Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trải bốn mặt bên của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ ra một mặt phẳng. Mỗi mặt bên là tam giác với góc ở đỉnh $S$ bằng $\widehat{ASB}=15^{\circ }$, nên tổng góc quét quanh $S$ sau khi đi hết một vòng quanh kim tự tháp là $4\cdot 15^{\circ }=60^{\circ }$.

Trong mặt phẳng trải, điểm $A$ nằm trên tia đầu với $SA=200$ m; ảnh $L^{\prime }$ của điểm $L$ sau khi vòng hết một vòng nằm trên tia hợp với tia đầu góc $60^{\circ }$ và $S{L}^{\prime }=40$ m. Đường gấp khúc dây đèn ngắn nhất tương ứng với đoạn thẳng nối $A$ và $L^{\prime }$ trong hình trải.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $SA{L}^{\prime }$:
$$A{L}^{\prime }=\sqrt{200^2+40^2-2\cdot 200\cdot 40\cdot \cos 60^{\circ }}=\sqrt{40000+1600-8000}=\sqrt{33600}=40\sqrt{21}\approx 183,30\text{ m}.$$

Kiểm tra: khoảng cách từ $S$ đến đoạn $A{L}^{\prime }$ khoảng 37,8 m > 0 và nhỏ hơn các cạnh, nên đoạn thẳng nằm gọn trong vùng các mặt bên đã trải, cách làm hợp lệ.

Vậy cần dùng ít nhất khoảng 183 m dây đèn led (làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC, góc C = 180° - 75° - 60° = 45°. Theo định lí sin: AC/sin B = AB/sin C, nên AC = 5·sin60°/sin45° = 5·(√3/2)/(√2/2) = 5√6/2. Khớp với đáp án A và bảng đáp án (mã đề 102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $b+2c=2a$ và định lý sin $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, ta có $2\sin A=\sin B+2\sin C$ (nhân $b+2c=2a$ với $\frac{1}{2R}$), nên a) Đúng. b) Vì $h_a=\frac{2S}{a},h_b=\frac{2S}{b},h_c=\frac{2S}{c}$ nên $\frac{2}{h_a}=\frac{a}{S}$ và $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{b+c}{2S}$. Nếu đẳng thức đúng thì $2a=b+c$, mâu thuẫn với $2a=b+2c$ (vì $c>0$), nên b) Sai. c) $\frac{a}{\sin A}=2R$ là định lý sin, Đúng. d) Định lý cosin cho góc $A$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{BAC}$, nên khẳng định với dấu $+$ là Sai. Kết quả Đ-S-Đ-S khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 14: ĐSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhân $b+2c=2a$ với $\frac{1}{2R}$ và dùng định lý sin $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$ ta được $2\sin A=\sin B+2\sin C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $S$ là diện tích: $\frac{2}{h_a}=\frac{a}{S}$, $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{b+c}{2S}$. Đẳng thức đòi hỏi $2a=b+c$, trái với $2a=b+2c$ do $c>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lý sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin A}=2R$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định lý cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{BAC}$ (dấu trừ), nên khẳng định với dấu cộng là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{3}{5}=74-42=32$, nên $BC=4\sqrt{2}$. Vì $\cos A=\frac{3}{5}$ với $0<A<\pi$ nên $\sin A=\frac{4}{5}$. Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{4}{5}=14$. Đường cao từ $A$: $h=\frac{2S}{BC}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\approx 4,95$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4.95.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là vị trí ngọn hải đăng. Theo hình vẽ, góc $45^{\circ }$ tại $A$ là góc trong tam giác $ABC$ (giữa $AC$ và $AB$). Góc $75^{\circ }$ tại $B$ là góc giữa $BC$ và tia kéo dài của đường đi phía ngoài đoạn $AB$, nên góc trong tam giác tại $B$ là $180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$. Suy ra góc tại $C$: $180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{30}{0,5}=60$, nên $BC=60\sin 45^{\circ }=30\sqrt{2}$. Khoảng cách từ $C$ đến bờ biển (đường thẳng $AB$) là $h=BC\sin 105^{\circ }=30\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=15(\sqrt{3}+1)\approx 40,98\approx 41$ m. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 20: 41).

