Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
**Phần 1.** Trong tam giác AMC: $\widehat{MAC}=103^{\circ }$, $\widehat{AMC}=69^{\circ }$ nên $\widehat{ACM}=8^{\circ }$. Theo định lý sin: $AC=\frac{0,2\sin 69^{\circ }}{\sin 8^{\circ }}\approx 1,3419$ km.

Các góc quanh A: $\widehat{BAC}=113^{\circ }$, $\widehat{MAC}=103^{\circ }$ nên $\widehat{BAM}=360^{\circ }-113^{\circ }-103^{\circ }=144^{\circ }$. Trong tam giác AMB: $\widehat{ABM}=180^{\circ }-31^{\circ }-144^{\circ }=5^{\circ }$, suy ra $AB=\frac{0,2\sin 31^{\circ }}{\sin 5^{\circ }}\approx 1,1816$ km.

Trong tam giác ABC với $\widehat{BAC}=113^{\circ }$, theo định lý cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 113^{\circ }\approx 1,3962+1,8007+1,2380=4,4349$$
Suy ra $BC\approx 2,11$ km. Vậy bề rộng hòn đảo khoảng $2,11$ km.

**Phần 2.** Góc giữa SD và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$, nên $\tan \phi =\frac{SA}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SA=2a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.

Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;2a;0)$, $D(0;2a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$, $M(a;a;0)$ (trung điểm BC).

**a.** N là giao điểm của DM và AC: DM: $(at;2a-at;0)$, AC: $(s;2s;0)$ $\Rightarrow s=at$, $2at=2a-at\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, $N\left(\frac{2a}{3};\frac{4a}{3};0\right)$.

Diện tích tam giác MNC: $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{a}{3};\frac{a}{3};0\right)$, $\overrightarrow{MC}=(0;a;0)$, $\left|\overrightarrow{MN}\wedge \overrightarrow{MC}\right|=\frac{a^2}{3}$, $S_{MNC}=\frac{a^2}{6}$.

Thể tích khối chóp S.MNC (đáy MNC nằm trong mặt phẳng đáy, đường cao từ S bằng SA):
$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{6}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{18}.$$

**b.** $H$ trung điểm SB: $H\left(\frac{a}{2};0;\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$.

$\overrightarrow{SM}=\left(a;a;-a\sqrt{2}\right)$, $\overrightarrow{SN}=\left(\frac{2a}{3};\frac{4a}{3};-a\sqrt{2}\right)$.

$\vec{n}=\overrightarrow{SM}\wedge \overrightarrow{SN}=\frac{a^2}{3}\left(\sqrt{2};\sqrt{2};2\right)$, chọn $\vec{n}=(\sqrt{2};\sqrt{2};2)$.

Mặt phẳng (SMN) qua $S(0;0;a\sqrt{2})$: $\sqrt{2}x+\sqrt{2}y+2z-2a\sqrt{2}=0$.

Khoảng cách từ H:
$$d(H,(SMN))=\frac{\left|\sqrt{2}\cdot \frac{a}{2}+0+2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}-2a\sqrt{2}\right|}{\sqrt{2+2+4}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{a}{4}.$$

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=31$, nên $a=\sqrt{31}$. Đúng. b) $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{\sqrt{31}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{31}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{93}}{3}\approx 3,22$, không phải $\frac{2\sqrt{93}}{3}\approx 6,44$. Sai. c) $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{2}$. Đúng. d) Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{31}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{31}}=\frac{5\sqrt{93}}{62}$. Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 232: Đ-S-Đ-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cos 60^{\circ }=31\Rightarrow a=\sqrt{31}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{\sqrt{31}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{93}}{3}$, khác $\frac{2\sqrt{93}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{15\sqrt{3}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{31}}=\frac{5\sqrt{93}}{62}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3+16-7}{2\cdot \sqrt{3}\cdot 4}=\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\hat{A}=30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 232, Câu 2: 30).

a) $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cdot \cos C=4$

$AB=2$ (0.25đ)

b) Tính được góc $\widehat{BAC}=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$
Áp dụng định lý sin vào tam giác $ABC$, ta có:
$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\iff \frac{AC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{200}{\sin 105^{\circ }}\Rightarrow AC=\frac{200\sin 45^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}\Rightarrow t_A=\frac{AC}{80}\cdot 60(\text{phuˊt})$$ (0.25đ)

$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\iff \frac{BC}{\sin 30^{\circ }}=\frac{200}{\sin 105^{\circ }}\Rightarrow BC=\frac{200\sin 30^0}{\sin 105^{\circ }}\Rightarrow t_B=\frac{BC}{80}\cdot 60(\text{phuˊt})$$

