Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, người thứ nhất đi được OA = 4·2 = 8 km, người thứ hai đi được OB = 5·2 = 10 km. Hai con đường tạo góc AOB = 120°. Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB: AB² = OA² + OB² − 2·OA·OB·cos120° = 8² + 10² − 2·8·10·(−1/2) = 64 + 100 + 80 = 244. Vậy AB = √244 ≈ 15,6205 ≈ 15,6 km. Sau 2 giờ hai người cách nhau khoảng 15,6 km.

(AI giải đề cho tôi)
Ao là ngũ giác ABCDE với $AB=36$, $BC=27$, $CD=24$, $DE=35$, $EA=40$ (theo hình vẽ trang 8), $AB\perp BC$, $AC\perp CD$.

1) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$:
$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{36^2+27^2}=\sqrt{2025}=45\text{m},S_{ABC}=\frac{36\cdot 27}{2}=486{\text{m}}^2.$$

2) Tam giác $ACD$ vuông tại $C$:
$$AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{45^2+24^2}=\sqrt{2601}=51\text{m},S_{ACD}=\frac{45\cdot 24}{2}=540{\text{m}}^2.$$

3) Tam giác $ADE$ có ba cạnh $AD=51$, $DE=35$, $EA=40$. Nửa chu vi $p=\frac{51+35+40}{2}=63$. Theo công thức Heron:
$$S_{ADE}=\sqrt{63(63-51)(63-35)(63-40)}=\sqrt{63\cdot 12\cdot 28\cdot 23}=\sqrt{486864}\approx 697,76{\text{m}}^2.$$

Diện tích ao:
$$S=486+540+697,76\approx 1723,76\approx 1724{\text{m}}^2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=7^2+15^2-2\cdot 7\cdot 15\cdot \cos 60^{\circ }=49+225-210\cdot \frac{1}{2}=274-105=169$. Suy ra $BC=13$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{6}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{2\cdot \frac{1}{2}}=6$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $XYZ$, cạnh $YZ$ đối diện góc $X$ nên $Y{Z}^2=X{Y}^2+X{Z}^2-2XY\cdot XZ\cdot \cos X$. Đây chính là đáp án A. Các phương án B, C sai hệ số, D sai vì góc $X$ không kề cạnh đối diện $XY$ theo cách viết đó.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 9+10+17=36 nên nửa chu vi p=18 (đúng). Diện tích theo Heron: S=√(18·9·8·1)=√1296=36 (đúng). Bán kính ngoại tiếp R=abc/(4S)=9·10·17/144=1530/144=85/8 ≠ 85/4 (sai). cosC=(BC²+AC²−AB²)/(2·BC·AC)=(81+100−289)/180=−108/180=−3/5 (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 9+10+17=36, nửa chu vi p=36/2=18.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√(p(p−a)(p−b)(p−c))=√(18·9·8·1)=√1296=36.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=9·10·17/(4·36)=1530/144=85/8, không phải 85/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosC=(BC²+AC²−AB²)/(2·BC·AC)=(81+100−289)/180=−108/180=−3/5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, tam giác $ABD$ có góc ngoài tại $B$ bằng $60^{\circ }$ nên $\widehat{ABD}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$, do đó $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }$ (a đúng). Theo định lý sin: $\frac{AD}{\sin 120^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}\Rightarrow AD=24\cdot \frac{\sin 120^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=24\sqrt{3}$ m (b đúng). Trong tam giác vuông $ACD$ (vuông tại $C$), góc tại $A$ là $30^{\circ }$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$, không phải $AD\cdot \sin 60^{\circ }$ (c sai). Chiều cao cây $CD=24\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=12\sqrt{3}\approx 20,78\approx 21$ m (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc ngoài tại $B$ bằng $60^{\circ }$ nên $\widehat{ABD}=120^{\circ }$, suy ra $\widehat{ADB}=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $AD=\frac{AB\cdot \sin 120^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=24\sqrt{3}$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ có góc $A=30^{\circ }$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$, không phải $AD\cdot \sin 60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD=24\sqrt{3}\cdot \sin 30^{\circ }=12\sqrt{3}\approx 20,78\approx 21$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 30 phút (0,5 giờ), máy bay thứ nhất đi được $OA=600\cdot 0,5=300$ km, máy bay thứ hai đi được $OB=500\cdot 0,5=250$ km, với $\widehat{AOB}=60^{\circ }$. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $OAB$: $$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 60^{\circ }=300^2+250^2-2\cdot 300\cdot 250\cdot \frac{1}{2}=90000+62500-75000=77500.$$ Suy ra $AB=\sqrt{77500}\approx 278,388$ km, làm tròn đến hàng phần mười ta được $AB\approx 278,4$ km. Vậy sau 30 phút hai máy bay cách nhau khoảng $278,4$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Nối $AC$. Trong tam giác $ABC$ có $AB=10$, $BC=15$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=100+225-150=175\Rightarrow AC=5\sqrt{7}\approx 13,2288\text{m}.$$
Diện tích tam giác $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 15\cdot \sin 60^{\circ }=75\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 64,9519{\text{m}}^2.$$
Trong tam giác $ADC$ có $AD=11$, $CD=9$, $A{C}^2=175$:
$$\cos \widehat{ADC}=\frac{A{D}^2+C{D}^2-A{C}^2}{2\cdot AD\cdot CD}=\frac{121+81-175}{198}=\frac{3}{22},$$
$$\sin \widehat{ADC}=\sqrt{1-\frac{9}{484}}=\frac{5\sqrt{19}}{22}.$$
Diện tích tam giác $ADC$:
$$S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 9\cdot \frac{5\sqrt{19}}{22}=\frac{495\sqrt{19}}{44}\approx 49,0331{\text{m}}^2.$$
Vậy diện tích mảnh vườn:
$$S=S_{ABC}+S_{ADC}\approx 64,9519+49,0331\approx 113,985\approx 114,0{\text{m}}^2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=10^2+16^2-2\cdot 10\cdot 16\cdot \cos 60^{\circ }=100+256-160=196$. Suy ra $BC=\sqrt{196}=14$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=2R$, nên $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{18}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{18}{2\cdot \frac{1}{2}}=18$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $PQR$ tính theo hai cạnh $PQ$, $PR$ kề nhau và góc $P$ xen giữa là $S=\frac{1}{2}PQ\cdot PR\cdot \sin P$. Đây chính là công thức diện tích tam giác với hai cạnh và sin của góc xen giữa (định lí sin cũng cho $S=2R^2\sin P\sin Q\sin R$, nhưng dạng cơ bản là $\frac{1}{2}ab\sin C$). Vậy đáp án A đúng; B sai vì dùng $\cos P$; C sai vì thiếu hệ số $\frac{1}{2}$; D sai vì $PQ$ và $QR$ không phải hai cạnh kề góc $P$ (cạnh kề góc $P$ là $PQ$ và $PR$).