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AB = 40·2 = 80 hải lí, AC = 30·2 = 60 hải lí, góc BAC = 60°. Theo định lí cosin: BC² = 80² + 60² − 2·80·60·cos60° = 6400 + 3600 − 4800 = 5200, nên BC = √5200 ≈ 72,11 ≈ 72 hải lí. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$ với hai cạnh $AC=30$, $BC=50$ và góc xen giữa $\hat{C}=75^{\circ }$ là $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin C=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 50\cdot \sin 75^{\circ }=750\cdot \sin 75^{\circ }$. Vì $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0,9659$, nên $S\approx 750\cdot 0,9659\approx 724,4$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot \sin C=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 50\cdot \sin 75^0=750\cdot \sin 75^0$. Vì $\sin 75^0=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0,9659$, nên $S\approx 750\cdot 0,9659\approx 724,4$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$: $\hat{C}=180^{\circ }-75^{\circ }-60^{\circ }=45^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $AC=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}=\frac{5\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{6}}{2}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 101.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 101 (trang 7), Câu 13: Đ - S - Đ - Đ. Nguồn đề không cung cấp lời giải chi tiết; lời giải các ý a, b, d do agent giải thích, ý c giữ đáp án nguồn kèm ghi chú mâu thuẫn toán học.
a) Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, suy ra $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$. Do $b+2c=2a$ nên $2\sin A=\frac{2a}{2R}=\frac{b+2c}{2R}=\sin B+2\sin C$. Đúng.
b) Định lí cosin cho $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{BAC}$ (dấu trừ, không phải dấu cộng). Sai.
c) Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 101 (trang 7) là Đúng. Lưu ý: về mặt toán học, vì $\frac{2}{h_a}=\frac{a}{S}$ và $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{b+c}{2S}$, đẳng thức tương đương $2a=b+c$, mâu thuẫn với giả thiết $b+2c=2a$ (trừ khi $c=0$); đáp án nguồn có vẻ sai về mặt toán học nhưng được giữ nguyên theo nguồn, cần người duyệt xem lại.
d) Đây là hệ quả của định lí sin trong tam giác. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao xuất phát từ đỉnh A là đoạn vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Tính $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$. Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{4}{5}=14$. Cạnh $BC$ theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{3}{5}=32$, nên $BC=4\sqrt{2}$. Đường cao từ A: $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\approx 4,9497\approx 4,95$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4.95.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi C là vị trí ngọn hải đăng. Trong tam giác ABC: góc A = 45°, góc ngoài tại B bằng 75° nên góc B = 105°, suy ra góc C = 30°. Theo định lý sin: AC = AB·sin B / sin C = 30·sin105°/sin30° = 60·sin105°. Khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ biển là đường cao h hạ từ C xuống AB: h = AC·sin45° = 60·sin105°·sin45° = 60·0,96593·0,70711 ≈ 40,98 ≈ 41 m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (41).

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: $AB=40\cdot 2=80$ hải lí, $AC=30\cdot 2=60$ hải lí, góc $A=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 60^{\circ }=6400+3600-2\cdot 80\cdot 60\cdot \frac{1}{2}=5200$, nên $BC=\sqrt{5200}\approx 72,11\approx 72$ hải lí. Khớp với đáp án B (bảng đáp án mã đề 101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\Rightarrow 2R=\frac{a}{\sin 120^{\circ }}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}\Rightarrow R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 14: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $AB=5$, $AC=8$, $BC=7$.
a) Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{25+49-64}{70}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\ne \frac{1}{12}$ → Sai.
b) Diện tích $S=10\sqrt{3}$ (xem c), nên $R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 10\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ → Đúng.
c) $p=\frac{5+8+7}{2}=10$, $S=\sqrt{10\cdot 5\cdot 2\cdot 3}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$ → Đúng.
d) Cạnh lớn nhất là 8, vì $8^2=64<5^2+7^2=74$ nên tam giác nhọn → Đúng. Khớp đáp án mã đề 102: a)S - b)Đ - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{1}{7}\ne \frac{1}{12}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{280}{40\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$p=10$, $S=\sqrt{10\cdot 5\cdot 2\cdot 3}=10\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$8^2=64<74=5^2+7^2$ nên tam giác nhọn.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác: $p=\frac{23+27+32}{2}=41$ (m). Theo công thức Heron, diện tích $S=\sqrt{41(41-23)(41-27)(41-32)}=\sqrt{41\cdot 18\cdot 14\cdot 9}=\sqrt{92988}\approx 304,94{\text{m}}^2$. Chi phí trồng cỏ: $304,94\times 65000\approx 19821000$ đồng $\approx 19,82$ triệu đồng, làm tròn đến hàng đơn vị là $20$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (20).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$. Trong đó $b=CA$, $c=AB$ là hai cạnh kề góc $A$, nên $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ là công thức đúng. Các đáp án A, C, D ghép sai cặp cạnh với góc (ví dụ $b,c$ không kề với góc $C$ hay góc $B$; $a,c$ không kề với góc $A$). Khớp với đáp án nguồn: mã đề 102, Câu 4 là B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7. a) Theo định lí cosin: cos B = (AB²+BC²−AC²)/(2·AB·BC) = (25+49−64)/70 = 10/70 = 1/7 ≠ 1/12 → Sai. b) cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (25+64−49)/80 = 1/2 > 0, và cos B = 1/7 > 0, cos C = (AC²+BC²−AB²)/(2·AC·BC) = (64+49−25)/112 = 11/14 > 0 nên tam giác nhọn → Đúng. c) p = (5+8+7)/2 = 10, S = √(10·5·2·3) = √300 = 10√3 → Đúng. d) R = abc/(4S) = (5·8·7)/(4·10√3) = 7/√3 = 7√3/3 → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)S, b)Đ, c)Đ, d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos B = (AB²+BC²−AC²)/(2·AB·BC) = (25+49−64)/70 = 1/7 ≠ 1/12.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos A = 1/2 > 0, cos B = 1/7 > 0, cos C = 11/14 > 0 nên cả ba góc nhọn.
c) (AI giải đề cho tôi)
p = 10, S = √(10·5·2·3) = 10√3.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = abc/(4S) = 280/(40√3) = 7√3/3.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi: $p=\frac{23+27+32}{2}=41$ (m). Theo công thức Heron: $S=\sqrt{41(41-23)(41-27)(41-32)}=\sqrt{41\cdot 18\cdot 14\cdot 9}=\sqrt{92988}\approx 304,94{\text{m}}^2$. Số tiền mua cỏ: $304,94\times 65000\approx 19821100$ đồng $\approx 19,8$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị: $20$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (20).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$. Trong đó $b=CA$, $c=AB$ là hai cạnh kề góc $A$, nên $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ là đúng. Kiểm tra các đáp án khác: A sai vì $a$ và $c$ kề góc $B$ chứ không kề góc $A$; B sai vì $b,c$ kề góc $A$ chứ không kề góc $C$; C sai vì $b,c$ không kề góc $B$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: D).