Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trọng lượng bóng đèn: $P=mg=0,4\cdot 10=4$ N. Do hai dây như nhau và đối xứng, lực căng hai dây bằng nhau $T$, mỗi dây hợp với phương thẳng đứng một góc $23^{\circ }$ (vì hai dây hợp nhau góc $46^{\circ }$). Phương trình cân bằng theo phương thẳng đứng: $2T\cos 23^{\circ }=P=4$, suy ra $T=\frac{2}{\cos 23^{\circ }}\approx \frac{2}{0,9205}\approx 2,17$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba góc: $\hat{C}=180^{\circ }-44^{\circ }-46^{\circ }=90^{\circ }$, tam giác vuông tại $C$. Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ nên $c=\frac{6\cdot \sin 90^{\circ }}{\sin 44^{\circ }}=\frac{6}{\sin 44^{\circ }}\approx \frac{6}{0,6947}\approx 8,638\approx 8,6$. Vậy chọn D.

Đoạn 1 $(AC)$: $t_1=S/v=10/100=0,1$ (giờ). (0,25)

Đoạn 2 & 3 $(CD$ và $DB)$: Xét tam giác $BCD$ có $BC=20$ km, $\hat{C}=45^{\circ }$, $\hat{B}=30^{\circ }$
- $\hat{D}=180^{\circ }-(45^{\circ }+30^{\circ })=105^{\circ }$.
- Áp dụng định lý hàm sin: $\frac{CD}{\sin B}=\frac{DB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin D}$.
- $CD=\frac{20\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}\approx 10,35$ (km) $\Rightarrow t_2=10,35/10\approx 1,035$ (giờ). (0,25)

$DB=\frac{20\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}\approx 14,64$ (km) $\Rightarrow t_3=14,64/50\approx 0,293$ (giờ). (0,25)

Tổng thời gian: $T=0,1+1,035+0,293\approx 1,428$ giờ (khoảng 1 giờ 26 phút). (0,25)

Đoạn 1 (AC): $t_1=S/v=10/100=0,1$ (giờ). — 0,25

Đoạn 2 & 3 (CD và DB): Xét tam giác BCD có $BC=20$ km, $\hat{C}=45^{\circ }$, $\hat{B}=30^{\circ }$
- $\hat{D}=180^{\circ }-(45^{\circ }+30^{\circ })=105^{\circ }$.
- Áp dụng định lý hàm sin: $\frac{CD}{\sin D}=\frac{DB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin D}$.
- $CD=\frac{20\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}\approx 10,35$ (km) $\Rightarrow t_2=10,35/10\approx 1,035$ (giờ). — 0,25

$DB=\frac{20\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}\approx 14,64$ (km) $\Rightarrow t_3=14,64/50\approx 0,293$ (giờ). — 0,25

Tổng thời gian: $T=0,1+1,035+0,293\approx 1,428$ giờ (khoảng 1 giờ 26 phút). — 0,25

Đoạn 1 $(AC)$: $t_1=S/v=10/100=0,1$ (giờ). (0,25)

Đoạn 2 & 3 $(CD$ và $DB)$: Xét tam giác $BCD$ có $BC=20$ km, $\hat{C}=45^{\circ }$, $\hat{B}=30^{\circ }$
- $\hat{D}=180^{\circ }-(45^{\circ }+30^{\circ })=105^{\circ }$.
- Áp dụng định lý hàm sin: $\frac{CD}{\sin B}=\frac{DB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin D}$.
- $CD=\frac{20\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}\approx 10,35$ (km) $\Rightarrow t_2=10,35/10\approx 1,035$ (giờ). (0,25)

$DB=\frac{20\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}\approx 14,64$ (km) $\Rightarrow t_3=14,64/50\approx 0,293$ (giờ). (0,25)

Tổng thời gian: $T=0,1+1,035+0,293\approx 1,428$ giờ (khoảng 1 giờ 26 phút). (0,25)

Đoạn 1 (AC): $t_1=S/v=10/100=0,1$ (giờ). — 0,25 điểm

Đoạn 2 & 3 (CD và DB): Xét tam giác BCD có $BC=20$ km, $\hat{C}=45^{\circ }$, $\hat{B}=30^{\circ }$
- $\hat{D}=180^{\circ }-(45^{\circ }+30^{\circ })=105^{\circ }$.
- Áp dụng định lý hàm sin: $\frac{CD}{\sin D}=\frac{DB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin D}$.
- $CD=\frac{20\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}\approx 10,35$ (km) $\Rightarrow t_2=10,35/10\approx 1,035$ (giờ). — 0,25 điểm

$DB=\frac{20\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 105^{\circ }}\approx 14,64$ (km) $\Rightarrow t_3=14,64/50\approx 0,293$ (giờ). — 0,25 điểm

Tổng thời gian: $T=0,1+1,035+0,293\approx 1,428$ giờ (khoảng 1 giờ 26 phút). — 0,25 điểm

