Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=64+36-2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=100-48=52$. Vậy $BC=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: A).

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) $C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$.

b) Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow b=\frac{7\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{6}}{2}$.

c) $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=7\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{2}}{2}\ne \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

d) $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot \frac{7\sqrt{6}}{2}\cdot \sin 75^{\circ }\approx 28,98<30$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ nhỏ hơn 30.
a) $C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$.
b) Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow b=\frac{7\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{6}}{2}$.
c) $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=7\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{2}}{2}\ne \frac{7\sqrt{3}}{3}$.
d) $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot \frac{7\sqrt{6}}{2}\cdot \sin 75^{\circ }\approx 28,98<30$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ nhỏ hơn 30.

Đáp số: 2.

$A{B}^2+A{C}^2=36+64=100=B{C}^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$, $p=\frac{6+8+10}{2}=12$.

$r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2$.

Vì $ABED$ là hình chữ nhật nên $S_{ABED}=AB\cdot AD=15\cdot 20=300\left(m^2\right)$.

Tam giác $ABD$ vuông tại $A$: $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25(m)$ và $S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 20=150\left(m^2\right)$.

Tam giác $BCD$ có $BC=19$, $CD=10$, $BD=25$, nửa chu vi $p=\frac{19+10+25}{2}=27$.

Theo công thức Heron: $S_{BCD}=\sqrt{27\cdot (27-19)\cdot (27-10)\cdot (27-25)}=\sqrt{7344}\approx 86\left(m^2\right)$.

Diện tích đất bị thu hồi: $S=S_{ABED}-S_{ABD}-S_{BCD}\approx 300-150-86=64\left(m^2\right)$.

Số tiền đền bù gia đình bác Mười nhận được là $64\cdot \mathrm{15.000.000}=\mathrm{960.000.000}$ (đồng).

Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}$ nên phát biểu D sai.

Chọn D.

a) Đúng. Theo định lí côsin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A=25^2+20^2-\mathrm{2.25.20.}\cos 60^{\circ }=525$, suy ra $BC=\sqrt{525}=5\sqrt{21}$.

b) Sai. $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{5\sqrt{21}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=5\sqrt{7}$.

c) Sai. Công thức đúng là $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A$.

d) Đúng. $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.25.20.\frac{\sqrt{3}}{2}=125\sqrt{3}$.
a) Đúng. Theo định lí côsin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A=25^2+20^2-\mathrm{2.25.20.}\cos 60^{\circ }=525$, suy ra $BC=\sqrt{525}=5\sqrt{21}$.
b) Sai. $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{5\sqrt{21}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=5\sqrt{7}$.
c) Sai. Công thức đúng là $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A$.
d) Đúng. $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.25.20.\frac{\sqrt{3}}{2}=125\sqrt{3}$.

Ta có $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}=\frac{25+64-49}{\mathrm{2.5.8}}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$, suy ra $A=60^{\circ }$.

Vậy $a=60$.

Đáp số: 60.

Xét tam giác $ABT$:

$\widehat{TAB}=27,4^{\circ }$, $\widehat{ABT}=180^{\circ }-39,6^{\circ }=140,4^{\circ }$, suy ra $\widehat{ATB}=180^{\circ }-27,4^{\circ }-140,4^{\circ }=12,2^{\circ }$.

Theo định lí sin: $\frac{BT}{\sin \widehat{TAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ATB}}\Rightarrow BT=\frac{1536.\sin 27,4^{\circ }}{\sin 12,2^{\circ }}$.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $T$ xuống mặt nước biển. Tam giác $BHT$ vuông tại $H$ có $\widehat{TBH}=39,6^{\circ }$.

Chiều cao ngọn núi là $TH=BT.\sin 39,6^{\circ }=\frac{1536.\sin 27,4^{\circ }.\sin 39,6^{\circ }}{\sin 12,2^{\circ }}\approx 2132$ (m).

Đáp số: 2132.

