Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>4$: $f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}=x+4$ (vì $x\ne 4$), là hàm đa thức nên liên tục trên $(4;+\infty )$. Với $x<4$: $f(x)=mx+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty ;4)$. Vậy $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f$ liên tục tại $x=4$.
Ta có:
- $f(4)=4m+1$.
- ${\lim }_{x\to 4^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 4^{-}}(mx+1)=4m+1$.
- ${\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 4^{+}}(x+4)=8$.
Hàm liên tục tại $x=4$ khi và chỉ khi $4m+1=8\iff m=\frac{7}{4}$.
Vậy $m=\frac{7}{4}$ là giá trị cần tìm.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$. Xét tính liên tục tại $x=1$.

Với $x\ne 1$, ta có $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Giới hạn trái: với $x<1$ thì $|x-1|=1-x=-(x-1)$, nên
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{-(x-1)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(2-x)=1.$$

Giới hạn phải: với $x>1$ thì $|x-1|=x-1$, nên
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x-2)=-1.$$

Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1\ne -1={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số gián đoạn tại $x=1$ với mọi giá trị của $m$ (kể cả khi $m=1$ hay $m=-1$ thì cũng chỉ có một giới hạn một bên bằng $f(1)$).

Với mọi $x_0\ne 1$, hàm $f$ là hàm phân thức (trên miền không đổi dấu của $|x-1|$) liên tục tại $x_0$.

Kết luận: Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, đồng thời gián đoạn tại $x=1$ (gián đoạn loại I, dạng nhảy) với mọi $m$; không tồn tại $m$ để hàm số liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(-1)=m(-1)+1=1-m$.

Tính giới hạn phải: $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{2x+3}-1}{3x^2-x-4}$. Đây là dạng $\frac{0}{0}$ vì tại $x=-1$: tử $=\sqrt{1}-1=0$, mẫu $=3+1-4=0$.

Rút gọn:
$$\sqrt{2x+3}-1=\frac{(2x+3)-1}{\sqrt{2x+3}+1}=\frac{2(x+1)}{\sqrt{2x+3}+1},$$
và $3x^2-x-4=(x+1)(3x-4)$.
Do đó:
$$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{2x+3}-1}{3x^2-x-4}=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2(x+1)}{(x+1)(3x-4)\left(\sqrt{2x+3}+1\right)}=\frac{2}{(3(-1)-4)(1+1)}=\frac{2}{-14}=-\frac{1}{7}.$$

Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=f(-1)$:
$$1-m=-\frac{1}{7}\Rightarrow m=1+\frac{1}{7}=\frac{8}{7}.$$