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \sin A=10\sin A=5\sqrt{3}$, suy ra $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $\hat{A}>90^{\circ }$ nên $A=120^{\circ }$, do đó $\cos A=-\frac{1}{2}$. (a) Đúng; (b) Đúng. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+16-2\cdot 5\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=41+20=61$, nên $BC=\sqrt{61}\ne \sqrt{62}$, (c) Sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{61}{3}}\approx 4,51\ne \sqrt{20}\approx 4,47$, (d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$10\sin A=5\sqrt{3}\Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A>90^{\circ }$ và $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $A=120^{\circ }$, $\cos A=-\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=25+16+20=61\Rightarrow BC=\sqrt{61}\ne \sqrt{62}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{\sqrt{61}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{61}{3}}\ne \sqrt{20}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ trang 8, thứ tự các điểm trên đường thẳng là A – B – D (D nằm trên tia AB ngoài đoạn AB), với DB = 3 cm, BC = 6 cm, DC = 8 cm, AC = x, góc A vuông.

Tam giác ABC vuông tại A: $A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=36-x^2$.

Vì A – B – D nên $AD=AB+DB=AB+3$. Tam giác DAC vuông tại A:
$$D{C}^2=A{D}^2+A{C}^2=(AB+3{)}^2+x^2=A{B}^2+6AB+9+x^2=36+6AB+9=45+6AB.$$

Suy ra $64=45+6AB\Rightarrow AB=\frac{19}{6}$ cm.

Do đó $x^2=36-\frac{361}{36}=\frac{935}{36}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{935}}{6}\approx 5,0963$ cm.

Diện tích tam giác BCD lấy DB làm đáy, đường cao hạ từ C xuống đường thẳng AB chính là AC = x (vì $CA\perp AB$):
$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot DB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{935}}{6}=\frac{\sqrt{935}}{4}\approx 7,644\approx 7,6c{m}^2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình, tam giác $ACB$ vuông tại $C$ với $AC=120$ m, $AB=370$ m. Theo định lý Pythagore:
$$BC=\sqrt{370^2-120^2}=\sqrt{136900-14400}=\sqrt{122500}=350\text{ (m)}.$$

Gọi $CD=x$ (m) với $0\le x\le 350$. Khi đó $BD=350-x$ và $AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{120^2+x^2}=\sqrt{14400+x^2}$.

Tổng thời gian chạy từ $A$ đến $D$ rồi về hang $B$ là 30 giây:
$$\frac{\sqrt{14400+x^2}}{13}+\frac{350-x}{15}=30.$$

Nhân hai vế với $13\cdot 15=195$:
$$15\sqrt{14400+x^2}+13(350-x)=5850$$
$$\Rightarrow 15\sqrt{14400+x^2}=5850-4550+13x=1300+13x.$$

Bình phương hai vế (vế phải dương nên không sinh nghiệm ngoại lai về dấu):
$$225(14400+x^2)=(1300+13x{)}^2=1690000+33800x+169x^2$$
$$\Rightarrow 3240000+225x^2=169x^2+33800x+1690000$$
$$\Rightarrow 56x^2-33800x+1550000=0\Rightarrow 7x^2-4225x+193750=0.$$

Thử $x=50$: $7\cdot 2500-4225\cdot 50+193750=17500-211250+193750=0$ ✓.

Kiểm tra lại với $x=50$: $AD=\sqrt{120^2+50^2}=\sqrt{16900}=130$ m, thời gian $=\frac{130}{13}+\frac{350-50}{15}=10+20=30$ giây ✓, và điều kiện trước khi bình phương: $1300+13\cdot 50=1950=15\cdot 130$ ✓.

Nghiệm còn lại của phương trình là $x=\frac{193750}{7\cdot 50}=\frac{3875}{7}\approx 553,6>350$, loại vì $D$ phải nằm trên đoạn $CB$.

Vậy vị trí $C$ cách vị trí $D$ là $50$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=8^2+6^2-2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=64+36-96\cdot \frac{1}{2}=100-48=52$. Suy ra $BC=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Kết quả trùng với đáp án B đã cho trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$ với góc $\hat{B}=60^0$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=9^2+8^2-2\cdot 9\cdot 8\cdot \cos 60^0=81+64-144\cdot \frac{1}{2}=145-72=73$. Vậy $AC=\sqrt{73}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+64-36}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{53}{80}=0,6625$, suy ra $A\approx 48^{\circ }31^{\prime }$. Nửa chu vi $p=\frac{6+5+8}{2}=9,5$. Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9,5\cdot 3,5\cdot 4,5\cdot 1,5}=\sqrt{\frac{3591}{16}}=\frac{\sqrt{3591}}{4}\approx 14,98$. Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{3591}}{38}\approx 1,58$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$, suy ra $\hat{A}=60^{\circ }$.

Diện tích: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$.

