Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-5}{x-2}$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x+5}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Đúng.

b) $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Với $x\in (1;2)$: $y^{\prime }<0$; với $x\in (2;3)$: $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ và $(2;3)$, tức nghịch biến trên $(1;3)$ (hàm không xác định tại $x=2$ nhưng trên mỗi khoảng nó đều giảm). Đúng.

c) Tại $x=3$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$, không phải cực đại. Sai.

d) Chia đa thức: $\frac{x^2+x-5}{x-2}=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+3)\right)=0$. Tiệm cận xiên là $y=x+3$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}<0$ trên $(1;2)$ và $(2;3)$, nên hàm nghịch biến trên $(1;3)$ (trừ điểm gián đoạn $x=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{2x^2+5x}{x+3}$.
a) Điều kiện $x+3\ne 0\Rightarrow x\ne -3$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$: đúng.
b) $y^{\prime }=\frac{(4x+5)(x+3)-(2x^2+5x)}{(x+3{)}^2}=\frac{2x^2+12x+15}{(x+3{)}^2}$. Phương trình $2x^2+12x+15=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{-6\pm \sqrt{6}}{2}$ (khác $-3$), tổng nghiệm bằng $-\frac{12}{2}=-6$: đúng.
c) Vì mẫu $x+3$ triệt tiêu tại $x=-3$ và ${\lim }_{x\to -3^{\pm }}y=\pm \infty$, tiệm cận đứng là $x=-3$, không phải $x=3$: sai.
d) Chia đa thức: $y=2x-1+\frac{3}{x+3}$, tiệm cận xiên $y=2x-1$ tức $2x-y-1=0$. Khoảng cách từ $M(2;1)$: $\frac{|2\cdot 2-1-1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\ne \frac{\sqrt{5}}{5}$: sai. Kết quả khớp đáp án nguồn a)Đ b)Đ c)S d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x+3\ne 0\Rightarrow x\ne -3$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x^2+12x+15}{(x+3{)}^2}=0$ cho hai nghiệm $x=\frac{-6\pm \sqrt{6}}{2}$, tổng bằng $-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=-3$ (nơi mẫu bằng 0), không phải $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên $y=2x-1$; khoảng cách từ $M(2;1)$ là $\frac{|4-1-1|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\ne \frac{\sqrt{5}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có hai nhánh đi lên ở hai đầu (trái xuống dưới, phải lên trên) nên $a>0$, do đó D sai. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d>0$, do đó C sai. Đồ thị có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (A sai) và có đúng hai điểm cực trị (B đúng). Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-2$ và tiệm cận xiên là $y=x+2$. Xét $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$: có TCĐ $x=-2$, TCX $y=x+2$, đúng như đồ thị (nhánh phải của $x=-2$ nằm trên tiệm cận xiên, nhánh trái nằm dưới, khớp hình vẽ). Các phương án A (tử $x^2+4x+1$ cho phần dư khác), B (mẫu $-x-2$ cho TCX $y=-x-2$), D (TCĐ $x=2$) đều loại. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1701, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{bx-1}$. Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (đường thẳng đứng đi qua hoành độ 1) và tiệm cận ngang $y=1$.
a) Sai: tiệm cận đứng là $x=1$ (nghiệm của $bx-1=0$ với $b=1$), không phải $x=2$.
b) Đúng: tại $x=0$, $y=\frac{0-2}{b\cdot 0-1}=\frac{-2}{-1}=2$, khớp với đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 2.
c) Đúng: với $b=1$, $y=\frac{x-2}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên $[-1;0]$. Giá trị lớn nhất tại $x=0$: $y=2$.
d) Đúng: tiệm cận đứng $x=1$ suy ra $b=1$, do đó $T=2b=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận đứng là $x=1$ (vì $bx-1=0\iff x=1$ khi $b=1$), không phải $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $y=\frac{-2}{-1}=2$, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $b=1$: $y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$, hàm đồng biến trên $[-1;0]$, GTLN tại $x=0$ bằng 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=1$ suy ra $b=1$, nên $T=2b=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ từ $+\infty$ xuống $f(-2)=0$, đồng biến trên $(-2;0)$ từ $0$ lên $f(0)=4$, nghịch biến trên $(0;+\infty )$ từ $4$ xuống $-\infty$.
