Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ và $\sin \alpha =\frac{1}{2}$, ta có $\alpha =30^{\circ }$ vì $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Các giá trị khác: $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 90^{\circ }=1$, đều không thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AC}{\sin B}=2R\Rightarrow 2R=\frac{26}{\sin 30^{\circ }}=\frac{26}{1/2}=52\Rightarrow R=26$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $GHK$: $\frac{GH}{\sin K}=2R$, suy ra $GH=2R\sin K$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 12+17+25=54 nên nửa chu vi p=27 (đúng). Diện tích theo Heron: S=√(27·15·10·2)=√8100=90 (đúng). R=abc/(4S)=(12·17·25)/(4·90)=5100/360=85/6 (đúng). cosC=(BC²+AC²−AB²)/(2·BC·AC)=(144+289−625)/408=−192/408=−8/17≠4/5 (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(12+17+25)/2=27.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√(27·15·10·2)=√8100=90.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=5100/360=85/6.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosC=(144+289−625)/(2·12·17)=−8/17, không bằng 4/5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $\widehat{ABD}=180^{\circ }-\widehat{DBC}=120^{\circ }$. Trong tam giác $ABD$: $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }$, nên a) sai (không phải $45^{\circ }$). Định lý sin: $\frac{AD}{\sin 120^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}\Rightarrow AD=40\cdot \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=40\sqrt{3}$ m, nên b) đúng. Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ với $\widehat{DAC}=30^{\circ }$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$, c) đúng. Suy ra $CD=40\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=20\sqrt{3}\approx 34,64\approx 35$ m, d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ABD}=120^{\circ }$ (kề bù với $\widehat{DBC}=60^{\circ }$), nên $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }\ne 45^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $AD=\frac{AB\sin 120^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=40\sqrt{3}$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$: $CD=AD\cdot \sin \widehat{DAC}=AD\cdot \sin 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD=40\sqrt{3}\cdot \sin 30^{\circ }=20\sqrt{3}\approx 34,64\approx 35$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: tàu thứ nhất đi được $OA=25\cdot 2=50$ km, tàu thứ hai đi được $OB=30\cdot 2=60$ km, với $\widehat{AOB}=60^{\circ }$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $OAB$: $$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 60^{\circ }=50^2+60^2-2\cdot 50\cdot 60\cdot \frac{1}{2}=2500+3600-3000=3100.$$ Suy ra $AB=\sqrt{3100}\approx 55,6776$ km. Làm tròn đến hàng phần mười: $AB\approx 55,7$ km. Vậy sau 2 giờ hai tàu cách nhau khoảng $55,7$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Ao là ngũ giác ABCDE. Tách thành ba tam giác: ABC, ACD, ADE.

1) Tam giác ABC vuông tại B (AB ⊥ BC), AB = 20 m, BC = 48 m:
$AC=\sqrt{20^2+48^2}=\sqrt{400+2304}=\sqrt{2704}=52$ m.
$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 48=480$ m².

2) Tam giác ACD vuông tại C (AC ⊥ CD), AC = 52 m, CD = 39 m:
$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 52\cdot 39=1014$ m².
Cạnh AD $=\sqrt{52^2+39^2}=\sqrt{2704+1521}=\sqrt{4225}=65$ m.

3) Tam giác ADE có AE = 35 m, DE = 45 m, AD = 65 m. Nửa chu vi $p=\frac{35+45+65}{2}=72,5$ m. Theo công thức Heron:
$S_{ADE}=\sqrt{72,5\cdot 37,5\cdot 27,5\cdot 7,5}=\sqrt{560742,1875}\approx 748,83$ m².

Diện tích ao:
$S=480+1014+748,83\approx 2242,83\approx 2243$ m².

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+441-2\cdot 5\cdot 21\cdot \cos 60^{\circ }=466-105=361$, nên $BC=19$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R$. Suy ra $2R=\frac{16}{\sin 30^{\circ }}=\frac{16}{0,5}=32$, nên $R=16$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác RST, với góc R kề hai cạnh RS và RT, cạnh đối diện là ST: $\cos R=\frac{R{S}^2+R{T}^2-S{T}^2}{2\cdot RS\cdot RT}$. So với các phương án, đáp án đúng là D (phương án B sai vì thiếu mẫu số 2).

