Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=25+64-40=49$, nên $BC=7$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. Nửa chu vi: $p=\frac{5+8+7}{2}=10$. Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin 30^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5{\text{cm}}^2$. Vậy diện tích tam giác ABC bằng $5{\text{cm}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là cảng Đà Nẵng, $C$ là cảng Quy Nhơn ($AC=180$ hải lý), $B$ là vị trí tàu đổi hướng sau 4 giờ.

**Tính $AB$:** Tàu chạy với tốc độ 24 hải lý/giờ trong 4 giờ nên $AB=24\cdot 4=96$ hải lý.

**a) Góc quay đầu:**
Tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=20^{\circ }$, $AB=96$, $AC=180$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 20^{\circ }=96^2+180^2-2\cdot 96\cdot 180\cdot \cos 20^{\circ }$$
$$B{C}^2\approx 9216+32400-34560\cdot 0,9397\approx 41616-32474,1\approx 9141,9$$
$$BC\approx 95,61\text{ hải lyˊ}$$

Áp dụng định lí sin:
$$\frac{\sin C}{AB}=\frac{\sin A}{BC}\Rightarrow \sin C=\frac{96\cdot \sin 20^{\circ }}{95,61}\approx \frac{96\cdot 0,3420}{95,61}\approx 0,3434\Rightarrow \widehat{ABC}\text{ (tại }C)\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 20,1^{\circ }$$

Suy ra $\widehat{ABC}=180^{\circ }-20^{\circ }-20,1^{\circ }\approx 139,9^{\circ }$.

Góc quay đầu của tàu bằng góc ngoài tại đỉnh $B$ (giữa hướng đi cũ và hướng mới):
$$180^{\circ }-\widehat{ABC}\approx 180^{\circ }-139,9^{\circ }\approx 40,1^{\circ }$$

Vậy thuyền trưởng phải quay đầu khoảng $40,1^{\circ }$ (làm tròn $40^{\circ }$).

**b) Thời gian từ khi đổi hướng đến Quy Nhơn:**
Quãng đường còn lại $BC\approx 95,61$ hải lý, tốc độ 24 hải lý/giờ:
$$t=\frac{BC}{24}\approx \frac{95,61}{24}\approx 3,98\text{ giờ}\approx 4\text{ giờ}$$

Vậy sau khoảng $3,98$ giờ (xấp xỉ 4 giờ) kể từ khi đổi hướng, tàu đến cảng Quy Nhơn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos A=\frac{3}{5}>0$ nên góc $A$ là góc nhọn (a sai). Với $A\in (0^{\circ };180^{\circ })$: $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}>0$ (c sai vì $\sin A$ không thể âm). Định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$ (b đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$, đường cao từ $A$: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{3}{5}>0$ với $A\in (0^{\circ };180^{\circ })$ suy ra $A$ là góc nhọn, không phải góc tù.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ là góc nhọn nên $\sin A=+\frac{4}{5}>0$, không thể bằng $-\frac{4}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=14\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tứ giác là $ABCD$ với góc vuông tại $A$, $AB=35$ m (cạnh đứng), $AD=45$ m (cạnh đáy), $BC=20$ m (cạnh trên), $CD=52$ m (cạnh nghiêng). Nối $BD$.

Tam giác $ABD$ vuông tại $A$:
$$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{35^2+45^2}=\sqrt{3250}=5\sqrt{130}\approx 57,009\text{ m}$$
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 35\cdot 45=787,5{\text{ m}}^2$$

Tam giác $BCD$ có ba cạnh $BC=20$, $CD=52$, $BD\approx 57,009$. Nửa chu vi $p\approx 64,504$. Theo công thức Heron:
$$S_{BCD}=\sqrt{p(p-20)(p-52)(p-BD)}\approx \sqrt{64,504\cdot 44,504\cdot 12,504\cdot 7,496}\approx \sqrt{269065}\approx 518,7{\text{ m}}^2$$

(Kiểm tra bằng công thức $S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}$ với $a=20,b=52,c=\sqrt{3250}$: $S=\frac{1}{4}\sqrt{4305084}\approx 518,7$ m² — khớp.)