Sau 2 giờ, tàu thứ nhất đến $B$ với $AB=30.2=60$ (km) và tàu thứ hai đến $C$ với $AC=40.2=80$ (km). Ta có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.

Theo định lí côsin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos 60^{\circ }=3600+6400-\mathrm{2.60.80.}\frac{1}{2}=5200$.

Suy ra $BC=\sqrt{5200}=20\sqrt{13}\approx 72,1$ (km).

Vậy khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ khoảng 72,1 km.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, nên $\sin B=\frac{AC\cdot \sin C}{AB}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sin 60^{\circ }}{3}=\frac{\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{\sqrt{18}}{6}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì tam giác nhọn nên $B=45^{\circ }$ (không nhận $B=135^{\circ }$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có BC=√6, AC=3, AB=2. Định lí cosin tại A: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (4+9−6)/12 = 7/12, nên sin A = √(1−49/144) = √95/12. a) S = ½·AB·AC·sin A = ½·2·3·√95/12 = √95/4 → Đúng. b) h_B = 2S/AC = (√95/2)/3 = √95/6 ≈ 1,62 > 1 → Sai. c) Cạnh lớn nhất AC=3, AC²=9 < AB²+BC²=10 nên tam giác nhọn, không tù → Sai. d) R = BC/(2 sin A) = √6/(2·√95/12) = 6√6/√95 → Đúng. Kết quả khớp bảng key Mã đề 1001: ĐSSĐ.
a) Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4+9-6}{12}=\frac{7}{12}$, nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{49}{144}}=\frac{\sqrt{95}}{12}$. Suy ra $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{95}}{12}=\frac{\sqrt{95}}{4}$. Đúng.
b) Đường cao từ $B$: $h_B=\frac{2S_{ABC}}{AC}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{95}}{4}}{3}=\frac{\sqrt{95}}{6}\approx 1,62>1$. Sai.
c) Cạnh lớn nhất là $AC=3$: $A{C}^2=9<A{B}^2+B{C}^2=4+6=10$, nên tam giác $ABC$ nhọn. Sai.
d) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{2\cdot \frac{\sqrt{95}}{12}}=\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{95}}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác AMN có AM=AN=1, MN=1,6 nên theo định lí cosin: $\cos A=\frac{1^2+1^2-1,6^2}{2\cdot 1\cdot 1}=\frac{2-2,56}{2}=-0,28$, suy ra $\sin A=\sqrt{1-0,28^2}=0,96$.

Diện tích tam giác ABD: $S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 8,2\cdot 16,4\cdot 0,96\approx 64,55m^2$.

Tính $BD$ theo định lí cosin: $B{D}^2=8,2^2+16,4^2-2\cdot 8,2\cdot 16,4\cdot (-0,28)=411,5664$, nên $BD\approx 20,287m$.

Tam giác BCD có ba cạnh $BC=14,5;CD=9,7;BD\approx 20,287$. Nửa chu vi $p\approx \frac{14,5+9,7+20,287}{2}\approx 22,2435$. Theo công thức Heron:
$$S_{BCD}=\sqrt{p(p-14,5)(p-9,7)(p-20,287)}\approx \sqrt{22,2435\cdot 7,7435\cdot 12,5435\cdot 1,9565}\approx 65,02m^2.$$

