Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+36-76}{48}=-\frac{1}{2}\Rightarrow B=120^{\circ }$ (b đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ (c đúng). Đường cao từ $B$: $h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{57}}{19}$ (a đúng). Bán kính ngoại tiếp: $R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{19}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{57}}{3}\ne \frac{3\sqrt{19}}{2}$ (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{57}}{19}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{16+36-76}{48}=-\frac{1}{2}\Rightarrow B=120^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=6\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{57}}{3}\ne \frac{3\sqrt{19}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=(\sqrt{2}{)}^2+3^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot 3\cdot \cos 135^{\circ }$. Vì $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $B{C}^2=2+9-2\cdot \sqrt{2}\cdot 3\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=11+6=17$. Vậy $BC=\sqrt{17}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ngôi sao 5 cánh có 10 đỉnh (5 đỉnh ngoài nằm trên đường tròn và 5 đỉnh trong), các đoạn thẳng nối tâm $A$ với tất cả các đỉnh này chia ngôi sao thành 10 tam giác bằng nhau, mỗi tam giác có dạng $ABC$ với $A$ là tâm đường tròn, $B$ là đỉnh trong, $C$ là đỉnh ngoài của ngôi sao (đúng như hình vẽ).

Vì 10 tam giác bằng nhau bao quanh tâm $A$ nên góc ở tâm của mỗi tam giác là:
$$\widehat{BAC}=\frac{360^{\circ }}{10}=36^{\circ }.$$

Trong tam giác $ABC$: $AB=30cm$, $BC=40cm$, $\widehat{BAC}=36^{\circ }$. Áp dụng định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 36^{\circ }$$
$$1600=900+A{C}^2-60\cdot \cos 36^{\circ }\cdot AC$$
$$A{C}^2-48,541\cdot AC-700=0.$$
Giải phương trình (lấy nghiệm dương):
$$AC=\frac{48,541+\sqrt{48,541^2+2800}}{2}\approx 60,175(cm).$$
Vậy bán kính đường tròn là $R=AC\approx 60,175cm$ (vì $C$ nằm trên đường tròn).

Diện tích một tam giác $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 36^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 60,175\cdot \sin 36^{\circ }\approx 530,55(c{m}^2).$$

Diện tích ngôi sao (10 tam giác bằng nhau):
$$S_{sao}=10\cdot 530,55\approx 5305,5(c{m}^2).$$

Diện tích đường tròn:
$$S_{tr\hat{o}n}=\pi R^2=\pi \cdot (60,175{)}^2\approx 11375,3(c{m}^2).$$

Diện tích phần nền tô đậm:
$$S=S_{tr\hat{o}n}-S_{sao}\approx 11375,3-5305,5\approx 6069,8\approx \boxed{6070c{m}^2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $A=30^{\circ }$, $C=100^{\circ }$ nên $B=180^{\circ }-30^{\circ }-100^{\circ }=50^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, suy ra $AB=\frac{50\cdot \sin 100^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,9848}{0,7660}\approx 64,28$. Vậy chọn D. (Các đáp án ghi $AC$ nhưng thực chất là độ dài cạnh $AB$ cần tính.)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức diện tích tam giác: - A sai: công thức Heron là $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, không có hệ số $\frac{1}{2}$. - B đúng: công thức $S=\frac{abc}{4R}$ là công thức diện tích tam giác theo bán kính đường tròn ngoại tiếp (vì $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ và $\sin C=\frac{c}{2R}$ nên $S=\frac{abc}{4R}$). - C sai: diện tích theo nội tiếp là $S=pr$, không phải $pR$. - D sai: $S=\frac{1}{2}ab\sin C$, không phải $\cos C$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, suy ra $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac{a^2-b^2-c^2}{2bc}$. Do đó phương án A sai dấu (đúng phải là $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$). Các phương án B, C, D đều là các hệ thức lượng đúng trong tam giác: định lí côsin (B), định lí sin (C) và hệ quả $a=2R\sin A$ (D). Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: tam giác $ACD$ có $C$ là chân tháp (đỉnh đồi), $D$ là đỉnh tháp với $CD=30m$, $AC=120m$ (độ dài sườn đồi từ chân đồi $A$ đến đỉnh), và góc giữa hai hướng nhìn từ $A$ tới chân tháp và đỉnh tháp là $\widehat{CAD}=8^{\circ }$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ACD$:
$$\frac{\sin \widehat{ADC}}{AC}=\frac{\sin \widehat{CAD}}{CD}\Rightarrow \sin \widehat{ADC}=\frac{120\sin 8^{\circ }}{30}=4\sin 8^{\circ }\approx 4\cdot 0,13917=0,5567.$$
Suy ra $\widehat{ADC}\approx 33,84^{\circ }$, do đó $\widehat{ACD}=180^{\circ }-8^{\circ }-33,84^{\circ }\approx 138,16^{\circ }$.

