Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{5+12+13}{2}=\frac{30}{2}=15$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 219, Câu 2: 15).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MON: $M{N}^2=O{M}^2+O{N}^2-2\cdot OM\cdot ON\cdot \cos \widehat{MON}=200^2+500^2-2\cdot 200\cdot 500\cdot \cos 135^{\circ }=40000+250000+200000\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=290000+100000\sqrt{2}\approx 431421,36$. Suy ra $MN\approx \sqrt{431421,36}\approx 656,83\approx 657$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (657).

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AD$ ta có:

$$CH=AD=4\Rightarrow \widehat{HDC}=45^0;CD=4\sqrt{2}$$ (0.25 điểm)

Do $9IC=7CD\Rightarrow \frac{IC}{ID}=\frac{7}{9}\Rightarrow \frac{ID}{CD}=\frac{9}{16}\Rightarrow ID=\frac{9}{16}.4\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$

Tam giác $AID$ Ta có:

$$A{I}^2=I{D}^2+A{D}^2-2ID.AD.\cos \widehat{ADI}=\frac{153}{8}\Rightarrow AI=\frac{3\sqrt{34}}{4}$$

Do đó $a+b=3+4=7$. (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{5+12+13}{2}=\frac{30}{2}=15$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (15).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác MON: $M{N}^2=O{M}^2+O{N}^2-2\cdot OM\cdot ON\cdot \cos \widehat{MON}=200^2+500^2-2\cdot 200\cdot 500\cdot \cos 135^{\circ }=40000+250000+200000\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 431421,36$. Suy ra $MN\approx 656,83\approx 657$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (657).

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AD$ ta có:

$$CH=AB=4\Rightarrow \widehat{HDC}=45^0;CD=4\sqrt{2}$$ (0.25 điểm)

Do $9IC=7ID\Rightarrow \frac{IC}{ID}=\frac{7}{9}\Rightarrow \frac{ID}{CD}=\frac{9}{16}\Rightarrow ID=\frac{9}{16}.4\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$

Tam giác $AID$ Ta có:

$$A{I}^2=I{D}^2+A{D}^2-2ID.AD.\cos \widehat{ADI}=\frac{153}{8}\Rightarrow AI=\frac{3\sqrt{34}}{4}$$

Do đó $a+b=3+4=7$. (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: $\hat{B}=180^{\circ }-135^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{b}{\sin B}=2R$, nên $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{15}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{15}{2\cdot \frac{1}{2}}=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh $C$ xuống mặt đất, $K$ là điểm trên $CH$ có cùng độ cao với $B$ (nên $BK$ nằm ngang). Theo hình vẽ, $A$ nằm trên mặt đất, $B$ cao hơn $A$ một khoảng $AB=70$ m, nên $KH=70$ m và $CK=h-70$ với $h=CH$ là chiều cao ngọn núi; đồng thời $BK=AH$ là khoảng cách ngang.

Từ $A$, góc nâng nhìn đỉnh $C$ là $30^{\circ }$:
$$\tan 30^{\circ }=\frac{h}{AH}\Rightarrow AH=\frac{h}{\tan 30^{\circ }}=h\sqrt{3}.$$

Từ $B$, góc nâng nhìn đỉnh $C$ là $15^{\circ }30^{\prime }$:
$$\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{CK}{BK}=\frac{h-70}{h\sqrt{3}}.$$

Suy ra $h-70=h\sqrt{3}\tan 15^{\circ }30^{\prime }$. Với $\tan 15^{\circ }30^{\prime }\approx 0,27732$ thì $\sqrt{3}\tan 15^{\circ }30^{\prime }\approx 0,48032$, nên
$$h(1-0,48032)=70\Rightarrow h=\frac{70}{0,51968}\approx 134,7\text{ m}.$$

Vậy chiều cao của ngọn núi so với mặt đất khoảng $135$ m (làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin B}$, nên $BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin B}=\frac{5\sin 40^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{5\cdot 0,6428}{0,8660}\approx 3,71$. Vậy $BC$ gần nhất với $3,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: $\hat{B}=180^{\circ }-135^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{b}{\sin B}=2R\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{12}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{12}{2\cdot \frac{1}{2}}=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống mặt đất, $K$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ song song với mặt đất với $CH$ (như hình vẽ trong đề). Khi đó $BK\perp CH$, $BK=AH$, $KH=AB=70$ m nên $CK=CH-70$.