Vậy $m=\frac{8}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x≤4, f(x)=2x−4 nên f(4)=2·4−4=4. Đúng.
b) Với x→4⁺: lim (4−√(3x+4))/(4−x). Nhân liên hợp: (16−(3x+4))/((4−x)(4+√(3x+4))) = 3(4−x)/((4−x)(4+√(3x+4))) → 3/(4+4)=3/8 ≠ 4. Sai.
c) lim x→4⁻ f(x)=4, lim x→4⁺ f(x)=3/8, hai giới hạn một bên khác nhau nên f không liên tục tại x=4. Sai.
d) Khi x→−∞ thì x≤4 nên f(x)=2x−4. Khi đó f²(x)−2f(x) = (2x−4)²−2(2x−4) = 4x²−20x+24. Do đó lim (4x²−20x+24)/(x²−5x+12) = 4. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(4)=2·4−4=4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp được giới hạn bằng 3/8, không phải 4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái bằng 4, giới hạn phải bằng 3/8, nên không liên tục tại x=4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x→−∞, f(x)=2x−4, tử số thành 4x²−20x+24, giới hạn bằng 4.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x→-2⁺ dùng nhánh f(x)=x+1: lim = -2+1 = -1. Đúng.
b) Giới hạn phải bằng -1. Để hàm có giới hạn tại x=-2, giới hạn trái lim_{x→-2⁻}(x²+ax+b)/(x²-4) phải tồn tại hữu hạn, đòi hỏi tử triệt tiêu tại x=-2: 4-2a+b=0 ⇒ b=2a-4. Khi đó giới hạn trái = lim (2x+a)/(2x) = (-4+a)/(-4) = (4-a)/4. Để bằng -1: (4-a)/4=-1 ⇒ a=8, b=12. Kiểm tra 3a-b=24-12=12. Đúng.
c) f(-2)=-2+1=-1≠1. Sai.
d) Với a=2, b=0: (x²+2x)/(x²-4)=x/(x-2) (x<-2), giới hạn trái = -2/(-4)=1/2 ≠ -1, nên không có giới hạn tại x=-2, do đó không liên tục tại x=-2. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì x→-2⁺ nên dùng nhánh f(x)=x+1: lim_{x→-2^+} f(x) = -2+1 = -1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái tồn tại đòi hỏi 4-2a+b=0 (b=2a-4); giới hạn trái = (4-a)/4 = -1 ⇒ a=8, b=12, nên 3a-b=12.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(-2) = -2+1 = -1, không bằng 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với a=2, b=0, giới hạn trái bằng 1/2 khác giới hạn phải -1, nên hàm số không liên tục tại x=-2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hàm số liên tục, tại $x=0,5$: $b\cdot 0,5+3,25=10\Rightarrow 0,5b=6,75\Rightarrow b=13,5$. Tại $x=30$: $30c+78,25=30b+3,25=30(13,5)+3,25=408,25\Rightarrow 30c=330\Rightarrow c=11$. Giá mở cửa $a=10$ (nghìn đồng). Vậy $T=a+b+c=10+13,5+11=34,5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x>1, (x²-3x+2)/(x-1) xác định vì x≠1; với x≤1, đa thức xác định. Vậy tập xác định là ℝ → Đúng.
b) Theo định nghĩa, tại x=1 dùng nhánh x≤1: f(1)=m²·1³-2026=m²-2026 → Đúng.
c) Với x>1: f(x)=(x²-3x+2)/(x-1)=((x-1)(x-2))/(x-1)=x-2, nên lim_{x→1⁺} f(x)=1-2=-1≠1 → Sai.
d) Hàm số liên tục tại x=1 khi và chỉ khi lim_{x→1⁻}f(x)=lim_{x→1⁺}f(x)=f(1), tức m²-2026=-1 ⟺ m²=2025 ⟺ m=±45. Trong (-50;50) có 99 số nguyên, loại 2 giá trị m=±45 nên có 97 giá trị nguyên của m để hàm số gián đoạn tại x=1, không phải 99 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai nhánh đều xác định tại mọi x (nhánh phân thức có mẫu x-1≠0 khi x>1), nên D=f(x)=ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
x=1 thuộc nhánh x≤1 nên f(1)=m²-2026.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với x>1, f(x)=x-2 nên lim_{x→1⁺}f(x)=-1, không phải 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Gián đoạn tại x=1 khi m²-2026≠-1, tức m≠±45. Có 99-2=97 giá trị nguyên m∈(-50;50) thỏa mãn, không phải 99.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne -6$: $-x^2-10x-24=-(x+4)(x+6)$ và $-3x-18=-3(x+6)$, nên $f(x)=\frac{x+4}{3}$.

a) Tại $x=-6$ hàm được xác định bằng $5m(-6)-1=-30m-1$; với $x\ne -6$ mẫu $-3x-18\ne 0$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$. → Đúng.

b) ${\lim }_{x\to -6}f(x)=\frac{-6+4}{3}=-\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$. → Sai.

c) Theo định nghĩa, $f(-6)=5m\cdot (-6)-1=-30m-1$. → Đúng.

d) Hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ khi liên tục tại $x=-6$: $f(-6)={\lim }_{x\to -6}f(x)=-\frac{2}{3}$, tức $-30m-1=-\frac{2}{3}\Rightarrow -30m=\frac{1}{3}\Rightarrow m=-\frac{1}{90}$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định tại $x=-6$ (bằng $-30m-1$) và với $x\ne -6$ mẫu $-3x-18\ne 0$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$. → Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $f(x)=\frac{x+4}{3}$ với $x\ne -6$, nên ${\lim }_{x\to -6}f(x)=-\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$. → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hàm số, $f(-6)=5m\cdot (-6)-1=-30m-1$. → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=-6$ yêu cầu $-30m-1=-\frac{2}{3}\Rightarrow m=-\frac{1}{90}$. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 131. Xét tính liên tục tại $x=1$.

a) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x+3}{x-1},& x\ne 1\\ -1,& x=1\end{array}$

- $f(1)=-1$ (đã định nghĩa).
- Tính giới hạn: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+3}{x-1}$. Khi $x\to 1^{+}$, mẫu $x-1\to 0^{+}$, tử $x+3\to 4>0$ nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+3}{x-1}=+\infty$. Khi $x\to 1^{-}$, mẫu $x-1\to 0^{-}$, tử dương nên $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x-1}=-\infty$.
- Giới hạn trái và giới hạn phải đều không tồn tại (vô cực), do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ không tồn tại.

Kết luận: $f$ không liên tục tại $x=1$ (điểm $x=1$ là điểm gián đoạn loại hai, có tiệm cận đứng $x=1$).

b) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1},& x\ne 1\\ \frac{1}{4},& x=1\end{array}$

- $f(1)=\frac{1}{4}$.
- Tính giới hạn (dạng $\frac{0}{0}$), nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+3)-4}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.$$
- Vì $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{1}{4}=f(1)$, nên $f$ liên tục tại $x=1$.

