Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+36-64}{60}=\frac{-3}{60}=-0,05$. Suy ra $A=\arccos (-0,05)\approx 92,9^{\circ }\approx 93^{\circ }$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=136-60=76$. Suy ra $BC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=(7+9+12)/2=14$ nên a đúng. Diện tích theo Heron: $S=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{980}=14\sqrt{5}$, nên b sai ($13\sqrt{5}$ sai). Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\cdot 9\cdot 12}{4\cdot 14\sqrt{5}}=\frac{756}{56\sqrt{5}}=\frac{27\sqrt{5}}{10}$, nên c sai. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=S/p=14\sqrt{5}/14=\sqrt{5}$, nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p=(7+9+12)/2=14$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{14\cdot 7\cdot 5\cdot 2}=14\sqrt{5}\ne 13\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=abc/(4S)=756/(56\sqrt{5})=27\sqrt{5}/10\ne 7\sqrt{5}/10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$r=S/p=14\sqrt{5}/14=\sqrt{5}\ne \sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Cho tam giác ABC có A=60°, AC=8cm, AB=5cm.

a) Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=49$, suy ra $BC=7$ cm.

b) Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

c) Nửa chu vi $p=\frac{5+8+7}{2}=10$ cm.
- Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$ cm.
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S}=\frac{5\cdot 8\cdot 7}{40\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ cm.

d) Tính góc C: $\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{64+49-25}{80}=\frac{1}{2}$, nên $C=60^{\circ }$.

Vì M đối xứng với B qua C nên C là trung điểm BM, do đó $CM=BC=7$ cm và A, C, M không thẳng hàng. Góc $\widehat{ACM}=180^{\circ }-\widehat{ACB}=120^{\circ }$.

Theo định lí cosin trong tam giác ACM:
$A{M}^2=A{C}^2+C{M}^2-2\cdot AC\cdot CM\cdot \cos 120^{\circ }=64+49+56=169$, suy ra $AM=13$ cm.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM (đối với cạnh AM, góc đối là góc C = 120°):
$R^{\prime }=\frac{AM}{2\sin \widehat{ACM}}=\frac{13}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{13}{\sqrt{3}}=\frac{13\sqrt{3}}{3}$ cm.

Kết luận: a) $BC=7$ cm; b) $S=10\sqrt{3}{\text{cm}}^2$; c) $r=\sqrt{3}$ cm, $R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ cm; d) $R^{\prime }=\frac{13\sqrt{3}}{3}$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=25+64-40=49\Rightarrow BC=7$. Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. Đường cao từ $A$: $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{20\sqrt{3}}{7}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm A, B, C nằm trên vành đĩa nên thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bán kính đường tròn: $R=\frac{abc}{4S}$ với $a=BC=7,5$; $b=AC=3,7$; $c=AB=4,3$.

Nửa chu vi: $p=\frac{4,3+3,7+7,5}{2}=7,75$.

Diện tích theo Heron:
$$S=\sqrt{7,75\cdot (7,75-4,3)(7,75-3,7)(7,75-7,5)}=\sqrt{7,75\cdot 3,45\cdot 4,05\cdot 0,25}=\sqrt{27,07171875}\approx 5,2031(c{m}^2).$$

Bán kính đĩa:
$$R=\frac{4,3\cdot 3,7\cdot 7,5}{4\cdot 5,2031}=\frac{119,025}{20,8124}\approx 5,7190(cm).$$

Diện tích chiếc đĩa:
$$\pi R^2=3,1416\cdot (5,7190{)}^2\approx 3,1416\cdot 32,707\approx 102,75\approx 103(c{m}^2).$$

Vậy diện tích chiếc đĩa trước khi bị vỡ xấp xỉ $103c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh $C$ xuống mặt đất, $AH=d$. Theo hình vẽ, $A$ nằm trên mặt đất, $B$ cao hơn $A$ một khoảng $AB=70$ m (tháp quan sát đứng trên mặt đất tại $A$).

