Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-40=49$, nên $a=7$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 15: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $\hat{A}=70^{\circ }$, $\hat{C}=50^{\circ }$ nên $\hat{B}=180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, suy ra $AB=\frac{50\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,7660}{0,8660}\approx 44,2\approx 44$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (44).

Theo hướng dẫn chấm:
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{6+10+14}{2}=15cm$ (0.25 điểm)
Áp dụng công thức Herong ta có: $S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)}=15\sqrt{3}(c{m}^2)$ (đvdt). (0.5 điểm)
Độ dài đường cao: $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2.15\sqrt{3}}{14}=\frac{15\sqrt{3}}{7}\approx 3,7cm$. (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, trong đó $a$ là cạnh đối diện góc $A$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Trong các phương án, chỉ có $\frac{a}{\sin A}=2R$ (phương án D) là đúng; các phương án A, B, C ghép cạnh với sin của góc không đối diện nên sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ (hai cạnh b, c kẹp góc A). Các đáp án dùng cos hoặc sai cặp cạnh - góc đều sai. Khớp đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A sai (bằng $2R$ chứ không phải $R$), B sai (tỉ số $\frac{b}{\sin B}=2R$ chứ không phải $\frac{b}{\sin A}$), C đúng vì $\frac{c}{\sin C}=2R$, D sai vì $\frac{c}{\sin B}\ne 2R$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 12: Kiểm tra từng công thức diện tích tam giác. A sai vì $S=\frac{1}{2}ac\sin B$, không phải $2ac\sin B$. B đúng: công thức Heron $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p$ là nửa chu vi. C sai vì $S=pr$ (không phải $pR$). D sai vì $S=\frac{abc}{4R}$ (không phải $4r$). Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=8, c=5, B=60°. a) Sai: định lí cosin cho cạnh b là b² = a² + c² − 2ac·cos B (góc đối diện cạnh b là B, không phải A). b) Sai: b² = 8² + 5² − 2·8·5·cos60° = 64 + 25 − 40 = 49 nên b = 7 ≠ 6. c) Đúng: diện tích tam giác S = (1/2)ac·sin B. d) Đúng: S = (1/2)·8·5·sin60° = 20·(√3/2) = 10√3. Kết quả khớp đáp án nguồn (đề 102: aS; bS; cĐ; dĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: b² = a² + c² − 2ac·cos B (góc đối diện cạnh b là B), không phải cos A.
b) (AI giải đề cho tôi)
b² = 64 + 25 − 2·8·5·cos60° = 49 nên b = 7 ≠ 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích S = (1/2)ac·sin B đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = (1/2)·8·5·sin60° = 10√3.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=2R$, nên $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{8}{2\sin 150^{\circ }}=\frac{8}{2\cdot \frac{1}{2}}=8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đề 102, Câu 3 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi p = (5+6+7)/2 = 9. Diện tích theo công thức Heron: S = √(9·4·3·2) = √216 = 6√6 ≈ 14,6969... ≈ 14,7. Kết quả khớp với đáp án nguồn 14,7.

Xét tam giác ABC có: $AB=c=15cm$, $BC=a=18cm$, $\hat{B}=120^{\circ }$. $A{C}^2=b^2=a^2+c^2-2.a.c.\cos B=15^2+18^2-\mathrm{2.15.18.}\cos 120^{\circ }=819$. $AC=\sqrt{819}\approx 28,62(m)$. Số tiền là: $\sqrt{819}\times 18.000\approx 515.164$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó phát biểu đúng là $\frac{a}{\sin A}=2R$ (đáp án A). Các phương án B, C, D đều sai vì $\frac{b}{\sin A}\ne R$, $\frac{2c}{\sin C}=4R\ne R$, và $\frac{\sin C}{c}=\frac{1}{2R}\ne 2R$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu trong tam giác $ABC$ với các ký hiệu quen thuộc ($a=BC$, $b=CA$, $c=AB$):
- A: Diện tích tam giác tính theo hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}a\cdot c\cdot \sin B$ (vì $B$ là góc giữa hai cạnh $a=BC$ và $c=AB$). Đúng.
- B: Công thức Heron đúng là $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, thiếu thừa số $p$, nên sai.
- C: Ta có $S=p\cdot r$ (không phải $pR$), nên sai.
- D: Ta có $S=\frac{abc}{4R}$ (không phải $4r$), nên sai.
Vậy phát biểu đúng là A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \cos 120^{\circ }=74+35=109$, nên $a=\sqrt{109}\approx 10,44$. a) Sai vì thiếu bình phương: $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$, không phải $a=b^2+c^2-2bc\cos A$. b) Sai vì $a=\sqrt{109}\ne 7$. c) Đúng theo công thức diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A$. d) Sai vì $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{35\sqrt{3}}{2}\ne 35\sqrt{3}$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin cho $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$, mệnh đề thiếu bình phương nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=49+25-70\cos 120^{\circ }=74+35=109\Rightarrow a=\sqrt{109}\approx 10,44\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ là đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{35\sqrt{3}}{2}\ne 35\sqrt{3}$, nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{2\cdot 0,5}=10$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3 Phần III: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác: $p=\frac{7+8+9}{2}=12$. Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}\approx 26,83\approx 26,8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 26,8.

Xét tam giác ABC có: $AB=c=15m$, $BC=a=18m$, $\hat{B}=120^{\circ }$. $A{C}^2=b^2=a^2+c^2-2.a.c.\cos B=15^2+18^2-\mathrm{2.15.18.}\cos 120^{\circ }=819$. $AC=\sqrt{819}\approx 28,62(m)$. Số tiền là: $\sqrt{819}\times 20.000\approx 572.440$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó $\sin A=\frac{a}{2R}$ (A đúng), $\frac{a}{\sin A}=2R$ (D đúng), và từ $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ suy ra $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$ (C đúng). Khẳng định B sai vì $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ nói chung; đúng phải là $\frac{b}{\sin B}=2R$. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Từ đó: A đúng vì $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$; C đúng; D đúng vì $\sin A=\frac{a}{2R}$. Khẳng định B sai vì $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ nói chung (đúng phải là $b=2R\sin B$). Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bờ hồ là đường thẳng EF. Theo hình vẽ: AE = 20 m, BF = 50 m, AB = 50 m. Chênh lệch khoảng cách tới bờ hồ giữa A và B là 50 - 20 = 30 m, nên thành phần song song bờ hồ giữa A và B là $\sqrt{50^2-30^2}=40$ m. Lấy A' đối xứng của A qua bờ hồ (A' cách bờ 20 m về phía bên kia). Đường đi ngắn nhất từ A qua điểm lấy nước trên bờ hồ đến B có độ dài bằng A'B. Trong tam giác vuông với hai cạnh: chênh lệch khoảng cách tới bờ là 20 + 50 = 70 m và thành phần song song bờ là 40 m, ta có $$A^{\prime }B=\sqrt{40^2+70^2}=\sqrt{6500}\approx 80,62\approx 80,6\text{ m}.$$ Khớp với đáp án đề cho (mã 1702, Câu 3 = 80,6).