Vậy diện tích mảnh đất $S\approx 64,55+65,02\approx 129,57\approx 130m^2$. Kết quả khớp với đáp án 130.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$ thỏa mãn $3^2+4^2=5^2$ nên vuông tại $A$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$. Nửa chu vi $p=\frac{3+4+5}{2}=6$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{6}{6}=1$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 30^0=25-24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25-12\sqrt{3}\approx 4,2157$. Suy ra $c\approx \sqrt{4,2157}\approx 2,05cm$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 9, Mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin tại đỉnh B: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+36-64}{48}=-\frac{1}{4}$, nên $\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=3\sqrt{15}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $DEK$: $\frac{DE}{\sin K}=2R$, suy ra $DE=2R\sin K$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=BC=10, b=CA=13, c=AB=13 (tam giác cân tại C... thực ra cân tại C vì CA=CB? Không: CA=CB=13? CA=13, CB=10, AB=13 nên tam giác cân tại C với AB=AC=13). a) Chu vi = 10+13+13=36, nửa chu vi p=18: đúng. b) Nửa chu vi p=18, diện tích theo Heron: S=√(18·8·5·5)=√3600=60: đúng. c) R=abc/(4S)=10·13·13/(4·60)=1690/240=169/24: đúng. d) cosC=(AC²+BC²−AB²)/(2·AC·BC)=(169+100−169)/260=100/260=5/13≠12/13: sai. (Lưu ý cosA=cosB=12/13, không phải cosC.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 10+13+13=36 nên nửa chu vi = 18.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√(18·8·5·5)=√3600=60.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=10·13·13/240=169/24.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosC=(169+100−169)/260=5/13, không phải 12/13 (12/13 là cosA=cosB).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $\widehat{DBC}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABD$: $\widehat{DBC}=\widehat{BAD}+\widehat{ADB}$, suy ra $\widehat{ADB}=60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$ → a) Đúng. Theo định lý sin trong tam giác $ABD$: $\frac{AD}{\sin 60^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}$ nên $AD=80\cdot \frac{\sin 60^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=80\sqrt{3}$m, không phải $80\sqrt{2}$m → b) Sai. Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD=AD\cdot \sin \widehat{DAC}=AD\cdot \sin 30^{\circ }$ → c) Đúng. $CD=80\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=40\sqrt{3}\approx 69,28\approx 69$m, không phải $70$m → d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\widehat{DBC}$ là góc ngoài tại $B$ của tam giác $ABD$ nên $\widehat{ADB}=60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Theo định lý sin, $AD=AB\cdot \frac{\sin 60^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=80\sqrt{3}$m, không phải $80\sqrt{2}$m.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD=AD\cdot \sin \widehat{DAC}=AD\cdot \sin 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $CD=80\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=40\sqrt{3}\approx 69,28\approx 69$m, không phải $70$m.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 15 phút = 0,25 giờ: người thứ nhất đi $OA=10\cdot 0,25=2,5$ km, người thứ hai đi $OB=8\cdot 0,25=2$ km. Tam giác $OAB$ có $\widehat{AOB}=60^{\circ }$, áp dụng định lí côsin: $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 60^{\circ }=6,25+4-2\cdot 2,5\cdot 2\cdot 0,5=5,5$. Suy ra $AB=\sqrt{5,5}\approx 2,345$ km $\approx 2,3$ km. Vậy sau 15 phút hai người cách nhau khoảng 2,3 km.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tứ giác $ABCD$ thành hai tam giác $ABC$ và $ACD$.

**Tam giác $ABC$:** Theo định lí cosin:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 70^{\circ }=30^2+40^2-2\cdot 30\cdot 40\cdot \cos 70^{\circ }\approx 2500-820,8=1679,2$$
Suy ra $AC\approx 40,978$ m.

Diện tích tam giác $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 70^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 40\cdot \sin 70^{\circ }\approx 563,8{\text{ m}}^2$$

**Tam giác $ACD$:** có $AC\approx 40,978$ m, $CD=25$ m, $AD=35$ m. Nửa chu vi:
$$p=\frac{40,978+25+35}{2}\approx 50,489\text{ m}$$
Theo công thức Heron:
$$S_{ACD}=\sqrt{p(p-AC)(p-CD)(p-AD)}\approx \sqrt{50,489\cdot 9,511\cdot 25,489\cdot 15,489}\approx \sqrt{189575}\approx 435,4{\text{ m}}^2$$

**Diện tích cánh đồng:**
$$S=S_{ABC}+S_{ACD}\approx 563,8+435,4=999,2{\text{ m}}^2$$

Vậy diện tích cánh đồng ngô xấp xỉ $999,2{\text{m}}^2$.