Ta có $t_A-t_B=\frac{AC}{80}\cdot 60-\frac{BC}{80}\cdot 60\approx 32$ phút. (0.25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos \hat{C}=3+4-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\cdot \cos 150^{\circ }=7-4\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=7+6=13$. Vậy $AB=\sqrt{13}$, khớp với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì mảnh đất lớn là hình chữ nhật nên góc A là góc vuông, tam giác ABD vuông tại A với AB = 15, AD = 20, nên đường chéo BD = √(15² + 20²) = √625 = 25 m. Diện tích tam giác ABD = ½·15·20 = 150 m². Tam giác BCD có ba cạnh 17, 12, 25; nửa chu vi p = (17+12+25)/2 = 27, diện tích theo công thức Heron: S = √(27·10·15·2) = √8100 = 90 m². Vậy diện tích tứ giác ABCD = 150 + 90 = 240 m², khớp với đáp án nguồn 240.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A, B, C đều đúng. Khẳng định D sai vì $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ nói chung (chỉ đúng khi $\sin B=1$, tức $B=90^{\circ }$). Vậy khẳng định sai là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=7$, nên $BC=\sqrt{7}$ (a đúng, b đúng). Với định lí sin: $\sin B=\frac{AC\sin A}{BC}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\approx 0,6547$, suy ra $B\approx 40,9^0\approx 41^0$ (làm tròn đến hàng đơn vị), không phải $40^0$ (c sai). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ne 3\sqrt{3}$ (d sai). Kết quả khớp bảng đáp án chính thức DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos 60^0=7\Rightarrow BC=\sqrt{7}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lí cosin trong tam giác ABC.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin B=\frac{2\sin 60^0}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\approx 0,6547\Rightarrow B\approx 40,9^0\approx 41^0$, không phải $40^0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot \sin 60^0=\frac{3\sqrt{3}}{2}$, không bằng $3\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos C=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=41-20=21$. Vậy $AB=\sqrt{21}$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 90 phút (1,5 giờ): máy bay thứ nhất đi $OA=640\cdot 1,5=960$ km theo hướng đông; máy bay thứ hai đi $OB=850\cdot 1,5=1275$ km theo hướng lệch bắc $30^{\circ }$ về phía đông. Góc giữa hai hướng bay bằng $90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $A{B}^2=960^2+1275^2-2\cdot 960\cdot 1275\cdot \cos 60^{\circ }=921600+1625625-1224000=1323225$, nên $AB=\sqrt{1323225}\approx 1150,3$ km. Làm tròn đến hàng đơn vị: $1150$ km, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Suy ra $a=2R\sin A$. Do đó mệnh đề đúng là phương án B, trùng với đáp án nguồn (câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=2R$. Suy ra đường kính $2R=\frac{6}{\sin 120^{\circ }}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin tại đỉnh B: $C{A}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$. Suy ra $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{12^2+7^2-16^2}{2\cdot 12\cdot 7}=\frac{144+49-256}{168}=\frac{-63}{168}=-0,375$. Làm tròn đến hàng phần chục: $\cos B\approx -0,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác bằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ có đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp: $S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{r(a+b+c)}{2}=pr$ với $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi. Vậy đáp án A đúng. Các phương án B, C, D sai (C, D nhầm với công thức $S=\frac{abc}{4R}$ với bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$. Thay $b=2,c=1$: $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\cdot \sin A=\sin A$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi AB = x (m), thì AC = 12 − x (m), với BC = 8 m và góc B = 60°.

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=x^2+64-2\cdot x\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=x^2-8x+64.$$
Mà AC = 12 − x nên:
$$(12-x{)}^2=x^2-8x+64\Rightarrow 144-24x+x^2=x^2-8x+64\Rightarrow 80=16x\Rightarrow x=5.$$
Vậy AB = 5 m, AC = 7 m (thỏa mãn điều kiện tam giác).
Chu vi tam giác ABC là: $P=AB+AC+BC=5+7+8=20$ (m).

b) Nửa chu vi: $p=\frac{20}{2}=10$ (m).
Diện tích tam giác:
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}({\text{m}}^2).$$
Bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}\approx 1,7(\text{m}).$$

Kết luận: a) Chu vi tam giác ABC là 20 m. b) Bán kính đường tròn nội tiếp dùng trồng hoa hồng là $\sqrt{3}\approx 1,7$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$ được tính bằng công thức $$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin 30°=6\cdot \frac{1}{2}=3.$$ Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Chu vi = 8+9+10 = 27 cm nên nửa chu vi p = 13,5 cm → a đúng. Theo định lí cosin: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (64+81−100)/144 = 45/144 = 0,3125, suy ra A ≈ 71,79° ≈ 72° → b đúng. sin A = √(1−0,3125²) ≈ 0,9499, diện tích S = ½·AB·AC·sin A ≈ ½·8·9·0,9499 ≈ 34,20 cm² ≠ 35,08 cm² → c sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/(2 sin A) ≈ 10/(2·0,9499) ≈ 5,26 cm ≠ 6,13 cm → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi tam giác là 8+9+10 = 27 cm, nên nửa chu vi p = 27/2 = 13,5 cm. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (8²+9²−10²)/(2·8·9) = 45/144 = 0,3125, nên A ≈ 71,79° ≈ 72° (làm tròn đến độ). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin A = √(1−0,3125²) ≈ 0,9499, S = ½·8·9·0,9499 ≈ 34,20 cm², không phải 35,08 cm². Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = BC/(2 sin A) ≈ 10/(2·0,9499) ≈ 5,26 cm, không phải 6,13 cm. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
12 đường tròn xếp thành 3 hàng, mỗi hàng 4 đường tròn, bán kính 13 nên khoảng cách hai tâm tiếp xúc ngang là 26, khoảng cách giữa hai hàng là $13\sqrt{3}$. Đặt hệ tọa độ: $B=(0;0)$, $C=(78;0)$ (cách nhau 3 khoảng), hàng trên cách hàng dưới $2\cdot 13\sqrt{3}=26\sqrt{3}$, tâm $A$ nằm trên cột thứ hai nên $A=(26;26\sqrt{3})$. Khi đó $BC=78$, $AB=AC=\sqrt{26^2+(26\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{676\cdot 4}=52$. Tam giác cân, đường cao $h=\sqrt{52^2-39^2}=\sqrt{1183}$, diện tích $S=\frac{78\sqrt{1183}}{2}=39\sqrt{1183}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S}=\frac{52\cdot 52\cdot 78}{4\cdot 39\sqrt{1183}}=\frac{1352}{\sqrt{1183}}\approx 39,309$. Vậy $R\approx 39,3$.