Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R$ với $A=\widehat{BAC}=120^{\circ }$, $BC=a$. Suy ra $2R=\frac{a}{\sin 120^{\circ }}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$, nên $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A và B đúng. Với D: từ $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ suy ra $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$, đúng. Với C: $b\sin B=2R$ sai vì $b=2R\sin B$ nên $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ (chỉ đúng khi $\sin B=1$). Vậy hệ thức sai là C, khớp đáp án nguồn (Mã đề 1002, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=7, AC=8, BC=9. a) Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{49+64-81}{112}=\frac{32}{112}=\frac{2}{7}$ → Đúng. b) $\sin A=\sqrt{1-\frac{4}{49}}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}=12\sqrt{5}\ne 24\sqrt{5}$ → Sai. c) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{9}{2\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}}=\frac{21}{2\sqrt{5}}=\frac{21\sqrt{5}}{10}\ne \sqrt{5}$ → Sai. d) Đường cao ứng với cạnh BC: $h=\frac{2S}{BC}=\frac{24\sqrt{5}}{9}=\frac{8\sqrt{5}}{3}$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (DSSD cho mã đề 1002).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{7^2+8^2-9^2}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{2}{7}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\frac{3\sqrt{5}}{7}$ nên $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}=12\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{9}{2\sin A}=\frac{21\sqrt{5}}{10}\ne \sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h=\frac{2S}{BC}=\frac{24\sqrt{5}}{9}=\frac{8\sqrt{5}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cdot \cos 120^{\circ }=61+30=91$. Vậy $BC=\sqrt{91}\approx 9,5394\approx 9,54$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 2 Phần III: 9,54).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi AB = h. Tam giác ABN vuông tại A, góc ANB = 45° nên AN = AB = h. Tam giác ABM vuông tại A, góc AMB = 30° nên AM = AB / tan30° = h√3. Theo hình vẽ, thứ tự điểm trên mặt biển là M, N, A nên MN = AM − AN = h(√3 − 1) = 500. Suy ra h = 500/(√3 − 1) = 250(√3 + 1) ≈ 250 · 2,732 ≈ 683,01 m. Làm tròn đến hàng đơn vị: AB ≈ 683 m, khớp với đáp án nguồn 683 (bảng đáp án, Mã đề 1002, Phần III câu 4).

Ta có
$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }}=\sqrt{3};S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (0,25 điểm).
$$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AH\cdot BC\iff \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}AH.\sqrt{3}\iff AH=1$$ (0,25 điểm).

Học sinh làm các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí sin đúng là $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, nên phát biểu B với mẫu $\cos B$ là sai. A đúng theo định lí côsin, C là công thức Heron, D là công thức diện tích đúng. Đáp án B khớp với mã đề 1002.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=14, AC=13, BC=15.
a) Theo định lí cosin: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (196+169−225)/364 = 140/364 = 5/13 ≠ 5/12 → Sai.
b) sin A = 12/13 nên S = ½·AB·AC·sin A = ½·14·13·(12/13) = 84 ≠ 39 → Sai.
c) R = abc/(4S) = (14·13·15)/(4·84) = 2730/336 = 65/8 ≈ 8,125 ≠ 4 → Sai.
d) Đường cao ứng với cạnh AB: h = 2S/AB = 168/14 = 12 → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (SSDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (14²+13²−15²)/(2·14·13) = 140/364 = 5/13 ≠ 5/12.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin A = 12/13, S = ½·14·13·12/13 = 84 ≠ 39.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = (14·13·15)/(4·84) = 65/8 ≈ 8,125 ≠ 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
h_AB = 2S/AB = 168/14 = 12.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $MNP$: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos \widehat{NMP}=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }=4+9-12\cdot \frac{1}{2}=7$. Vậy $NP=\sqrt{7}\approx 2,6458\approx 2,65$ (làm tròn đến hàng phần trăm). Kết quả trùng với đáp án nguồn 2,65.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống đường bờ biển (đường thẳng $AB$). Theo hình vẽ, góc $79^{\circ }$ tại $B$ là góc ngoài (góc giữa $BC$ và phần kéo dài của $AB$), nên góc trong $\widehat{ABC}=180^{\circ }-79^{\circ }=101^{\circ }$. Khi đó góc tại $C$ trong tam giác $ABC$ là $\widehat{ACB}=180^{\circ }-48^{\circ }-101^{\circ }=31^{\circ }$.

Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin 48^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 31^{\circ }}$, suy ra $BC=\frac{125\cdot \sin 48^{\circ }}{\sin 31^{\circ }}\approx \frac{125\cdot 0,7431}{0,5150}\approx 180,4$ m.

Khoảng cách từ hải đăng đến bờ biển là $CH=BC\cdot \sin 79^{\circ }\approx 180,4\cdot 0,9816\approx 177,1$ m.

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng $177$ m, khớp với đáp án nguồn.

Ta có
$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }}=7$; $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=10\sqrt{3}$ (0,25 điểm).
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AH\cdot BC\iff 10\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot AH\iff AH=\frac{20\sqrt{3}}{7}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng ($\sin A=\frac{a}{2R}$), C đúng ($\frac{a}{\sin A}=2R$). Từ $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ suy ra $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$ nên B đúng. Còn D: $b\sin B=\frac{b^2}{2R}\ne 2R$ nói chung, nên D là hệ thức sai. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý sin đúng là $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên phát biểu ở C (có $\frac{b}{\cos B}$) là sai. Các phát biểu A (công thức Heron), B (định lý cosin), D (công thức diện tích $S=\frac{1}{2}ab\sin C$) đều đúng. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \sin 30^{\circ }=24\cdot \frac{1}{2}=12$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, nên $AB=AC\cdot \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=2\cdot \frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 16: D).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với góc $C=60^{\circ }$, $CA=200$ m, $CB=180$ m: $A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos 60^{\circ }=200^2+180^2-2\cdot 200\cdot 180\cdot \frac{1}{2}=40000+32400-36000=36400$. Suy ra $AB=\sqrt{36400}\approx 190,79$ m, làm tròn đến hàng đơn vị ta được $AB\approx 191$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn (191).

Theo hướng dẫn chấm:
1. Tính góc $\hat{C}$: Trong tam giác ABC, ta có tổng ba góc bằng $180^{\circ }$. $\hat{C}=180^{\circ }-(\hat{A}+\hat{B})=180^{\circ }-(45^{\circ }+70^{\circ })=180^{\circ }-115^{\circ }=65^{\circ }$. (0,25 điểm)
2. Tính độ dài cạnh $a$ (Áp dụng Định lí sin): $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
Tính cạnh $a$: $a=c\cdot \frac{\sin A}{\sin C}=12\cdot \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}=>a\approx 12\cdot \frac{0.7071}{0.9063}\approx 9.36\approx 9$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot \cos 120^0=52-48\cdot (-\frac{1}{2})=52+24=76$. Suy ra $a=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin trong tam giác ABC: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Kiểm tra các phương án: A sai dấu (+), B sai dùng sin, C sai vì có $2ac$ thay vì $2bc$. Vậy đáp án đúng là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác ABC: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (và tương tự $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$). Xét các phương án: A sai vì dấu phải là trừ ($b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$); B đúng đúng dạng định lí cosin; C sai vì dùng $\sin C$ thay vì $\cos C$; D sai vì dấu phải là trừ. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 1: B).