Từ vị trí $A$: góc nâng của $AC$ so với phương ngang là $30^{\circ }$, nên
$$CH=d\cdot \tan 30^{\circ }.$$

Từ vị trí $B$: góc nâng của $BC$ so với phương ngang là $15^{\circ }30^{\prime }$, nên
$$CH-70=d\cdot \tan 15^{\circ }30^{\prime }.$$

Trừ hai vế:
$$70=d\left(\tan 30^{\circ }-\tan 15^{\circ }30^{\prime }\right).$$

Thay số: $\tan 30^{\circ }\approx 0,57735$, $\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\tan 15,5^{\circ }\approx 0,27732$.
$$d=\frac{70}{0,57735-0,27732}=\frac{70}{0,30003}\approx 233,31\text{ m}.$$

Độ cao ngọn núi:
$$CH=233,31\cdot \tan 30^{\circ }\approx 233,31\cdot 0,57735\approx 134,7\text{ m}.$$

Vậy ngọn núi cao xấp xỉ $135$ m so với mặt đất.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\hat{B}+\hat{C}=90^{\circ }$, do đó $\hat{C}=60^{\circ }$. Khi đó: $\cos B=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$ (khẳng định A sai); $\sin C=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (B đúng); $\cos C=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (C đúng); $\sin B=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ (D đúng). Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hoa có 5 cánh, mỗi cánh là cung tròn bán kính $r$, tâm cách $O$ một khoảng $45$ cm nên các tâm nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $45$ cm; hai tâm liền kề thấy nhau dưới góc $\frac{360^{\circ }}{5}=72^{\circ }$ tại $O$.

Gọi $I$ là tâm một cánh hoa, $M$ là giao điểm của hai cung liền kề ($OM=40$ cm). Vì $O$ cách hai tâm liền kề bằng nhau nên $OM$ là phân giác của góc $72^{\circ }$, suy ra góc giữa $OM$ và $OI$ bằng $36^{\circ }$.

Trong tam giác $OIM$ ($OI=45$, $OM=40$, $\hat{O}=36^{\circ }$), theo định lý cosin:
$$r^2=40^2+45^2-2\cdot 40\cdot 45\cos 36^{\circ }=3625-2912,46=712,54\Rightarrow r\approx 26,693\text{ cm}.$$

Định lý sin: $\sin \hat{M}=\frac{45\sin 36^{\circ }}{26,693}\approx 0,9909\Rightarrow \hat{M}\approx 82,26^{\circ }$, suy ra $\hat{I}\approx 61,74^{\circ }$.

Hai giao điểm của một cánh hoa với hai cánh bên cạnh đối xứng qua $OI$ nên góc ở tâm $I$ giữa hai giao điểm là $2\cdot 61,74^{\circ }\approx 123,49^{\circ }$. Phần cánh hoa (nét liền) là cung lớn:
$$\theta =360^{\circ }-123,49^{\circ }=236,51^{\circ }\approx 4,1277\text{ rad}.$$

Độ dài một cánh hoa: $r\theta \approx 26,693\cdot 4,1277\approx 110,18$ cm. Tổng cho 5 cánh: $5\cdot 110,18\approx 550,9$ cm $\approx 5,51$ m.

Vậy cô cần mua khoảng $5,51$ m dây kim tuyến, trùng với đáp án $5,51$ trong bảng đáp án (mã đề 101, Câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$, suy ra $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ vì $a=BC$, $b=AC$ là hai cạnh kề góc $C$. Các đáp án B, D dùng sai góc tương ứng, C dùng cos thay vì sin. Khớp đáp án A (mã đề 1002, câu 11).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: AB = 60 m, góc A = 85°, góc B = 45° nên góc C = 180° - 85° - 45° = 50°. Theo định lí sin: BC/sin A = AB/sin C, suy ra BC = 60·sin85°/sin50° ≈ 60·0,9962/0,7660 ≈ 78,03 ≈ 78 m. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 4 = 78).