Diện tích tam giác (tam giác $ABC$ trong đề, chính là tam giác $ACD$ theo hình vẽ):
$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CD\cdot \sin \widehat{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 120\cdot 30\cdot \sin 138,16^{\circ }=1800\sin 41,84^{\circ }\approx 1800\cdot 0,6672\approx 1201.$$

Giá trị gần nhất với kết quả tính toán trong các phương án là $1200$, tương ứng phương án A. (Kết quả tính xấp xỉ phụ thuộc vào độ chính xác của các giá trị lượng giác làm tròn; các phương án còn lại đều lệch xa hơn.)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cân tại A, góc A = 120° nên góc B = góc C = 30°. Theo định lý cosin: BC² = a² + a² − 2a²cos120° = 3a², suy ra BC = a√3, do đó BM = 3BC/5 = 3a√3/5. Trong tam giác ABM, cos B = cos30° = √3/2, áp dụng định lý cosin: AM² = AB² + BM² − 2·AB·BM·cos B = a² + 27a²/25 − 2·a·(3a√3/5)·(√3/2) = a² + 27a²/25 − 9a²/5 = 7a²/25. Vậy AM = a√7/5, trùng với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: H là gốc, $A=(0;4)$, $B=(20;0)$, $C=(20;h)$ với $h=CH$ là chiều cao cây.

a) $S_{AHB}=\frac{1}{2}AH\cdot HB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 20=40(m^2)\ne 80$ → Sai.

b) $\tan \widehat{ACB}=\frac{HB}{CH-AH}=\frac{20}{h-4}$. Nếu $\widehat{ACB}=45^{\circ }$ thì $h-4=20\Rightarrow h=24$, khi đó $AC=\sqrt{H{B}^2+(CH-AH{)}^2}=\sqrt{400+400}=20\sqrt{2}\approx 28,28(m)\ne 10$ → Sai.

c) Từ $\widehat{BAC}=45^{\circ }$: $\tan \widehat{BAC}=\frac{20h}{416-4h}=1\Rightarrow 20h=416-4h\Rightarrow h=\frac{52}{3}\approx 17,33(m)$.
$\widehat{ABC}=90^{\circ }-\arctan \frac{AH}{HB}=90^{\circ }-\arctan (0,2)\approx 90^{\circ }-11^{\circ }19^{\prime }=78^{\circ }41^{\prime }$ → Đúng.

d) Chiều cao cây $CH=\frac{52}{3}\approx 17,33(m)\ne 27,33$ → Sai.

