac{\sin t}{t}\right)$. Vì $1+\sin (-1)\approx 1-0,84=0,16\ne 0$, số hạng $\frac{1+\sin (-1)\cos t}{t}\to \infty$ (không có giới hạn hữu hạn). Vậy ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại (bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$ tùy phía), hàm gián đoạn tại $x=-1$. Kết luận: $f$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, gián đoạn tại $x=-1$.

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$ xác định khi $x-2\ge 0$, tức $D=[2;+\infty )$. Hàm $\sqrt{u}$ liên tục trên $[0;+\infty )$ và $u=x-2$ liên tục, nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$. Kiểm tra tại biên $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$, nên $f$ liên tục (bên phải) tại $x=2$. Vậy $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 18.

a) Với $x\ne 1$: $3x^2-5x+2=(x-1)(3x-2)$, nên với $x\ne 1$ ta có $f(x)=\frac{(x-1)(3x-2)}{x-1}=3x-2$. Do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }(3x-2)=1$. Mặt khác $f(1)=1$. Vì $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=1$ nên hàm số liên tục tại $x=1$.

b) Ta có $\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }(6x+5)=-1$ và $\underset{x\to (-1{)}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to (-1{)}^{-}}{\lim }(3-x)=3-(-1)=4$. Vì $\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to (-1{)}^{-}}{\lim }f(x)$ nên $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)$ không tồn tại, suy ra hàm số không liên tục tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định và liên tục trên toàn trục thực $\mathbb{R}$. Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$ xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$. Trên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$, hàm số là hàm phân số hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng của $D$. Tại $x=0$ và $x=3$: ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x-3}=0$ (hàm không xác định tại $x=0$ nên gián đoạn tại đó); ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2}{x(x-3)}=\infty$ (gián đoạn vô cực tại $x=3$). Vậy hàm liên tục trên $(-\infty ;0)$, $(0;3)$ và $(3;+\infty )$.

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{\sin x+1}{x+1}$; mẫu số tiến về $0$ trong khi tử số tiến về $\sin (-1)+1\approx 0,158\ne 0$, nên giới hạn này là $+\infty$ hoặc $-\infty$ (không tồn tại hữu hạn). Vậy hàm số gián đoạn tại $x=-1$ và liên tục trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$ xác định khi $x-2\ge 0$, tức $x\ge 2$, tập xác định $D=[2;+\infty )$. Hàm $\sqrt{u}$ liên tục trên $[0;+\infty )$ và $u=x-2$ liên tục, nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$ (tại $x=2$ hàm liên tục bên phải vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$). Vậy hàm số liên tục trên $[2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 24: 'Hàm số nào sau đây không liên tục tại x = 2?' A) y = √(x+2) liên tục tại x = 2 vì 2 thuộc miền xác định x ≥ −2. B) y = sin x liên tục trên ℝ. C) y = x²/(x−2) không xác định tại x = 2 (mẫu số bằng 0), nên không liên tục tại x = 2. D) y = x² − 3x + 2 là đa thức, liên tục trên ℝ. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 25: Hàm số f(x) = ax² + bx − 5 khi x ≤ 1; f(x) = 2ax − 3b khi x > 1 liên tục tại x = 1. Ta có f(1) = a + b − 5 và lim_{x→1⁺} f(x) = 2a − 3b. Điều kiện liên tục: a + b − 5 = 2a − 3b ⟺ a − 4b = −5. Vậy P = a − 4b = −5, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 18.

a) $f(x)=\frac{3x^2-5x+2}{x-1}$ khi $x\ne 1$; $f(1)=1$.

Phân tích: $3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1)$.

Với $x\ne 1$: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(3x-2)(x-1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(3x-2)=1$.

Vì $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=1=f(1)$ nên hàm số liên tục tại $x=1$.

b) $f(x)=6x+5$ khi $x\ge -1$; $f(x)=3-x$ khi $x<-1$.

- $\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }(6x+5)=-1$.
- $\underset{x\to (-1{)}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to (-1{)}^{-}}{\lim }(3-x)=4$.

Vì giới hạn trái $\ne$ giới hạn phải nên $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số không liên tục tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định và liên tục trên toàn trục thực $\mathbb{R}$. Vậy $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$, xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$. Trên các khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;3)$, $(3;+\infty )$ hàm số là thương của các hàm liên tục (mẫu khác 0) nên liên tục. Tại $x=0$ và $x=3$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{x(x-3)}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x-3}=0$, ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2}{x(x-3)}={\lim }_{x\to 3}\frac{x}{x-3}=\infty$. Vậy $f(x)$ liên tục trên từng khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;3)$, $(3;+\infty )$; không liên tục tại $x=0$ và $x=3$ (các điểm này không thuộc tập xác định).

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$, xác định khi $x\ne -1$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ hàm liên tục (tử, mẫu liên tục, mẫu khác 0). Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{\sin x+1}{x+1}$. Ta có $\sin (-1)+1\approx 0,1585\ne 0$ nên giới hạn này vô cực (bên trái $+\infty$, bên phải $-\infty$), không tồn tại hữu hạn. Vậy $f(x)$ liên tục trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không liên tục tại $x=-1$.

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$, tập xác định $D=[2;+\infty )$. Hàm $\sqrt{u}$ liên tục trên $[0;+\infty )$ nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$. Cụ thể: với mọi $x_0>2$, ${\lim }_{x\to x_0}\sqrt{x-2}=\sqrt{x_0-2}=f(x_0)$; tại $x_0=2$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$. Vậy $f(x)$ liên tục trên nửa khoảng $[2;+\infty )$.