(AI giải đề cho tôi)
**Câu a)** Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{4}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{4}{2\cdot 0,5}=4$.

**Câu b)** Gọi $D$ là chân tháp, $AD=370$ m, $B,C$ trên mặt đất.

Trong tam giác vuông $ADB$ (vuông tại $D$), góc giữa phương thẳng đứng $AD$ và đường ngắm $AB$ là $66^{\circ }$:
$$AB=\frac{AD}{\cos 66^{\circ }}=\frac{370}{\cos 66^{\circ }}\approx 909,716\text{m},BD=370\tan 66^{\circ }\approx 831,034\text{m}.$$

Tương tự với $C$ (góc $65^{\circ }$):
$$AC=\frac{370}{\cos 65^{\circ }}\approx 875,504\text{m},DC=370\tan 65^{\circ }\approx 793,468\text{m}.$$

Gọi $\phi =\widehat{BDC}$ (góc ở chân tháp giữa hai phương nằm ngang tới $B$ và $C$). Áp dụng định lí cosin cho góc $\widehat{BAC}=55^{\circ }$ trong tam giác $ABC$, với $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=BD\cdot DC\cos \phi +A{D}^2$:
$$\cos 55^{\circ }=\frac{BD\cdot DC\cos \phi +A{D}^2}{AB\cdot AC}.$$
$$\Rightarrow \cos \phi =\frac{AB\cdot AC\cos 55^{\circ }-A{D}^2}{BD\cdot DC}=\frac{796460,7\cdot 0,5735764-136900}{659398,2}\approx \frac{456848,6-136900}{659398,2}\approx 0,48521.$$
$$\Rightarrow \phi \approx 60,98^{\circ },\sin \phi \approx 0,87440.$$

Diện tích tam giác $BCD$ (nằm trên mặt đất):
$$S_{BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot DC\cdot \sin \phi =\frac{1}{2}\cdot 659398,2\cdot 0,87440\approx 288277,6{\text{m}}^2.$$

Vậy $S_{BCD}\approx 288277,6m^2$ (làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $\hat{A}=85^{\circ }$, $\hat{B}=45^{\circ }$ nên $\hat{C}=180^{\circ }-85^{\circ }-45^{\circ }=50^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 50^{\circ }}=\frac{60}{\sin 50^{\circ }}$. Suy ra $AC=\frac{60\sin 45^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\approx \frac{60\cdot 0,7071}{0,7660}\approx 55,4\approx 55$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4: 55).

(AI giải đề cho tôi)
**Câu a)** Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{3}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{3}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

