Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 120.

a) $f(x)=\frac{x}{x^2+5x+6}=\frac{x}{(x+2)(x+3)}$. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-2;-3\}$. Trên $D$, mẫu khác 0 nên $f$ là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục tại mọi điểm của $D$. Vậy $f$ liên tục trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-3;-2\}$.

b) Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Trên $(-\infty ;1)$, $f(x)=1+x^2$ là hàm đa thức nên liên tục; trên $[1;+\infty )$, $f(x)=4-x$ là hàm đa thức nên liên tục. Chỉ cần xét tại $x=1$:
- ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(1+x^2)=2$.
- ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(4-x)=3$.
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên $f$ gián đoạn tại $x=1$.
Kết luận: $f$ liên tục trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, gián đoạn tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: D = ℝ (vì với x ≠ 3 hàm đã cho, còn tại x = 3 có f(3) = 4).

Với x ≠ 3: f(x) = (x² − 2x − 3)/(x − 3) = ((x − 3)(x + 1))/(x − 3) = x + 1, là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng không chứa 3, tức liên tục tại mọi x ≠ 3.

Xét tại x = 3:
$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=\underset{x\to 3}{\lim }(x+1)=4=f(3).$$
Vậy f liên tục tại x = 3.

Kết luận: hàm số liên tục trên toàn tập xác định D = ℝ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên từng khoảng $(-\infty ,1]$ và $(1,+\infty )$. Chỉ cần xét tính liên tục tại $x=1$.

Giới hạn bên trái: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+a)=2+a$.

Giới hạn bên phải: với $x>1$ ta có
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x^2+2)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x^2+2)=3.$$

Hàm liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $f(1)=2+a=3$, suy ra $a=1$.

