Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: Cho tam giác ABC với  = 60°, b = AC = 20, c = AB = 25.

a) Diện tích: S = (1/2)bc·sin A = (1/2)·20·25·sin 60° = 250·(√3/2) = 125√3.

Tính cạnh a bằng định lí cosin: a² = b² + c² − 2bc·cos A = 400 + 625 − 2·20·25·(1/2) = 1025 − 500 = 525, nên a = 5√21.

Chiều cao: h_a = 2S/a = 250√3/(5√21) = 50√3/√21 = 50/√7 = 50√7/7 ≈ 18,9.

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = a/(2sin A) = 5√21/(2·(√3/2)) = 5√21/√3 = 5√7 ≈ 13,23.

Nửa chu vi: p = (a + b + c)/2 = (5√21 + 45)/2.

Bán kính đường tròn nội tiếp: r = S/p = 125√3·2/(45 + 5√21) = 250√3/(45 + 5√21) = 50√3/(9 + √21). Nhân liên hợp: r = 50√3(9 − √21)/(81 − 21) = 50√3(9 − √21)/60 = (5√3(9 − √21))/6 = (15√3 − 5√7)/2 ≈ 6,38 (kiểm tra: 216,5/33,96 ≈ 6,375 ✓).

Vậy S = 125√3, h_a = 50√7/7, R = 5√7, r = (15√3 − 5√7)/2.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: a) Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{13^2+15^2-12^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{169+225-144}{390}=\frac{250}{390}=\frac{25}{39}$. Vậy $A=\arccos \frac{25}{39}\approx 50,2^{\circ }$. b) Với $AB=c=5$, $AC=b=8$, $\hat{A}=60^{\circ }$, định lí cosin cho: $B{C}^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$, suy ra $BC=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng ($\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$), B đúng ($\frac{a}{\sin A}=2R$), D đúng ($b=2R\sin B$). C sai vì từ $\frac{b}{\sin B}=2R$ suy ra $b=2R\sin B$, chứ không phải $b\sin B=2R$. Vậy hệ thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ (với $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$): $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó mệnh đề đúng là phương án B. Các phương án A (dấu + sai), C và D (góc không tương ứng với cạnh $a$) đều sai.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=8^2+10^2-2\cdot 8\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=64+100-80=84$. Suy ra $c=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=100-48=52$. Vậy $a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1: a) sin(180°−A)=sin A đúng vì A là góc trong tam giác (0°<A<180°) và sin(180°−x)=sin x. b) cos(180°−A)=−cos A, nên khẳng định cos(180°−A)=cos A sai. c) Diện tích tam giác S=(1/2)ab·sin C đúng (a, b là hai cạnh kề góc C). d) Công thức Heron đúng là S=√(p(p−a)(p−b)(p−c)) với p=nửa chu vi; biểu thức thiếu thừa số p nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì 0°<A<180° nên sin(180°−A)=sin A (đúng).
b) (AI giải đề cho tôi)
cos(180°−A)=−cos A, khác cos A (trừ khi cos A=0), nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
S=(1/2)ab·sin C là công thức diện tích tam giác đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Heron: S=√(p(p−a)(p−b)(p−c)); biểu thức đề bài thiếu p nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Cho tam giác ABC):
a) Sai. Theo công thức sin(180° − A) = sin A, không phải cos A (vì A ∈ (0°;180°) nên sin A > 0).
b) Đúng. cos(90° − A) = sin A là công thức đồng phụ đúng với mọi góc A.
c) Đúng. Diện tích tam giác: S = (1/2)·a·b·sin C, với a = BC, b = CA và góc C xen giữa hai cạnh này.
d) Đúng. Công thức Heron: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) với p = (a+b+c)/2 là nửa chu vi.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin(180° − A) = sin A, không phải cos A.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đồng phụ: cos(90° − A) = sin A.
c) (AI giải đề cho tôi)
S = (1/2)ab·sin C với a, b là hai cạnh kề góc C.
d) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Heron với p = (a+b+c)/2.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5 (trang 16): Cho tam giác $ABC$.
a) Sai. Theo công thức lượng giác, $\sin (90^0-A)=\cos A$, không phải $\sin A$.
b) Sai. $\cos (90^0-A)=\sin A$, không phải $\cos A$.
c) Sai. Diện tích tam giác là $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (hai cạnh $a,b$ kèm góc $C$), công thức với $\cos C$ là sai.
d) Sai. Diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp là $S=pr$ (với $p$ là nửa chu vi, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp), không phải $S=pR$ ($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Vậy cả bốn ý đều sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác, $\sin (90^0-A)=\cos A\ne \sin A$ (nói chung).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (90^0-A)=\sin A\ne \cos A$ (nói chung).
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $S=\frac{1}{2}ab\sin C$, không phải với $\cos C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $S=pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp; $S=pR$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác có các cạnh 7, 9, 12. Nửa chu vi: $p=\frac{7+9+12}{2}=14$ → a) đúng. Diện tích theo Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{980}=14\sqrt{5}\ne 13\sqrt{5}$ → b) sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\cdot 9\cdot 12}{4\cdot 14\sqrt{5}}=\frac{756}{56\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{50}\ne \frac{7\sqrt{5}}{10}$ → c) sai. Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{14\sqrt{5}}{14}=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$ → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{7+9+12}{2}=14$
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=14\sqrt{5}\ne 13\sqrt{5}$
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{756}{56\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{50}\ne \frac{7\sqrt{5}}{10}$
d) (AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{S}{p}=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $a=3,b=4,c=5$ (cm). Nửa chu vi $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}=6$ (cm), nên ý a) $p=12$ cm là SAI. b) Công thức Heron $S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ là ĐÚNG. c) $S=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-1)}=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{36}=6(c{m}^2)$, ĐÚNG (thực tế tam giác vuông tại $A$ vì $3^2+4^2=5^2$, diện tích $=\frac{3\cdot 4}{2}=6$). d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{abc}{4S}=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6}=\frac{60}{24}=2,5$ (cm) $\ne 3,5$ cm, nên ý d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{3+4+5}{2}=6$ (cm), không phải 12 cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đây đúng là công thức Heron tính diện tích tam giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6(c{m}^2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{60}{24}=2,5$ (cm) $\ne 3,5$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<A<\pi$ và $\cos A=\frac{3}{5}>0$ nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ → a) đúng. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$ → b) đúng. Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32$, suy ra $a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$ → c) sai. Nửa chu vi $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4\sqrt{2}+12}{2}=6+2\sqrt{2}$, bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=\frac{14(6-2\sqrt{2})}{36-8}=\frac{6-2\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{2}\ne 4-\sqrt{2}$ → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<A<\pi$ và $\cos A=\frac{3}{5}>0$ nên $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$p=6+2\sqrt{2}$, $r=\frac{S}{p}=\frac{14}{6+2\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}\ne 4-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-40=49$. Suy ra $b=7$. Vậy đáp án A.