**Câu b)** Gọi $D$ là chân tháp, $AD=380$ m, $A$ là vị trí người đứng. Tam giác $ABD$ vuông tại $D$, góc giữa phương thẳng đứng $AD$ và đường ngắm $AB$ bằng $66^{\circ }$ nên:
$$AB=\frac{AD}{\cos 66^{\circ }}=\frac{380}{\cos 66^{\circ }}\approx 934,348\text{m},BD=380\tan 66^{\circ }\approx 853,494\text{m}.$$
Tương tự với $C$: góc giữa $AD$ và $AC$ bằng $55^{\circ }$:
$$AC=\frac{380}{\cos 55^{\circ }}\approx 662,513\text{m},CD=380\tan 55^{\circ }\approx 542,696\text{m}.$$
Góc $\widehat{BAC}=50^{\circ }$, áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 50^{\circ }\approx 873006+438923-795795=516134.$$
Trong tam giác $BCD$, định lí cosin cho góc $\widehat{BDC}$:
$$\cos \widehat{BDC}=\frac{B{D}^2+C{D}^2-B{C}^2}{2\cdot BD\cdot CD}=\frac{728452+294519-516134}{2\cdot 853,494\cdot 542,696}\approx \frac{506837}{926366}\approx 0,5471.$$
Suy ra $\sin \widehat{BDC}\approx 0,8371$.
Diện tích tam giác $BCD$:
$$S=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot CD\cdot \sin \widehat{BDC}\approx \frac{1}{2}\cdot 853,494\cdot 542,696\cdot 0,8371\approx 193859,9{\text{m}}^2.$$
Vậy diện tích tam giác $BCD$ xấp xỉ $193859,9m^2$ (khoảng $193860m^2$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác ABC với $AB=c,AC=b,BC=a$, cạnh $c=AB$ đối diện góc $C$, nên $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. Do đó đáp án đúng là D, trùng với bảng đáp án (mã đề 1001, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tính theo hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}ac\sin B$. Các đáp án A (thiếu hệ số $\frac{1}{2}$), B và C dùng sai góc (góc xen giữa hai cạnh $a$ và $c$ là góc $B$, không phải $C$ hay $A$). Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=100+256-160=196\Rightarrow AC=14$ (b đúng). $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{100+196-256}{280}=\frac{1}{7}$ (a đúng). $\cos C=\frac{B{C}^2+A{C}^2-A{B}^2}{2\cdot BC\cdot AC}=\frac{256+196-100}{448}=\frac{11}{14}$. Khi đó $T=3\cdot \frac{1}{2}-2\cdot \frac{1}{7}+\frac{11}{14}=\frac{21-4+11}{14}=2\ne 3$ (c sai). Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{14}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{100+196-256}{280}=\frac{1}{7}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A{C}^2=10^2+16^2-2\cdot 10\cdot 16\cdot \cos 60^{\circ }=196\Rightarrow AC=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $\cos B=\frac{1}{2},\cos A=\frac{1}{7},\cos C=\frac{11}{14}$ ta được $T=\frac{3}{2}-\frac{2}{7}+\frac{11}{14}=2\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các cạnh bên của chóp đều $S.ABCD$ là $SA=SB=SC=SD=200$ m, góc ở đỉnh mỗi mặt bên là $\widehat{ASB}=15^{\circ }$. Đường gấp khúc $AEFGHIJKLS$ đi từ $A$, vòng quanh kim tự tháp, cắt lần lượt các cạnh bên tại $E,F,G,H,I,J,K,L$ (8 điểm) rồi kết thúc tại $L$ với $LS=40$ m.

Trải 4 mặt bên ra cùng một mặt phẳng, xoay quanh đỉnh $S$. Mỗi lần đường gấp khúc vượt qua một cạnh bên, ta trải thêm một tam giác với góc ở đỉnh $15^{\circ }$. Sau 8 lần vượt qua cạnh bên, tổng góc quét được là $8\cdot 15^{\circ }=120^{\circ }$.

Trong mặt phẳng đã trải: $A$ nằm cách $S$ một khoảng $SA=200$, còn ảnh $L^{\prime }$ của điểm $L$ nằm trên tia tạo với tia $SA$ góc $120^{\circ }$ và $S{L}^{\prime }=40$. Độ dài nhỏ nhất của đường gấp khúc từ $A$ đến $L$ là độ dài đoạn thẳng $A{L}^{\prime }$ (đoạn thẳng này cắt tất cả các tia cạnh bên trung gian nên khả thi):
$$A{L}^{\prime }=\sqrt{200^2+40^2-2\cdot 200\cdot 40\cdot \cos 120^{\circ }}=\sqrt{40000+1600+8000}=\sqrt{49600}=40\sqrt{31}\approx 222,71\text{ m}.$$

Cộng thêm đoạn cố định $LS=40$ m, tổng độ dài dây nhỏ nhất là
$$40\sqrt{31}+40=40\left(\sqrt{31}+1\right)\approx 262,71\approx 263\text{ m}.$$

Vậy cần dùng ít nhất khoảng 263 m dây đèn led, khớp với đáp án đã cho (bảng đáp án mã đề 101, Phần III câu 4: 263).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Ví dụ kiểm chứng: tam giác đều cạnh $a$ có $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$, khi đó $\frac{a}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2a}{\sqrt{3}}=2R$. Vậy khẳng định đúng là phương án C.