Vậy $a=1$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x^3-x}=\frac{2x-1}{x(x-1)(x+1)}$ xác định khi $x\ne -1,0,1$. Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên mọi điểm trong tập xác định của nó. Xét các đáp án: tại $x=-1$, $x=0$, $x=1$ hàm số không xác định nên không liên tục tại các điểm đó. Tại $x=\frac{1}{2}$, hàm số xác định vì $\frac{1}{2}\ne -1,0,1$ và $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{0}{\frac{1}{8}-\frac{1}{2}}=0$, hàm liên tục tại đó. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{2x-1}{x+1}$ không xác định tại $x=-1$ (mẫu bằng 0), nên gián đoạn tại $x_0=-1$. Các hàm còn lại: A và D là hàm đa thức/phân thức có mẫu $x^2+1\ne 0$ với mọi $x$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$; C chỉ gián đoạn tại $x=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$, nhân liên hợp: $\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{\sqrt{x+2}-2}=\sqrt{x+2}+2$. Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\sqrt{4}+2=4=f(2)$, nên hàm số liên tục tại $x=2$ (A đúng, B sai, D sai vì giới hạn bằng 4 chứ không phải 2). Với C: $f(4)=\frac{2}{\sqrt{6}-2}\ne 2$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$. Với $x\ne 1$: $\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1+1+1=3$. Để liên tục tại $x=1$ cần $f(1)=3$, tức $2m+1=3\iff m=1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại điểm đó. Ta có $f(-1)=(-1{)}^2+3(-1)+2=1-3+2=0$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -1^{+}}(4x+a)=-4+a$. Để liên tục: $-4+a=0\Rightarrow a=4$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)$. Với $x\ne 1$: $x^3-x^2+2x-2=x^2(x-1)+2(x-1)=(x-1)(x^2+2)$, nên $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+2)=3$. Mặt khác $f(1)=3+m$. Điều kiện liên tục: $3+m=3\Rightarrow m=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$ nên theo định nghĩa tính liên tục, $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)$. Theo giả thiết $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=5$, suy ra $f(1)=5$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x→-2⁺ dùng nhánh f(x)=x+1: lim = -2+1 = -1. Đúng.
b) Giới hạn phải bằng -1. Để hàm có giới hạn tại x=-2, giới hạn trái lim_{x→-2⁻}(x²+ax+b)/(x²-4) phải tồn tại hữu hạn, đòi hỏi tử triệt tiêu tại x=-2: 4-2a+b=0 ⇒ b=2a-4. Khi đó giới hạn trái = lim (2x+a)/(2x) = (-4+a)/(-4) = (4-a)/4. Để bằng -1: (4-a)/4=-1 ⇒ a=8, b=12. Kiểm tra 3a-b=24-12=12. Đúng.
c) f(-2)=-2+1=-1≠1. Sai.
d) Với a=2, b=0: (x²+2x)/(x²-4)=x/(x-2) (x<-2), giới hạn trái = -2/(-4)=1/2 ≠ -1, nên không có giới hạn tại x=-2, do đó không liên tục tại x=-2. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì x→-2⁺ nên dùng nhánh f(x)=x+1: lim_{x→-2^+} f(x) = -2+1 = -1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái tồn tại đòi hỏi 4-2a+b=0 (b=2a-4); giới hạn trái = (4-a)/4 = -1 ⇒ a=8, b=12, nên 3a-b=12.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(-2) = -2+1 = -1, không bằng 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với a=2, b=0, giới hạn trái bằng 1/2 khác giới hạn phải -1, nên hàm số không liên tục tại x=-2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hàm số liên tục, tại $x=0,5$: $b\cdot 0,5+3,25=10\Rightarrow 0,5b=6,75\Rightarrow b=13,5$. Tại $x=30$: $30c+78,25=30b+3,25=30(13,5)+3,25=408,25\Rightarrow 30c=330\Rightarrow c=11$. Giá mở cửa $a=10$ (nghìn đồng). Vậy $T=a+b+c=10+13,5+11=34,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=1$: $a+(1-1)\cdot 14000=15000\Rightarrow a=15000$. Tại $x=20$: $b+(20-20)\cdot 12000=a+19\cdot 14000=15000+266000=281000\Rightarrow b=281000$. Vậy $\frac{b}{a}=\frac{281000}{15000}\approx 18,\mathrm{733...}\approx 18,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 3$: $f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-3}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-3}=x-1$. Suy ra $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=3-1=2$. Hàm số liên tục tại $x=3$ khi và chỉ khi $f(3)=\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$, tức $m=2$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x>1, (x²-3x+2)/(x-1) xác định vì x≠1; với x≤1, đa thức xác định. Vậy tập xác định là ℝ → Đúng.
b) Theo định nghĩa, tại x=1 dùng nhánh x≤1: f(1)=m²·1³-2026=m²-2026 → Đúng.
c) Với x>1: f(x)=(x²-3x+2)/(x-1)=((x-1)(x-2))/(x-1)=x-2, nên lim_{x→1⁺} f(x)=1-2=-1≠1 → Sai.
d) Hàm số liên tục tại x=1 khi và chỉ khi lim_{x→1⁻}f(x)=lim_{x→1⁺}f(x)=f(1), tức m²-2026=-1 ⟺ m²=2025 ⟺ m=±45. Trong (-50;50) có 99 số nguyên, loại 2 giá trị m=±45 nên có 97 giá trị nguyên của m để hàm số gián đoạn tại x=1, không phải 99 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai nhánh đều xác định tại mọi x (nhánh phân thức có mẫu x-1≠0 khi x>1), nên D=f(x)=ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
x=1 thuộc nhánh x≤1 nên f(1)=m²-2026.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với x>1, f(x)=x-2 nên lim_{x→1⁺}f(x)=-1, không phải 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Gián đoạn tại x=1 khi m²-2026≠-1, tức m≠±45. Có 99-2=97 giá trị nguyên m∈(-50;50) thỏa mãn, không phải 99.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne -6$: $-x^2-10x-24=-(x+4)(x+6)$ và $-3x-18=-3(x+6)$, nên $f(x)=\frac{x+4}{3}$.

a) Tại $x=-6$ hàm được xác định bằng $5m(-6)-1=-30m-1$; với $x\ne -6$ mẫu $-3x-18\ne 0$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$. → Đúng.

b) ${\lim }_{x\to -6}f(x)=\frac{-6+4}{3}=-\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$. → Sai.