Diện tích mảnh vườn:
$$S=S_{ABD}+S_{BCD}\approx 787,5+518,7=1306,2{\text{ m}}^2$$

Vậy diện tích mảnh vườn của bác An xấp xỉ $1306,2$ m² (khoảng $1306$ m²).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, cạnh $a$ đối diện góc $A$ nên $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Ví dụ kiểm tra: tam giác đều $a=b=c$, $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ thì $a^2=a^2+a^2-2a^2\cdot \frac{1}{2}=a^2$, đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $AB=c=4$, $BC=a=7$, $AC=b=9$.
a) Định lý cơ bản của lượng giác: với mọi góc $A$ đều có ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ → đúng.
b) Theo định lý cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$ → đúng.
c) $\sin A=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{21}{2\sqrt{5}}=\frac{21\sqrt{5}}{10}$ → đúng.
d) Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=6\sqrt{5}\approx 13,42\ne 180$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hằng đẳng thức lượng giác ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ đúng với mọi góc $A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý cosin: $\cos A=\frac{4^2+9^2-7^2}{2\cdot 4\cdot 9}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$, nên $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{21\sqrt{5}}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=6\sqrt{5}\approx 13,42$, không bằng $180$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chiều cao đỉnh núi $C$ so với mặt đất, $d$ là khoảng cách ngang từ $A$ đến chân núi. Điểm $B$ cao hơn $A$ một đoạn $AB=70m$. Theo hình vẽ: từ $A$, phương nhìn $AC$ nâng lên $30^{\circ }$ nên $\tan 30^{\circ }=\frac{H}{d}$; từ $B$, phương nhìn $BC$ nâng lên $15^{\circ }30^{\prime }$ nên $\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{H-70}{d}$.

Trừ hai vế: $70=d\left(\tan 30^{\circ }-\tan 15^{\circ }30^{\prime }\right)$.

Với $\tan 30^{\circ }\approx 0,57735$ và $\tan 15^{\circ }30^{\prime }\approx 0,27732$, hiệu bằng $\approx 0,30003$, suy ra $d\approx \frac{70}{0,30003}\approx 233,31m$.

Do đó $H=d\tan 30^{\circ }\approx 233,31\times 0,57735\approx 134,7\approx 135m$.

Vậy chiều cao ngọn núi so với mặt đất khoảng $135m$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AB=10$, $BC=6$, $\hat{B}=60^{\circ }$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=100+36-2\cdot 10\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=136-120\cdot \frac{1}{2}=136-60=76$. Suy ra $AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=c=7, AC=b=8, BC=a=9. Theo định lí cosin: cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) = (64+49−81)/(2·8·7) = 32/112 = 2/7, nên a) đúng. Khi đó sin A = √(1−4/49) = 3√5/7. Diện tích S = ½·AB·AC·sin A = ½·7·8·(3√5/7) = 12√5, nên b) sai (24√5). Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = a/(2 sin A) = 9/(2·3√5/7) = 21/(2√5) = 21√5/10 ≈ 4,70 ≠ √5, nên c) sai. Đường cao ứng với cạnh BC: h_a = 2S/a = 2·12√5/9 = 8√5/3, nên d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (49+64−81)/112 = 32/112 = 2/7.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin A = 3√5/7 nên S = ½·7·8·3√5/7 = 12√5 ≠ 24√5.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = BC/(2 sin A) = 9/(6√5/7) = 21√5/10 ≈ 4,70 ≠ √5.
d) (AI giải đề cho tôi)
h = 2S/BC = 24√5/9 = 8√5/3.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC với CA = 60 m, CB = 100 m, góc ACB = 120°:
$$A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos 120^{\circ }=60^2+100^2-2\cdot 60\cdot 100\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$=3600+10000+6000=19600$$
Suy ra $AB=\sqrt{19600}=140$ (m).
Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là $AB=140$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cosin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, cạnh $a$ đối diện góc $A$ nên $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Kiểm tra: khi $A=90^{\circ }$ thì $a^2=b^2+c^2$ (đúng, Pythagoras); các phương án B, C, D dùng dấu sai hoặc dùng $\sin A$ nên sai. Vậy đáp án A.

a) đúng. b) sai. c) sai. d) sai.