Tóm lại: a) không liên tục tại $x=1$; b) liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 132:

a) Tại $x=2$: $f(2)=1$.
Tử số: $2-7x+5x^2-x^3=-(x^3-5x^2+7x-2)$. Thử $x=2$: $8-20+14-2=0$, nên $x^3-5x^2+7x-2=(x-2)(x^2-3x+1)$. Mẫu số: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.
Do đó với $x\ne 2$:
$$f(x)=\frac{-(x-2)(x^2-3x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{-(x^2-3x+1)}{x-1}.$$
Giới hạn tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{-(4-6+1)}{2-1}=\frac{-(-1)}{1}=1$.
Vì ${\lim }_{x\to 2}f(x)=1=f(2)$, hàm số liên tục tại $x=2$.

b) Tại $x=5$: $f(5)=(5-5{)}^2+3=3$.
Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 5^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 5^{-}}[(x-5{)}^2+3]=3$.
Giới hạn phải: với $x>5$,
$$\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{(x-5)\left(\sqrt{2x-1}+3\right)}{(2x-1)-9}=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{(x-5)\left(\sqrt{2x-1}+3\right)}{2(x-5)}=\frac{3+3}{2}=3.$$
Vì ${\lim }_{x\to 5^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 5^{+}}f(x)=f(5)=3$, hàm số liên tục tại $x=5$.

Kết luận: a) liên tục tại $x=2$; b) liên tục tại $x=5$.

Ghi chú: tính toán $-(4-6+1)=-(-1)=1$ là chính xác, khớp với $f(2)=1$, nên kết luận liên tục tại $x=2$ là đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=3$ khi ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=f(3)$.

Tính giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x+4}}{2x-6}$ (dạng $\frac{0}{0}$). Nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{(5x+1)-(4x+4)}{(2x-6)(\sqrt{5x+1}+\sqrt{4x+4})}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x-3}{2(x-3)(\sqrt{5x+1}+\sqrt{4x+4})}=\frac{1}{2(4+4)}=\frac{1}{16}.$$

Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=m-\frac{21\cdot 3}{16}=m-\frac{63}{16}$, và $f(3)=m-\frac{63}{16}$.

Để liên tục: $m-\frac{63}{16}=\frac{1}{16}\Rightarrow m=\frac{64}{16}=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{2x^2-5x-3}{x^2-7x+12}$ khi $x<3$ và $f(x)=mx+3$ khi $x\ge 3$.

a) Với $x<3$: tử $2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)$, mẫu $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$. Trên $(-\infty ;3)$ mẫu khác $0$ (nghiệm $x=3,4$ đều không thuộc khoảng), hàm phân thức hữu tỉ liên tục. → Đúng.

b) Trên $[3;+\infty )$, $f(x)=mx+3$ là hàm đa thức, liên tục tại mọi điểm của $[3;+\infty )$ (liên tục phải tại $x=3$) với mọi $m$. → Đúng.

c) Tương tự b), tại mọi $x_0\in [3;+\infty )$ ta có ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=f(x_0)=m{x}_0+3$ với mọi $m$. → Đúng.

d) ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{(2x+1)(x-3)}{(x-3)(x-4)}=\frac{7}{-1}=-7$. Để liên tục tại $x=3$ cần $f(3)=3m+3=-7\Rightarrow m=-\frac{10}{3}$, không phải $m=7$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;3)$ mẫu $(x-3)(x-4)\ne 0$, hàm phân thức hữu tỉ liên tục với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[3;+\infty )$, $f(x)=mx+3$ là hàm đa thức nên liên tục (liên tục phải tại $x=3$) với mọi $m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại mọi $x_0\ge 3$, ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=m{x}_0+3=f(x_0)$ với mọi $m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=\frac{2\cdot 3+1}{3-4}=-7$; cần $3m+3=-7\Rightarrow m=-\frac{10}{3}\ne 7$.

Có $f(0)=\frac{1}{16}\left(m^2-3m\right)$
$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4-\sqrt{x^2+16}}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{16-x^2-16}{x^2\left(4+\sqrt{x^2+16}\right)}=-\frac{1}{8}$$
Để hàm số liên tục tại $x_0=0$ nên $f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)\iff \frac{1}{6}\left(m^2-3m\right)=-\frac{1}{8}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=2\end{array}\right]$
Kết quả: 1