c) Theo định nghĩa, $f(-6)=5m\cdot (-6)-1=-30m-1$. → Đúng.

d) Hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ khi liên tục tại $x=-6$: $f(-6)={\lim }_{x\to -6}f(x)=-\frac{2}{3}$, tức $-30m-1=-\frac{2}{3}\Rightarrow -30m=\frac{1}{3}\Rightarrow m=-\frac{1}{90}$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định tại $x=-6$ (bằng $-30m-1$) và với $x\ne -6$ mẫu $-3x-18\ne 0$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$. → Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $f(x)=\frac{x+4}{3}$ với $x\ne -6$, nên ${\lim }_{x\to -6}f(x)=-\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$. → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hàm số, $f(-6)=5m\cdot (-6)-1=-30m-1$. → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=-6$ yêu cầu $-30m-1=-\frac{2}{3}\Rightarrow m=-\frac{1}{90}$. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=3$ khi $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=f(3)=3m-3$. Với $x\ne 3$: $\frac{3x^2-27}{2x^2+4x-30}=\frac{3(x-3)(x+3)}{2(x-3)(x+5)}=\frac{3(x+3)}{2(x+5)}$. Suy ra $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=\frac{3\cdot 6}{2\cdot 8}=\frac{18}{16}=\frac{9}{8}$. Do đó $3m-3=\frac{9}{8}\Rightarrow 3m=\frac{33}{8}\Rightarrow m=\frac{11}{8}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 101: Với $x\le 1$, $f(x)=-\frac{x}{2}$ nên $f(1)=-\frac{1}{2}$ → a đúng. Với $x>1$: $\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, do đó ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{-1}{2}\ne \frac{1}{2}$ → b sai. ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\frac{1}{2}$ → c đúng. Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=-\frac{1}{2}$ nên hàm số liên tục tại $x_0=1$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x=1$ thuộc nhánh $x\le 1$ nên $f(1)=-\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 1$, $f(x)=-\frac{x}{2}$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=-\frac{1}{2}$ nên hàm số liên tục tại $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 102: a) Thay trực tiếp $x=2$: ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{4+2-2}{2-1}=4\ne 3$ nên mệnh đề a) SAI. b) Với $x\to 1$, $x\ne 1$: $\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\to 3$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=3$, mệnh đề b) ĐÚNG. c) $f(1)=2a-1$ phụ thuộc $a$, không xác định được bằng 1 với mọi $a$, nên mệnh đề c) SAI. d) Với $a=2$: $f(1)=2\cdot 2-1=3={\lim }_{x\to 1}f(x)$, nên hàm số liên tục tại $x=1$, mệnh đề d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay trực tiếp $x=2$: $\frac{4+2-2}{2-1}=4\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: $\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\to 3$ khi $x\to 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=2a-1$ phụ thuộc tham số $a$, không luôn bằng 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=2$: $f(1)=3={\lim }_{x\to 1}f(x)$ nên hàm liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 131. Xét tính liên tục tại $x=1$.

a) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x+3}{x-1},& x\ne 1\\ -1,& x=1\end{array}$

- $f(1)=-1$ (đã định nghĩa).
- Tính giới hạn: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+3}{x-1}$. Khi $x\to 1^{+}$, mẫu $x-1\to 0^{+}$, tử $x+3\to 4>0$ nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+3}{x-1}=+\infty$. Khi $x\to 1^{-}$, mẫu $x-1\to 0^{-}$, tử dương nên $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x-1}=-\infty$.
- Giới hạn trái và giới hạn phải đều không tồn tại (vô cực), do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ không tồn tại.

Kết luận: $f$ không liên tục tại $x=1$ (điểm $x=1$ là điểm gián đoạn loại hai, có tiệm cận đứng $x=1$).

b) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1},& x\ne 1\\ \frac{1}{4},& x=1\end{array}$

- $f(1)=\frac{1}{4}$.
- Tính giới hạn (dạng $\frac{0}{0}$), nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+3)-4}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.$$
- Vì $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{1}{4}=f(1)$, nên $f$ liên tục tại $x=1$.

Tóm lại: a) không liên tục tại $x=1$; b) liên tục tại $x=1$.