Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính liên tục tại $x=2$ của từng hàm số:
- $y=\sqrt{x+2}$: liên tục tại $x=2$ vì ${\lim }_{x\to 2}\sqrt{x+2}=\sqrt{4}=2=f(2)$.
- $y=\sin x$: hàm số lượng giác liên tục trên $\mathbb{R}$, nên liên tục tại $x=2$.
- $y=\frac{x^2}{x-2}$: tại $x=2$ mẫu số bằng $0$ nên hàm không xác định tại $x=2$, do đó không liên tục tại $x=2$.
- $y=x^2-3x+2$: hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$, nên liên tục tại $x=2$.
Vậy hàm số không liên tục tại $x=2$ là $y=\frac{x^2}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$.

Ta có:
- ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a(1{)}^2+b(1)-5=a+b-5$
- ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2a(1)-3b=2a-3b$

Suy ra $a+b-5=2a-3b\Rightarrow a-4b=-5$.

Vậy $P=a-4b=-5$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x+3}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$. Tại $x=2$ mẫu số bằng 0 nên hàm không xác định, do đó hàm gián đoạn tại $x=2$. Do đó: A sai vì khoảng $(1;5)$ chứa $x=2$ nên hàm không liên tục trên khoảng này; B sai vì $x=2020\ne 2$, hàm liên tục tại đó; C sai vì hàm không xác định tại $x=2$; D đúng. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$ vì $\sqrt{x}-m$ liên tục với $x\ge 0$ và $mx+1$ liên tục với $x<0$. Chỉ cần xét tính liên tục tại $x=0$: giới hạn trái ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=m\cdot 0+1=1$; giới hạn phải ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=\sqrt{0}-m=-m$; giá trị $f(0)=-m$. Để liên tục tại $x=0$ cần $-m=1$, tức $m=-1$. Vậy $m=-1$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét đồ thị tại $x=1$: Hình A là đường thẳng liên tục đi qua điểm $(1;1)$. Hình C là parabol liên tục tại $x=1$ (giá trị 1). Hình D là đồ thị dạng $|x|$ liên tục tại $x=1$ (giá trị 1). Hình B có hai nhánh rời nhau tại $x=1$: nhánh thứ nhất kết thúc tại điểm có tung độ 1 (điểm không thuộc đồ thị) và nhánh thứ hai bắt đầu từ dưới trục hoành, tức giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$ khác nhau (gián đoạn loại nhảy). Vậy đồ thị không liên tục tại $x=1$ là hình B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số tại $x_0=1$:
- A: $y=\frac{2x}{x^2-3x+2}$ có mẫu $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$ tại $x=1$, hàm không xác định tại $x=1$ nên không liên tục.
- B: $y=2x+\sqrt{x-4}$ chỉ xác định khi $x\ge 4$, không xác định tại $x=1$ nên không liên tục.
- C: Với $x\ne 1$, ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2=f(1)$. Giới hạn bằng giá trị tại điểm nên hàm liên tục tại $x=1$.
- D: ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}\ne 2=f(1)$, nên không liên tục.
Vậy hàm liên tục tại $x_0=1$ là hàm ở phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(-1)=m(-1)+1=1-m$.

Tính giới hạn phải: $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{2x+3}-1}{3x^2-x-4}$. Đây là dạng $\frac{0}{0}$ vì tại $x=-1$: tử $=\sqrt{1}-1=0$, mẫu $=3+1-4=0$.

Rút gọn:
$$\sqrt{2x+3}-1=\frac{(2x+3)-1}{\sqrt{2x+3}+1}=\frac{2(x+1)}{\sqrt{2x+3}+1},$$
và $3x^2-x-4=(x+1)(3x-4)$.
Do đó:
$$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{2x+3}-1}{3x^2-x-4}=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2(x+1)}{(x+1)(3x-4)\left(\sqrt{2x+3}+1\right)}=\frac{2}{(3(-1)-4)(1+1)}=\frac{2}{-14}=-\frac{1}{7}.$$

Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=f(-1)$:
$$1-m=-\frac{1}{7}\Rightarrow m=1+\frac{1}{7}=\frac{8}{7}.$$