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$, nhân liên hợp: $f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x+2)-4}=\sqrt{x+2}+2$. Suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\sqrt{4}+2=4$. Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4\ne f(2)=0$ nên hàm số gián đoạn tại $x=2$. Do đó B đúng; A sai; C sai (giới hạn bằng 4, không phải 2); D sai vì $f(0)=\frac{-2}{\sqrt{2}-2}=\frac{-2(\sqrt{2}+2)}{-2}=\sqrt{2}+2\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}={\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}={\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{4}$.
a) Liên tục tại $x_0=3$ yêu cầu $f(3)=\frac{13}{4}-3a=\frac{1}{4}\Rightarrow 3a=3\Rightarrow a=1$. Đúng.
b) $f(8)=\frac{\sqrt{9}-2}{8-3}=\frac{1}{5}\ne -\frac{1}{5}$. Sai.
c) ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=\frac{1}{4}$ tối giản, $m^2+n^2=1+16=17$. Đúng.
d) Khi $a=1$: $f(3)=\frac{13}{4}-3=\frac{1}{4}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x_0=3$ cần $\frac{13}{4}-3a=\frac{1}{4}\Rightarrow a=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(8)=\frac{\sqrt{9}-2}{5}=\frac{1}{5}$, không phải $-\frac{1}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn bằng $\frac{1}{4}$, nên $m^2+n^2=1+16=17$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=\frac{13}{4}-3\cdot 1=\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$.

Tính giới hạn bên trái/phải (cùng một biểu thức với $x\ne 0$):
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{\sqrt{x+1}-1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{\left(\sqrt{x+1}-1\right)\left(\sqrt{x+1}+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }2\left(\sqrt{x+1}+1\right)=2(1+1)=4.$$

Giá trị của hàm tại $x=0$:
$$f(0)=0^2-m\cdot 0+3=3.$$

Để hàm liên tục tại $x_0=0$ phải có $f(0)=4$, tức là $3=4$, điều này vô lý. Giá trị $f(0)=3$ không phụ thuộc vào $m$, do đó không tồn tại giá trị $m$ nào để hàm số liên tục tại $x_0=0$.

Kết luận: Không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn (có thể đề bài gốc tại điểm $x=0$ có hằng số khác, ví dụ $x^2-mx+4$ thì $m$ bất kỳ; nhưng theo đúng dữ kiện đã cho với hằng số $3$, không tồn tại $m$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: a) Với $x>1$, biểu thức $\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ xác định vì $x+3>4>0$ và $x-1\ne 0$; với $x\le 1$, $-x^2+m$ là đa thức nên xác định với mọi $x$. Vậy hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ → ĐÚNG. b) Vì $1\le 1$ nên $f(1)=-1^2+m=-1+m$ → ĐÚNG. c) Với $x\to 1^{-}$, $f(x)=-x^2+m\to -1+m$, không phải $1+m$ → SAI. d) Với $x\to 1^{+}$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $\sqrt{x+3}-2$ xác định ($x+3>0$) và $x-1\ne 0$; với $x\le 1$, $-x^2+m$ là đa thức. Vậy hàm xác định trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $1\le 1$ nên dùng nhánh $-x^2+m$: $f(1)=-1+m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(-x^2+m)=-1+m\ne 1+m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên từng khoảng $(-\infty ,2)$ và $(2,\infty )$ vì $mx+1$ là hàm đa thức và $\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-2x}$ là hàm phân thức xác định với $x>2$. Vậy chỉ cần xét tính liên tục tại $x=2$. Ta có $f(2)=2m+1$. Tính giới hạn phải: $$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-2x}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{(x+2)-4}{x(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\frac{1}{2\cdot (2+2)}=\frac{1}{8}.$$ Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)$, tức là $$2m+1=\frac{1}{8}\Rightarrow 2m=-\frac{7}{8}\Rightarrow m=-\frac{7}{16}.$$ Vậy $m=-\frac{7}{16}$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. (Kiểm tra lại: nhân hữu thức $\sqrt{x+2}-2=\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}$, mẫu $x(x-2)$, giới hạn $=\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}$; $2\left(-\frac{7}{16}\right)+1=-\frac{7}{8}+1=\frac{1}{8}$ — khớp.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=3m-2$.

Tính giới hạn: đặt $t=\sqrt[3]{x-2}$, khi $x\to 1$ thì $t\to -1$, và $x=t^3+2$.
Khi đó:
- Tử số: $\sqrt[3]{x-2}+2x-1=t+2(t^3+2)-1=2t^3+t+3$.
- Mẫu số: $x-1=t^3+1$.

Phân tích:
$$2t^3+t+3=(t+1)(2t^2-2t+3),t^3+1=(t+1)(t^2-t+1).$$
Vậy
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{t\to -1}{\lim }\frac{2t^2-2t+3}{t^2-t+1}=\frac{2+2+3}{1+1+1}=\frac{7}{3}.$$

Điều kiện liên tục: $3m-2=\frac{7}{3}\Rightarrow 3m=\frac{13}{3}\Rightarrow m=\frac{13}{9}$.