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 25+29+36 = 90 nên nửa chu vi p = 45 (đúng). Theo định lí cosin: cos C = (BC²+AC²−AB²)/(2·BC·AC) = (625+841−1296)/(2·25·29) = 170/1450 = 17/145, nên phát biểu d (cos C = −17/145) sai. sin C = √(1−(17/145)²) = 144/145, diện tích S = ½·25·29·(144/145) = 360 (đúng). Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = abc/(4S) = 25·29·36/(4·360) = 26100/1440 = 145/8 ≠ 145/4 nên phát biểu c sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
p = (25+29+36)/2 = 90/2 = 45.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos C = 17/145 nên sin C = 144/145, S = ½·25·29·144/145 = 360.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = abc/(4S) = 25·29·36/1440 = 145/8, không phải 145/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos C = (25²+29²−36²)/(2·25·29) = 170/1450 = 17/145 > 0, không phải −17/145.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, tam giác $DBC$ vuông tại $C$ có $\widehat{DBC}=45^{\circ }$ nên $\widehat{BDC}=45^{\circ }$, do đó $\widehat{ADB}=45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$ (a đúng). Theo định lý sin trong tam giác $ABD$: $\frac{AD}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 15^{\circ }}$, với $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ nên $AD=10\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=10(\sqrt{3}+1)$ m (b đúng). Trong tam giác vuông $ACD$, $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$ chứ không phải $AD\cdot \cos 30^{\circ }$ (c sai). Chiều cao cột cờ $CD=10(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{1}{2}=5(\sqrt{3}+1)\approx 13,66\approx 14$ m (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ADB}=\widehat{DBC}-\widehat{DAC}=45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$ (góc ngoài tam giác $ABD$ tại $B$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $AD=\frac{AB\sin 45^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=10(\sqrt{3}+1)$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ với góc $\widehat{DAC}=30^{\circ }$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$, không phải $AD\cdot \cos 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD=10(\sqrt{3}+1)\cdot \sin 30^{\circ }=5(\sqrt{3}+1)\approx 13,66\approx 14$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 15 giây: flycam thứ nhất đi được $OA=8\cdot 15=120$ m, flycam thứ hai đi được $OB=6\cdot 15=90$ m, hai đoạn thẳng tạo với nhau góc $\widehat{AOB}=120^{\circ }$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $OAB$: $$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 120^{\circ }=120^2+90^2-2\cdot 120\cdot 90\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=14400+8100+10800=33300.$$ Suy ra $AB=\sqrt{33300}\approx 182,483$ m. Vậy sau 15 giây hai flycam cách nhau khoảng $182,5$ m (làm tròn đến hàng phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tứ giác $ABCD$ thành hai tam giác $ABC$ và $ACD$ theo đường chéo $AC$.

**Tam giác $ABC$:** Theo định lí cosin:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 105^{\circ }=256+196-448\cdot (-0,258819)\approx 567,951,$$
suy ra $AC\approx 23,8318$ m.

Diện tích:
$$S_1=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 14\cdot \sin 105^{\circ }=112\cdot 0,965926\approx 108,184{\text{m}}^2.$$

**Tam giác $ACD$:** có ba cạnh $AD=20$, $CD=15$, $AC\approx 23,8318$. Nửa chu vi $p=\frac{20+15+23,8318}{2}\approx 29,4159$. Theo công thức Heron:
$$S_2=\sqrt{p(p-20)(p-15)(p-23,8318)}\approx \sqrt{29,4159\cdot 9,4159\cdot 14,4159\cdot 5,5841}\approx \sqrt{22295}\approx 149,32{\text{m}}^2.$$

**Diện tích khu đất:**
$$S=S_1+S_2\approx 108,184+149,32\approx 257,5{\text{m}}^2.$$

Vậy diện tích khu đất xấp xỉ $257,5{\text{m}}^2$. Hình vẽ trong đề (trang 10) khớp với dữ kiện: $AB=16$, $BC=14$, $CD=15$, $AD=20$, góc $B=105^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=11^2+35^2-2\cdot 11\cdot 35\cdot \cos 60^{\circ }=121+1225-385=961$, nên $BC=\sqrt{961}=31$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{22}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{22}{2\cdot \frac{1}{2}}=11$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác HIK: $I{K}^2=H{I}^2+H{K}^2-2\cdot HI\cdot HK\cdot \cos H$, suy ra $\cos H=\frac{H{I}^2+H{K}^2-I{K}^2}{2\cdot HI\cdot HK}$. Vậy đáp án A đúng. B sai vì mẫu là $2HI\cdot IK$; C sai vì thiếu hệ số 2 ở mẫu; D sai vì dấu cộng thay cho dấu trừ.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 7+15+20 = 42 nên nửa chu vi p = 21 (a đúng). Theo định lí cosin: cos C = (AC²+BC²−AB²)/(2·AC·BC) = (225+49−400)/210 = −126/210 = −3/5, nên d sai. sin C = 4/5, diện tích S = ½·AC·BC·sin C = ½·15·7·4/5 = 42 (b đúng). Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AB/(2 sin C) = 20/(2·4/5) = 25/2 ≠ 25/4, nên c sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 7+15+20 = 42, nửa chu vi = 21.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos C = −3/5 nên sin C = 4/5; S = ½·15·7·(4/5) = 42.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = AB/(2 sin C) = 20/(8/5) = 25/2, không phải 25/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos C = (15²+7²−20²)/(2·15·7) = −126/210 = −3/5 (âm vì góc C tù).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, tam giác $DBC$ vuông tại $C$ có $\widehat{DBC}=45^{\circ }$, nên $\widehat{BDC}=45^{\circ }$. Trong tam giác $ABD$: $\widehat{DAB}=30^{\circ }$, $\widehat{ABD}=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$, suy ra $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-135^{\circ }=15^{\circ }$ → a) đúng. Theo định lý sin: $\frac{AD}{\sin 135^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 15^{\circ }}$, với $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên $AD=60\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}=60(\sqrt{3}+1)$ m → b) đúng. Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$ → c) đúng. Tính $CD=60(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{1}{2}=30(\sqrt{3}+1)\approx 81,96\approx 82$ m, không phải 81 m → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ABD}=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$ nên $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-135^{\circ }=15^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $AD=\frac{60\sin 135^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}=60(\sqrt{3}+1)$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD=AD\sin 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD=30(\sqrt{3}+1)\approx 81,96\approx 82$ m, không phải 81 m.