Trong tam giác vuông $ACH$ (góc $A$ bằng $30^{\circ }$):
$$\tan 30^{\circ }=\frac{CH}{AH}\Rightarrow AH=\frac{CH}{\tan 30^{\circ }}=CH\cdot \cot 30^{\circ }.$$

Trong tam giác vuông $BCK$ (góc $B$ bằng $15^{\circ }30^{\prime }$):
$$\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{CK}{BK}=\frac{CH-70}{AH}\Rightarrow AH=(CH-70)\cot 15^{\circ }30^{\prime }.$$

Suy ra:
$$CH\cdot \cot 30^{\circ }=(CH-70)\cot 15^{\circ }30^{\prime }$$
$$CH\left(\cot 15^{\circ }30^{\prime }-\cot 30^{\circ }\right)=70.$$

Với $\cot 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{1}{\tan 15^{\circ }30^{\prime }}\approx \frac{1}{0,2773}\approx 3,6059$ và $\cot 30^{\circ }\approx 1,7321$:
$$CH=\frac{70}{3,6059-1,7321}=\frac{70}{1,8738}\approx 37,4\text{ (m)}.$$

Vậy chiều cao của ngọn núi so với mặt đất, làm tròn đến hàng đơn vị, là $\boxed{37}$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=4+1-2=3$. Suy ra $BC=\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tính theo hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ vì $a=BC$, $b=AC$ và góc xen giữa hai cạnh này là góc $C$ (đỉnh $C$). Kiểm tra: $S=\frac{1}{2}BC\cdot AC\cdot \sin \widehat{ACB}$, đúng. Các phương án B, C, D dùng sai góc (góc không xen giữa cặp cạnh $a$, $b$) nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có B=120°, a=BC=7, b=AC=13.

a) Theo định lí sin: R = b/(2 sin B) = 13/(2·sin120°) = 13/(2·√3/2) = 13/√3. Đúng.

c) Định lí cosin tại B: AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos120° ⇒ 169 = c² + 49 + 7c ⇒ c² + 7c − 180 = 0 ⇒ c = (−7 + √769)/2 ≈ 10,37 ≠ 9. Sai.

b) Diện tích S = ½·AB·BC·sin B = ½·((−7+√769)/2)·7·(√3/2) ≈ 31,44. Đường cao BH = 2S/AC ≈ 62,88/13 ≈ 4,84 ≠ 26√3/3 ≈ 15,01. Sai.

d) Nửa chu vi p = (7+13+c)/2 ≈ 15,18, r = S/p ≈ 2,07, diện tích hình tròn nội tiếp = πr² ≈ 13,5π/π... cụ thể ≈ 13,5 ≠ 3π. Sai.

Kết luận: chỉ ý a) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = AC/(2 sin B) = 13/(2·(√3/2)) = 13/√3. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (−7+√769)/2 ≈ 10,37; S = ½·AB·BC·sin120° ≈ 31,44 nên BH = 2S/AC ≈ 4,84 ≠ 26√3/3 ≈ 15,01. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
169 = AB² + 49 + 7AB ⇒ AB² + 7AB − 180 = 0 ⇒ AB = (−7+√769)/2 ≈ 10,37 ≠ 9. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
p ≈ 15,18, r = S/p ≈ 2,07, S_ht = πr² ≈ 13,5 ≠ 3π. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{64+25-49}{80}=\frac{1}{2}$, nên $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AC=800$ m, $CB=723$ m, $\widehat{ACB}=120^{\circ }$:
$$A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot \cos 120^{\circ }=800^2+723^2-2\cdot 800\cdot 723\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$=640000+522729+578400=1741129.$$
Suy ra $AB=\sqrt{1741129}\approx 1319,52$ m, làm tròn đến hàng đơn vị: $AB\approx 1320$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1320).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin tại đỉnh B: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{9+25-36}{30}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}$. Suy ra $\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{225}}=\frac{\sqrt{224}}{15}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{224}}{15}=\frac{\sqrt{224}}{2}=\sqrt{56}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 1002, Câu 7 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ cho $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Thật vậy, vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ nên $a^2=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{|}^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó mệnh đề đúng là B, khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1002: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin tại đỉnh B: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{9+25-36}{30}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}$. Suy ra $\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{225}}=\sqrt{\frac{224}{225}}=\frac{4\sqrt{14}}{15}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \frac{4\sqrt{14}}{15}=2\sqrt{14}=\sqrt{56}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Câu 10, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot \cos \widehat{ACB}=800^2+723^2-2\cdot 800\cdot 723\cdot \cos 120^0=640000+522729+578400=1741129$. Suy ra $AB=\sqrt{1741129}\approx 1319,52\approx 1320$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1320).