Chọn A. Có $S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=2000\sqrt{3}$

Áp dụng định lý cosin có: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB.BC.\cos \widehat{ABC}=819\Rightarrow AC\approx 29$. Kết quả: 29

Chọn A. Theo định lý Sin có $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow 2R=\frac{10}{\sin 30^0}=20$

Chọn A. Công thức đúng $S=\frac{1}{2}bc\sin A$

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos 30^{\circ }=300+400-2\cdot 10\sqrt{3}\cdot 20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=700-600=100\Rightarrow AB=10$ (ý a đúng). Định lí sin: $\frac{\sin A}{BC}=\frac{\sin C}{AB}\Rightarrow \sin A=\frac{20\cdot \frac{1}{2}}{10}=1\Rightarrow A=90^{\circ }$, suy ra $B=60^{\circ }$ (ý b sai). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 20\cdot \frac{1}{2}=50\sqrt{3}$ (ý c đúng). Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $A^{\prime }$, $C^{\prime }=45^{\circ }$ nên cân, cạnh huyền $B^{\prime }{C}^{\prime }=50\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{50}{\sqrt{2}}=25\sqrt{2}$, $S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}(25\sqrt{2}{)}^2=625$. Tỉ số $\frac{S_{ABC}}{S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{50\sqrt{3}}{625}=\frac{2\sqrt{3}}{25}\ne \frac{2\sqrt{2}}{25}$ (ý d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$A{B}^2=300+400-600=100\Rightarrow AB=10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=1\Rightarrow A=90^{\circ }\Rightarrow B=60^{\circ }\ne 90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 20\cdot \frac{1}{2}=50\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=625$, tỉ số $=\frac{2\sqrt{3}}{25}\ne \frac{2\sqrt{2}}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình thập nhị giác đều (khoảng cách từ tâm $O$ đến một đỉnh, chính là các đoạn $OA,OB$ được đánh dấu trên hình). Đồng xu có một đỉnh hướng lên trên và cũng có đỉnh hướng ngang (các đỉnh cách nhau $30^{\circ }$), nên cả chiều ngang lẫn chiều dọc, điểm xa nhất của xu so với tâm là một đỉnh, cách tâm đúng $R$. Diện tích hình thập nhị giác đều: $S=\frac{n{R}^2\sin \frac{360^{\circ }}{n}}{2}=\frac{12R^2\sin 30^{\circ }}{2}=3R^2$. Vì các xu chạm nhau tại các đỉnh (điểm xa nhất theo mọi hướng là đỉnh), khoảng cách giữa tâm hai xu kề nhau theo cả chiều ngang lẫn chiều dọc là $2R$. Với 4 xu ngang và 2 xu dọc, tờ tiền là hình chữ nhật có kích thước: chiều rộng $=4\cdot 2R=8R$, chiều cao $=2\cdot 2R=4R$ (các xu ngoài cùng chạm mép tờ tiền tại các đỉnh). Diện tích tờ tiền: $8R\cdot 4R=32R^2$. Diện tích bị che phủ: $8\cdot 3R^2=24R^2$. Diện tích không bị che phủ: $32R^2-24R^2=8R^2$. Tỉ số cần tìm: $\frac{8R^2}{32R^2}=\frac{1}{4}$, tức $a=1,b=4$.