Kết quả: a Sai, b Sai, c Đúng, d Sai — khớp đáp án chính thức mã 1012 (SSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$S_{AHB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 20=40(m^2)\ne 80$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $\widehat{ACB}=45^{\circ }$ thì $CH-AH=20\Rightarrow CH=24$, $AC=\sqrt{20^2+20^2}=20\sqrt{2}\approx 28,28(m)\ne 10$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \widehat{BAC}=\frac{20h}{416-4h}=1\Rightarrow h=\frac{52}{3}$; $\widehat{ABC}=90^{\circ }-\arctan \frac{4}{20}\approx 78^{\circ }41^{\prime }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chiều cao cây $CH=\frac{52}{3}\approx 17,33(m)$, không phải $27,33(m)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác CDB: $C{B}^2=C{D}^2+D{B}^2-2\cdot CD\cdot DB\cdot \cos 122^{\circ }=500^2+400^2+2\cdot 500\cdot 400\cdot \cos 58^{\circ }\approx 621968$, nên $CB\approx 788,65$ m. Tính góc $\widehat{DCB}$: $\cos \widehat{DCB}=\frac{C{D}^2+C{B}^2-D{B}^2}{2\cdot CD\cdot CB}\approx \frac{250000+621968-160000}{2\cdot 500\cdot 788,65}\approx 0,90278$, suy ra $\widehat{DCB}\approx 25,47^{\circ }$. Theo hình vẽ, $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}-\widehat{DCB}\approx 138^{\circ }-25,47^{\circ }=112,53^{\circ }$. Trong tam giác ACB: $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot \cos 112,53^{\circ }\approx 160000+621968+2\cdot 400\cdot 788,65\cdot 0,38322\approx 1023748$, nên $AB\approx 1011,8\approx 1012$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1012.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi tam giác $p=12$ nên nửa chu vi $p_{half}=6$. Đường kính đường tròn nội tiếp bằng 1 nên bán kính $r=\frac{1}{2}$. Diện tích tam giác theo công thức $S=p_{half}\cdot r=6\cdot \frac{1}{2}=3$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1012: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ nên $\sin C=\frac{AB\cdot \sin A}{BC}=\frac{5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{5\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $AB<BC$ nên góc $C$ nhọn, suy ra $\hat{C}=45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\sin A$. Ta có $\sin B+\sin C=2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}=2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2}$ và $\cos B+\cos C=2\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2}$. Vậy tỉ số bằng $\cot \frac{A}{2}=\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$, suy ra ${\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$, tức $\frac{A}{2}=45^{\circ }$ nên $A=90^{\circ }$. Theo nguồn (mã đề 1012), giả thiết là $AB\cdot AC=24$ (tích độ dài hai cạnh). Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 24=12$. Gọi $h$ là đường cao từ $A$ xuống $BC$; $M$ là trung điểm $BC$ nên $BM=\frac{BC}{2}$, và $G$ là trọng tâm nên khoảng cách từ $G$ đến $BC$ bằng $\frac{h}{3}$. Do đó $S_{BMG}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC}{2}\cdot \frac{h}{3}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}BC\cdot h=\frac{S_{ABC}}{6}=\frac{12}{6}=2$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cân tại A, góc A = 120°, AB = AC = a nên $B{C}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120°=3a^2$, suy ra $BC=a\sqrt{3}$. Với $BM=\frac{2BC}{5}=\frac{2a\sqrt{3}}{5}$ thì $MC=\frac{3a\sqrt{3}}{5}$. Áp dụng định lí Stewart cho cevian AM: $A{M}^2=\frac{A{C}^2\cdot BM+A{B}^2\cdot MC}{BC}-BM\cdot MC=a^2-\frac{2a\sqrt{3}}{5}\cdot \frac{3a\sqrt{3}}{5}=a^2-\frac{18a^2}{25}=\frac{7a^2}{25}$. Vậy $AM=\frac{a\sqrt{7}}{5}$, trùng với đáp án C của đề (mã 1011).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: H(0,0), A(0,4), B(20,0), cây mọc thẳng đứng tại B nên C có hoành độ 20.
a) Tam giác AHB vuông tại H: S = ½·AH·HB = ½·4·20 = 40 m². Đúng.
b) AB = √(4²+20²) = 4√26 ≈ 20,396. Nếu góc ACB = 45° thì tam giác ABC có góc A = góc C = 45° nên góc B = 90°, khi đó AC là cạnh huyền: AC = AB/sin45° = 4√26·√2 = 8√13 ≈ 28,84 m ≠ 10 m. Sai.
c) AB = 4√26 ≈ 20,396; cos(góc ABC) = (BA·BC)/(|BA||BC|). Với tọa độ C(20, 17,33): BA = (−20,4), BC = (0,17,33), cos B = 4/20,396 ≈ 0,1961 → B ≈ 78,69° ≈ 78°41'. Đúng.
d) AB tạo với phương ngang góc arctan(4/20) ≈ 11,31° (hướng xuống dưới); vì góc BAC = 45° nên AC tạo với phương ngang góc 45° − 11,31° = 33,69°. Từ A(0,4): 20 = AC·cos33,69° → AC ≈ 24,037; chiều cao cây BC = 4 + 24,037·sin33,69° ≈ 4 + 13,33 = 17,33 m. Đúng.
Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng — khớp đáp án mã 1011 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·4·20 = 40 m².
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu góc ACB = 45° thì góc B = 90°, AC = 8√13 ≈ 28,84 m ≠ 10 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos B = 4/(4√26) ≈ 0,1961 → B ≈ 78,69° ≈ 78°41'.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC ≈ 24,037, BC = 4 + AC·sin33,69° ≈ 17,33 m.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ACD: $A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2-2\cdot AC\cdot CD\cdot \cos 138^{\circ }=300^2+500^2-2\cdot 300\cdot 500\cdot (-0,7431)\approx 562944$, nên $AD\approx 750,3$ m. Tính góc $\widehat{CDA}$: $\sin \widehat{CDA}=\frac{300\sin 138^{\circ }}{750,3}\approx 0,2675\Rightarrow \widehat{CDA}\approx 15,51^{\circ }$. Suy ra $\widehat{ADB}=122^{\circ }-15,51^{\circ }\approx 106,49^{\circ }$. Trong tam giác ADB: $A{B}^2=A{D}^2+D{B}^2-2\cdot AD\cdot DB\cdot \cos 106,49^{\circ }\approx 562944+90000+128177\approx 781121$, nên $AB\approx 883,8\approx 884$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 884.