Ta có $A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2=100=10^2=B{C}^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Diện tích tam giác $ABC$ là
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24.$$
Đáp số: 24.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó $\frac{a}{2\sin A}=R$ (đúng), $\sin A=\frac{a}{2R}$ (đúng), $\frac{a}{\sin A}=2R$ (đúng). Đẳng thức $\frac{a}{\sin A}=\frac{R}{2}$ sai vì phải bằng $2R$. Vậy đáp án C, khớp với bảng đáp án nguồn (Câu 2: C).

Quãng đường theo đường cũ $(A\to B\to C)$: $s_1=AB+BC=15+20=35$ (km).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, độ dài đoạn đường hầm $AC$:
$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}}=\sqrt{15^2+20^2-2\cdot 15\cdot 20\cdot \cos 60^{\circ }}$$
$$=\sqrt{325}=5\sqrt{13}\approx 18,03\text{ (km)}.$$

Quãng đường rút ngắn được: $\Delta s=35-5\sqrt{13}\approx 16,97$ (km). Ô tô chạy 5 km tốn 1 lít xăng nên lượng xăng tiết kiệm là $\frac{35-5\sqrt{13}}{5}=7-\sqrt{13}\approx 3,39$ (lít). Số tiền tiết kiệm được:
$$T=\left(7-\sqrt{13}\right)\cdot 26.000\approx 88.256\text{ (đoˆˋng)}.$$

Làm tròn đến hàng nghìn: khoảng 88.000 đồng.

Đáp số: Tiết kiệm được khoảng 88.000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a,AC=b,AB=c$, cạnh $a$ đối diện góc $A$ nên $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Đây chính là phương án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 4: A). Các phương án B, C, D sai vì sai hệ số hoặc sai dấu/bậc của $a$.

Tam giác có ba cạnh 6, 8, 10 thỏa mãn $6^2+8^2=10^2$ nên là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là 6 và 8.
Diện tích tam giác là $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$. Chọn A.

Đặt $a=BC=15$, $b=CA=12$, $c=AB=10$.
a) Cạnh $BC$ lớn nhất nên góc $A$ lớn nhất. $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{144+100-225}{2\cdot 12\cdot 10}=\frac{19}{240}>0$$ nên góc $A$ nhọn. Do đó tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Đúng.
b) $A{M}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2\cdot 144+2\cdot 100-225}{4}=\frac{263}{4}$, suy ra $AM=\frac{\sqrt{263}}{2}$. Sai.
c) Chu vi tam giác $ABC$ là $15+12+10=37$. Đúng.
d) Theo ý A, $\cos A=\frac{19}{240}\ne \frac{19}{24}$. Sai.
a) Cạnh $BC$ lớn nhất nên góc $A$ lớn nhất.
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{144+100-225}{2\cdot 12\cdot 10}=\frac{19}{240}>0$$ nên góc $A$ nhọn.
Do đó tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Đúng.
b) $A{M}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2\cdot 144+2\cdot 100-225}{4}=\frac{263}{4}$, suy ra $AM=\frac{\sqrt{263}}{2}$. Sai.
c) Chu vi tam giác $ABC$ là $15+12+10=37$. Đúng.
d) Theo ý A, $\cos A=\frac{19}{240}\ne \frac{19}{24}$. Sai.

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$. Vì $G$ là trọng tâm nên $BG=\frac{2}{3}BM=4$ và $GN=\frac{1}{3}CN=3$.
Ba điểm $C,G,N$ thẳng hàng, $G$ nằm giữa $C$ và $N$ nên $\widehat{BGN}=180^{\circ }-\widehat{BGC}=60^{\circ }$.
Trong tam giác $BGN$: $B{N}^2=B{G}^2+G{N}^2-2\cdot BG\cdot GN\cdot \cos 60^{\circ }=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=13$, suy ra $BN=\sqrt{13}$.
Vậy $AB=2BN=2\sqrt{13}$.
Đáp án: $2\sqrt{13}$.