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi $=11+13+20=44$ nên nửa chu vi $p=22$ (a đúng).

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{400+121-169}{440}=\frac{352}{440}=\frac{4}{5}$, nên $\sin B=\frac{3}{5}$.
Diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 11\cdot \frac{3}{5}=66\ne 132$ (b sai).

$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{13}{2\cdot \frac{3}{5}}=\frac{65}{6}$ (c đúng).

$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{169+121-400}{286}=\frac{-110}{286}=-\frac{5}{13}$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi $=44$, nửa chu vi $=22$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{4}{5}$, $\sin B=\frac{3}{5}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 11\cdot \frac{3}{5}=66\ne 132$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{13}{6/5}=\frac{65}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos C=\frac{169+121-400}{286}=-\frac{5}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì B nằm giữa A và C, góc ngoài tại B của tam giác ABD là 120°, nên góc ABD = 180° − 60° = 120°. Tổng ba góc: góc ADB = 180° − 45° − 120° = 15° → a) đúng. Định lý sin: AD/sin120° = AB/sin15° = 20/sin15°, với sin15° = (√6−√2)/4 và sin120° = √3/2, suy ra AD = 20·(√3/2)·4/(√6−√2) = 40√3(√6+√2)/4 = 10√3(√6+√2) = 10(3√2+√6) m → b) đúng. Tam giác ACD vuông tại C với góc DAC = 45° nên CD = AD·sin45°, không phải AD·sin60° → c) sai. CD = 10(3√2+√6)·(√2/2) = 5(6+2√3) = 30+10√3 ≈ 47,32 m, làm tròn đến hàng đơn vị là 47 m → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc ABD = 180° − 60° = 120° (góc ngoài tại B), nên góc ADB = 180° − 45° − 120° = 15°.
b) (AI giải đề cho tôi)
AD = AB·sin120°/sin15° = 20·(√3/2)/((√6−√2)/4) = 10(3√2+√6) m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ACD vuông tại C, góc DAC = 45°, nên CD = AD·sin45°, không phải AD·sin60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
CD = 10(3√2+√6)·sin45° = 30+10√3 ≈ 47,32 m ≈ 47 m.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1 giờ 30 phút (1,5 giờ): thuyền thứ nhất đi được $OA=18\cdot 1,5=27$ km, thuyền thứ hai đi được $OB=24\cdot 1,5=36$ km. Hai hướng tạo góc $\widehat{AOB}=120^{\circ }$. Theo định lí cosin trong tam giác $OAB$: $$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 120^{\circ }=27^2+36^2-2\cdot 27\cdot 36\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=729+1296+972=2997.$$ Vậy $AB=\sqrt{2997}\approx 54,\mathrm{744...}\approx 54,7$ km. Kết luận: sau 1 giờ 30 phút hai thuyền cách nhau khoảng $54,7$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ trang 3 khớp dữ kiện: $AB=40$, $BC=30$, $CD=25$, $DE=30$, $EA=45$, với $AB\perp BC$, $AC\perp CD$. Tách ngũ giác $ABCDE$ thành ba tam giác $△ABC$, $△ACD$, $△ADE$.