(AI giải đề cho tôi)
Đường kính đường tròn nội tiếp bằng 1 nên bán kính $r=\frac{1}{2}$. Nửa chu vi tam giác là $p=\frac{24}{2}=12$. Diện tích tam giác tính theo công thức $S=p\cdot r=12\cdot \frac{1}{2}=6$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1011: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ nên $\sin C=\frac{AB\cdot \sin A}{BC}=\frac{5\cdot \sin 60^{\circ }}{5\sqrt{3}}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$. Vì $BC=5\sqrt{3}>AB=5$ nên góc $C$ nhỏ hơn góc $A=60^{\circ }$, do đó $\hat{C}=30^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\frac{2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}}{2\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}}=\tan \frac{B+C}{2}=\tan \left(90^{\circ }-\frac{A}{2}\right)=\cot \frac{A}{2}$. Theo giả thiết: $\cot \frac{A}{2}=\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$. Vì $\sin \frac{A}{2}\ne 0$, nhân hai vế với $\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$ ta được $\frac{1}{\sin \frac{A}{2}}=2\sin \frac{A}{2}$, suy ra ${\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{A}{2}=45^{\circ }\Rightarrow A=90^{\circ }$. Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{12}{2}=6$. $G$ là trọng tâm nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $MG=\frac{1}{3}AM$, do đó khoảng cách từ $G$ đến $BC$ bằng $\frac{1}{3}$ đường cao từ $A$. Diện tích $S_{BMG}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot \frac{h}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC}{2}\cdot \frac{h}{3}=\frac{S}{6}=\frac{6}{6}=1$. Vậy đáp án B, khớp đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1011: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tam giác vuông ban đầu có hai cạnh góc vuông là $a$ (nằm ngang) và $b$ (thẳng đứng), cạnh huyền $20$ m. Phần sạt lở là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $h$ (nằm ngang, phần nét đứt) và $v$ (thẳng đứng, phần nét đứt), cạnh huyền $13$ m. Khi đó $a=4+h$, $b=7+v$.

Hệ phương trình:
$$h^2+v^2=13^2=169,(4+h{)}^2+(7+v{)}^2=20^2=400.$$
Khai triển phương trình thứ hai: $16+8h+h^2+49+14v+v^2=400$, thay $h^2+v^2=169$ được $8h+14v=166$, tức $4h+7v=83$.

Thay $v=\frac{83-4h}{7}$ vào $h^2+v^2=169$: $65h^2-664h-1392=0$, có nghiệm $h=\frac{664+896}{130}=12$ (nghiệm âm loại). Suy ra $v=\frac{83-48}{7}=5$.

Kiểm tra: $a=16$, $b=12$, $16^2+12^2=400=20^2$ đúng; $5^2+12^2=169=13^2$ đúng.

Diện tích phần đất hiện có:
$$S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 12-\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5=96-30=66m^2.$$
Vậy chọn đáp án C.