Vậy $m=\frac{8}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Hàm nhiệt độ $T(t)=\{\begin{array}{ll}20+3t& 0\le t\le 70\\ 370-2t& 70<t\le 120\end{array}$ (trong đề, ý b), c) viết $v(t)$, hiểu là chính hàm $T(t)$).
a) $T(1)=20+3\cdot 1=23$ → đúng.
b) ${\lim }_{t\to 70^{+}}T(t)={\lim }_{t\to 70^{+}}(370-2t)=370-140=230\ne 210$ → sai.
c) $T(70)=20+3\cdot 70=230$ và ${\lim }_{t\to 70^{+}}T(t)=230$, nên ${\lim }_{t\to 70}T(t)=T(70)=230$: hàm số liên tục tại $t=70$ → sai.
d) Nhiệt độ bằng 170°C: với $0\le t\le 70$: $20+3t=170\Rightarrow t=50$ (thỏa); với $70<t\le 120$: $370-2t=170\Rightarrow t=100$ (thỏa). Vậy có hai thời điểm $t=50$ và $t=100$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$T(1)=20+3\cdot 1=23$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{t\to 70^{+}}T(t)=370-2\cdot 70=230\ne 210$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$T(70)=230={\lim }_{t\to 70^{+}}T(t)$, hàm liên tục tại $t=70$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$20+3t=170\Rightarrow t=50$ và $370-2t=170\Rightarrow t=100$, hai thời điểm, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(2)=2+1=3$. Với $x>2$: $\frac{2x^2-5x+2}{x-2}=\frac{(2x-1)(x-2)}{x-2}=2x-1$, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=2\cdot 2-1=3$. Với $x\le 2$: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=2+1=3$. Vì $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=f(2)=3$ nên hàm số liên tục tại $x_0=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại điểm đó. Ta có: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+m)=m$; ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+x+1)=1$; và $f(0)=0^2+0+1=1$. Để hàm số liên tục tại $x_0=0$ thì $m=1$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 6789, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải và bằng giá trị tại điểm đó. Ta có ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+2m)=2m$; ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+x+1)=1=f(0)$. Để hàm số liên tục tại $x_0=0$ thì $2m=1\iff m=\frac{1}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 4567, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại điểm đó. Ta có ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+m)=m$ và ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+x+1)=0^2+0+1=1=f(0)$. Để hàm số liên tục tại $x_0=0$ thì $m=1$. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án đã cho (mã đề 2345, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải và bằng giá trị tại điểm đó. Ta có: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+2m)=2m$; ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+x+1)=1$; và $f(0)=1$. Điều kiện liên tục: $2m=1\iff m=\frac{1}{2}$. Kết quả trùng với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 0123).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $x<1$ hàm số là parabol nhánh hướng lên, tại $x=1$ nhánh bên trái đạt giá trị $3$ (điểm kết thúc). Với $x\ge 1$ (hoặc $x>1$) đồ thị là đoạn thẳng/đường thẳng đi qua điểm có tung độ thấp hơn (khoảng $1$ tại $x=2$). Tại $x=1$ giá trị bên trái là $3$ còn nhánh bên phải cho giá trị khác $3$, tức giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$ không bằng nhau nên hàm số không liên tục tại $x=1$. Các điểm $x=0,2,3$ đồ thị liên tục. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo định nghĩa, f(3)=-1 nên đúng. b) Với x≠3: f(x)=((x-2)(x-3))/((x-3)(x-4))=(x-2)/(x-4), do đó lim_{x→3} f(x)=(3-2)/(3-4)=-1 nên đúng. c) Vì lim_{x→3} f(x)=-1=f(3) nên f liên tục tại x=3, đúng. d) f(x) không xác định tại x=4 (mẫu số bằng 0) nên không liên tục trên ℝ, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hàm số, f(3)=-1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x≠3, f(x)=((x-2)(x-3))/((x-3)(x-4))=(x-2)/(x-4), nên lim_{x→3} f(x)=(3-2)/(3-4)=-1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì lim_{x→3} f(x)=-1=f(3) nên f liên tục tại x=3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại x=4 mẫu số bằng 0 nên f không xác định, do đó không liên tục trên ℝ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ nên giới hạn trái bằng giới hạn phải và bằng $f(1)$.
Ta có $f(1)=a+b-4$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2a-2b$.
Suy ra $a+b-4=2a-2b\Rightarrow a-3b=-4$.
Vậy $P=a-3b=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x≤4, f(x)=2x−4 nên f(4)=2·4−4=4. Đúng.
b) Với x→4⁺: lim (4−√(3x+4))/(4−x). Nhân liên hợp: (16−(3x+4))/((4−x)(4+√(3x+4))) = 3(4−x)/((4−x)(4+√(3x+4))) → 3/(4+4)=3/8 ≠ 4. Sai.
c) lim x→4⁻ f(x)=4, lim x→4⁺ f(x)=3/8, hai giới hạn một bên khác nhau nên f không liên tục tại x=4. Sai.
d) Khi x→−∞ thì x≤4 nên f(x)=2x−4. Khi đó f²(x)−2f(x) = (2x−4)²−2(2x−4) = 4x²−20x+24. Do đó lim (4x²−20x+24)/(x²−5x+12) = 4. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(4)=2·4−4=4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp được giới hạn bằng 3/8, không phải 4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái bằng 4, giới hạn phải bằng 3/8, nên không liên tục tại x=4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x→−∞, f(x)=2x−4, tử số thành 4x²−20x+24, giới hạn bằng 4.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính liên tục tại $x_0$ bằng cách so sánh ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ với $f(x_0)$.

a) Với $x\ne 5$: $f(x)=\frac{x^2-25}{x-5}=x+5$, nên ${\lim }_{x\to 5}f(x)=10$. Mà $f(5)=9\ne 10$, suy ra hàm số gián đoạn tại $x_0=5$.

b) Nhân liên hợp: $\frac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}=\frac{1-(2x-3)}{(2-x)(1+\sqrt{2x-3})}=\frac{4-2x}{(2-x)(1+\sqrt{2x-3})}=\frac{2}{1+\sqrt{2x-3}}$. Vậy ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{2}{1+1}=1=f(2)$, hàm số liên tục tại $x_0=2$.

c) Đặt $t=\sqrt[3]{3x+2}$, khi $x\to 2$ thì $t\to 2$; từ $t^3=3x+2$ suy ra $t^3-8=3(x-2)$, tức $x-2=\frac{t^3-8}{3}$. Do đó ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{t\to 2}\frac{t-2}{\frac{t^3-8}{3}}={\lim }_{t\to 2}\frac{3(t-2)}{(t-2)(t^2+2t+4)}={\lim }_{t\to 2}\frac{3}{t^2+2t+4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Mà $f(2)=\frac{3}{4}\ne \frac{1}{4}$, hàm số gián đoạn tại $x_0=2$.

d) $f(-1)=(-1{)}^4+(-1{)}^2-1=1$. Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}(x^4+x^2-1)=1$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}(3x+2)=3(-1)+2=-1$. Vì $1\ne -1$, hai giới hạn một bên không bằng nhau nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại, suy ra hàm số gián đoạn tại $x_0=-1$.