Đường cao: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{20\sqrt{3}}{7}\approx 4,95$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx 4,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là điểm trên phương nằm ngang qua $A$, cùng phía với tòa nhà. Góc nâng từ $A$ tới đỉnh $B$ là $50^{\circ }$, tới chân $C$ là $40^{\circ }$.

a) Tính các góc tam giác $ABC$:
- Góc đỉnh $A$: đây là góc giữa hai tia $AB$ và $AC$, bằng hiệu hai góc nâng: $\widehat{BAC}=50^{\circ }-40^{\circ }=10^{\circ }$.
- Góc đỉnh $B$: vì $BC$ thẳng đứng, tia $BA$ tạo với phương nằm ngang góc $50^{\circ }$ nên tia $BA$ tạo với phương thẳng đứng góc $90^{\circ }-50^{\circ }=40^{\circ }$. Vậy $\widehat{ABC}=40^{\circ }$.
- Góc đỉnh $C$: $\widehat{ACB}=180^{\circ }-10^{\circ }-40^{\circ }=130^{\circ }$.

b) Tính chiều cao tòa nhà:
Đáy cột ăng-ten $C$ nằm trên nóc tòa nhà, $BC=5m$. Theo định lý sin trong tam giác $ABC$:
$$\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}\Rightarrow AC=\frac{5\cdot \sin 40^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}\approx \frac{5\cdot 0,6428}{0,1736}\approx 18,51m.$$
Khoảng cách thẳng đứng từ $C$ xuống mặt phẳng nằm ngang qua $A$ là:
$$h_1=AC\cdot \sin 40^{\circ }\approx 18,51\cdot 0,6428\approx 11,90m.$$
Vậy chiều cao của tòa nhà (từ mặt đất đến nơi $C$, tức đến đáy cột ăng-ten) là:
$$h=7+11,90\approx 18,9m.$$

Kết luận: a) Các góc của tam giác $ABC$ là $10^{\circ }$, $40^{\circ }$, $130^{\circ }$. b) Chiều cao của tòa nhà xấp xỉ $18,9m$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ với góc $\hat{C}=60^{\circ }$, $CA=200$ m, $CB=180$ m:
$$A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos 60^{\circ }=200^2+180^2-2\cdot 200\cdot 180\cdot \frac{1}{2}$$
$$=40000+32400-36000=36400$$
Suy ra $AB=\sqrt{36400}=20\sqrt{91}\approx 190,79$ (m).
Vậy khoảng cách $AB$ bằng $20\sqrt{91}\approx 190,79$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng đứng qua tháp $BC$ (chân tháp $C$ nằm trên đỉnh đồi, tháp cao $BC=100m$, đồi cao $AH=h$).

Vì $B$, $C$ nhìn $A$ dưới các góc so với phương thẳng đứng lần lượt là $30^{\circ }$ và $60^{\circ }$, ta có:
- Từ chân tháp $C$: $\tan 60^{\circ }=\frac{C{H}^{\prime }}{h}$ với $C{H}^{\prime }$ là khoảng cách ngang từ trục tháp đến $A$, suy ra khoảng cách ngang $x=h\tan 60^{\circ }=h\sqrt{3}$.
- Từ đỉnh tháp $B$: $\tan 30^{\circ }=\frac{x}{h+100}$, suy ra $x=\frac{h+100}{\sqrt{3}}$.

Suy ra: $h\sqrt{3}=\frac{h+100}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3h=h+100\Rightarrow 2h=100\Rightarrow h=50$.

Vậy chiều cao của ngọn đồi là $AH=50m$.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{13+14+15}{2}=21$. Diện tích theo công thức Heron: $S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6:

a) Với $a=7,b=8,c=6$: nửa chu vi $p=\frac{7+8+6}{2}=\frac{21}{2}$.

Theo công thức Heron:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\frac{21}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{6615}{16}}=\frac{21\sqrt{15}}{4}.$$

Chiều cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot \frac{21\sqrt{15}}{4}}{7}=\frac{3\sqrt{15}}{2}.$

b) Với $b=7,c=5,\cos A=\frac{3}{5}$ (vì $0<A<\pi$ nên $\sin A=\frac{4}{5}$):
$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14.$$

Theo định lí cosin:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}.$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$$

Nửa chu vi $p=\frac{4\sqrt{2}+7+5}{2}=6+2\sqrt{2}$, bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{36-8}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{28}=3-\sqrt{2}.$$

Vậy $S=\frac{21\sqrt{15}}{4}$, $h_a=\frac{3\sqrt{15}}{2}$; và $S=14$, $R=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $r=3-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi: $p=\frac{21+17+10}{2}=24$.

a) Diện tích theo công thức Heron:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{24\cdot 3\cdot 7\cdot 14}=\sqrt{7056}=84.$$
Chiều cao $h_a$: $S=\frac{1}{2}a{h}_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{168}{21}=8$.

b) Bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{24}=\frac{7}{2}=3,5.$$
Trung tuyến $m_a$ (từ đỉnh A xuống cạnh BC=a):
$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 17^2+2\cdot 10^2-21^2}=\frac{1}{2}\sqrt{578+200-441}=\frac{\sqrt{337}}{2}.$$
Vậy $S=84$, $h_a=8$, $r=3,5$, $m_a=\frac{\sqrt{337}}{2}\approx 9,18$.