1) $△ABC$ vuông tại $B$: $S_1=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 30=600{\text{m}}^2$; $AC=\sqrt{40^2+30^2}=50$ m.

2) $△ACD$ vuông tại $C$: $S_2=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 25=625{\text{m}}^2$; $AD=\sqrt{50^2+25^2}=25\sqrt{5}\approx 55,9017$ m.

3) $△ADE$ có $AE=45$, $ED=30$, $AD=25\sqrt{5}$. Tính chính xác bằng công thức Heron dạng $16S^2=2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2-a^4-b^4-c^4$ với $a=45$, $b=30$, $c^2=3125$:
$$16S_3^2=2\cdot 45^2\cdot 30^2+2\cdot 30^2\cdot 3125+2\cdot 3125\cdot 45^2-45^4-30^4-3125^2=7250000,$$
$$S_3=\sqrt{453125}\approx 673,15{\text{m}}^2.$$

Diện tích ao: $S\approx 600+625+673,15=1898,15\approx 1898{\text{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=36+256-2\cdot 6\cdot 16\cdot \cos 60^{\circ }=292-96=196$, nên $BC=14$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=2R$. Suy ra $2R=\frac{14}{\sin 30^{\circ }}=\frac{14}{0,5}=28$, nên $R=14$. Vậy đáp án C.

Chọn D

Do $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.30.40=600m^2.$$
Gọi $x(0<x<30)$ là độ dài cạnh $AM$. Khi đó
$$S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}.AM.AN\iff 300=\frac{1}{2}x.AN\iff AN=\frac{600}{x}.$$
Độ dài đoạn $MN=\sqrt{A{M}^2+A{N}^2}=\sqrt{x^2+\frac{600^2}{x^2}}=\sqrt{1200}=20\sqrt{3}$.
Đẳng thức xảy ra khi $x^2=\frac{600^2}{x^2}\iff x=\sqrt[4]{600^2}=10\sqrt{6}$.
Yêu cầu bài toán là chi phí xây đoạn tường $MN$ ít nhất tương ứng với độ dài đoạn $MN$ phải ngắn nhất.
Hay đoạn tường $MN$ ngắn nhất là $20\sqrt{3}m$.
Chi phí thấp nhất để xây đoạn tường $MN$ là $T=20\sqrt{3}.1,5.0,25=\frac{15\sqrt{3}}{2}\approx 12,99$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=8, A=60°, B=75° nên C=45°. a) Theo định lý sin: BC/sin60° = AB/sin45° ⇒ BC = 8·(√3/2)/(√2/2) = 4√6. R = BC/(2sin60°) = 4√6/√3 = 4√2 ⇒ a đúng. b) C=45° nên cos C = √2/2 > 0 ⇒ b sai. c) AC = 8·sin75°/sin45° = 8·(√6+√2)/4·√2 = 4√3+4. S = ½·AB·AC·sin60° = ½·8·(4√3+4)·(√3/2) = 24+8√3 = 8(3+√3) ≠ 8(3+√2) ⇒ c sai. d) BC = 4√6 ⇒ d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C=45°. BC = 8·sin60°/sin45° = 4√6; R = BC/(2sin60°) = 4√6/√3 = 4√2. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
C = 180°−60°−75° = 45° > 0 nên cos C = √2/2 > 0. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC = 8·sin75°/sin45° = 4√3+4; S = ½·8·(4√3+4)·sin60° = 24+8√3 = 8(3+√3), không phải 8(3+√2). Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: BC = 8·sin60°/sin45° = 4√6. Đúng.