a) $f(-2)=0$ nên đồ thị đi qua $A(-2;0)$ → Đúng.
b) Trên mỗi khoảng $(-\infty ;-2)$, $(-2;0)$, $(0;+\infty )$, do tính liên tục và đơn điệu với giá trị $1$ nằm giữa hai giới hạn đầu-cuối của từng khoảng, phương trình $f(x)=1$ có đúng một nghiệm trên mỗi khoảng, tổng cộng 3 nghiệm phân biệt → Đúng.
c) Trên $(0;+\infty )$ hàm số nghịch biến (vì $y^{\prime }<0$), nên khẳng định đồng biến trên $(-1;+\infty )$ là Sai.
d) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $f(0)=4>0$, nên khẳng định tung độ âm là Sai.
Kết quả khớp với đáp án bảng điểm: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, $f(-2)=0$ nên đồ thị đi qua $A(-2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng $(-\infty ;-2)$, $(-2;0)$, $(0;+\infty )$, do tính liên tục và đơn điệu, phương trình $f(x)=1$ có đúng một nghiệm (vì $1$ nằm giữa hai giới hạn của từng khoảng), tổng cộng ba nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ vì $y^{\prime }<0$, nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $f(0)=4>0$, không phải tung độ âm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm bậc ba có nhánh đi lên (hệ số $a>0$), đi qua điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$ và cắt trục tung tại $(0;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(0)=1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại); $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B, C có hệ số $a<0$ (nhánh đi xuống), D có $y(0)=-1$ không khớp giao điểm với trục tung. Đáp án trùng với mã đề 1114: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đạt cực tiểu $y=1$ tại $x=0$, cực đại $y=5$ tại $x=2$; $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, $y^{\prime }>0$ trên $(0;2)$. Xét $y=-x^3+3x^2+1$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, nên $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$, $y^{\prime }>0$ khi $0<x<2$. Hơn nữa $y(0)=1$ (cực tiểu) và $y(2)=-8+12+1=5$ (cực đại), khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: B có $y(0)=0\ne 1$; C có $y^{\prime }=3x(x-2)$ ngược dấu; D có $y^{\prime }=3x(x+2)$ với điểm tới hạn $x=-2$ không có trong bảng. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1114, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$ nên $-c=-1\Rightarrow c=1>0$. Tiệm cận ngang là $y=1$ (đường đứt nét nằm trên trục hoành) nên $a=1>0$. Viết $y=\frac{ax+b}{x+c}=\frac{a(x+c)+(b-ac)}{x+c}=a+\frac{b-ac}{x+c}$. Nhánh trái ($x<-1$) tiến đến $+\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$, do đó $b-ac<0\Rightarrow b<1$, tức $b<0$. Vậy trong các hệ số $a,b,c$ có đúng 2 số dương ($a$ và $c$). Chọn C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba có cực đại bên trái trục Oy, cực tiểu bên phải, và giao với trục Oy tại điểm có tung độ âm. Loại A (hàm bậc bốn có dạng W) và B (hàm bậc ba có hệ số âm, đi lên từ trái sang phải ngược với hình). Với C: $y=x^3-x+2$ có $y(0)=2>0$, đồ thị cắt trục Oy phía trên gốc O — không khớp hình. Với D: $y=x^3-x-2$ có $y(0)=-2<0$; $y^{\prime }=3x^2-1=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, cực đại tại $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}<0$ (bên trái Oy) và cực tiểu tại $x=\frac{1}{\sqrt{3}}>0$ (bên phải Oy), đúng như đường cong hình bên. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nhánh trái đi lên, nhánh phải đi xuống) và tiệm cận xiên $y=-x-1$ đi qua $(-1;0)$ và $(0;-2)$. Loại B vì có tiệm cận đứng $x=1$. Xét A: $y=\frac{-x^2-2x-2}{x+1}=-x-1-\frac{1}{x+1}$, có tiệm cận xiên $y=-x-1$; khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $y\to -\infty$ — khớp hình vẽ. C: $y=-x-1+\frac{1}{x+1}$ có chiều nhánh ngược lại và $y(0)=0$, sai. D: $y=x-3+\frac{5}{x+1}$ có tiệm cận xiên hệ số góc dương, sai. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$; khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ và nhánh trái đi xuống $-\infty$; khi $x\to +\infty$, $y\to 2$ và nhánh phải đi từ $+\infty$ xuống $2$. Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ nên có TCĐ $x=2$; $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi khoảng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên TCN $y=2$. Tất cả khớp bảng biến thiên. Các phương án khác: A có $y=\frac{2x-7}{x-2}$ cho ${\lim }_{x\to -\infty }y=2$ nhưng giá trị khi $x\to 2^{-}$ là $-\infty$ và $x\to 2^{+}$ là $+\infty$ — tuy cùng dạng nhưng kiểm tra giới hạn tại vô cực: A cũng có TCN $y=2$; tuy nhiên A có $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x-7)}{(x-2{)}^2}=\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ (đồng biến) nên loại. B có TCĐ $x=-2$ nên loại. D có $y^{\prime }=\frac{-2(x-2)-(1-2x)}{(x-2{)}^2}=\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ (đồng biến) nên loại. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$, đồng thời nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Với hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=2$ và hàm nghịch biến khi $ad-bc<0$. Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$: $\frac{a}{c}=\frac{2}{1}=2$ (đúng tiệm cận ngang $y=2$), $ad-bc=2\cdot (-2)-1\cdot 1=-5<0$ nên hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định, và $x\to 2^{-}\Rightarrow y\to -\infty$, $x\to 2^{+}\Rightarrow y\to +\infty$ — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có $y=\frac{2x-7}{x-2}$ cho $ad-bc=2\cdot (-2)-(-7)\cdot 1=3>0$ (đồng biến); B có tiệm cận đứng $x=-2$; D có $ad-bc=1\cdot (-2)-(-2)\cdot 1=0$ và $\frac{a}{c}=1\ne 2$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=-1$ và $x=1$; hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$, nên $a>0$. Hàm số đạt cực đại tại điểm $(-1;2)$ và cực tiểu tại điểm $(1;-2)$, đồng thời ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$. Xét các đồ thị: $I$ có cực đại $(-1;2)$, cực tiểu $(1;-2)$, $a>0$ — khớp hoàn toàn. $II$ có cực đại bằng $4$ (khác $2$). $III$ có $a<0$ (đi xuống hai đầu) và cực trị $-4$. $IV$ có cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=-1$ (ngược với bảng). Vậy đồ thị thể hiện hàm số là $I$, đáp án A, khớp với đáp án nguồn (9.A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, có tiệm cận ngang $y=2$ với ${\lim }_{x\to -\infty }y=2$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=2$. Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$ (đáp án C): tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$; $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi khoảng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ (tiệm cận ngang $y=2$); khi $x\to 2^{-}$, tử $2x+1\to 5>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$; khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có ${\lim }_{x\to -\infty }y=2$ nhưng $x\to 2^{-}$ cho $+\infty$ (tử $-3<0$) nên sai; B có tiệm cận đứng $x=-2$ nên sai; D có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-2$ nên sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (11.C).

Đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai (SDSS).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ đổi dấu $+\to -\to +$ nên $a>0$; hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=2$ và cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-2$. Xét bốn đồ thị: đồ thị $I$ có $a>0$ (hai nhánh đi lên), cực đại $(-1;2)$, cực tiểu $(1;-2)$ — khớp bảng biến thiên. Đồ thị $II$ có cực đại bằng $4$ (loại), đồ thị $III$ và $IV$ có $a<0$ (hai nhánh đi xuống, loại). Vậy đồ thị thể hiện hàm số là $I$, đáp án A (khớp đáp án nguồn 9.A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → a) Đúng. Vì bậc tử và bậc mẫu bằng nhau, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$ → b) Đúng. $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và không có cực trị → c) Sai. Hai tiệm cận $x=1$, $y=2$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật có diện tích $1\times 2=2\ne 3$ → d) Sai. Khớp với đáp án nguồn ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}|y|=+\infty$ nên tiệm cận đứng $x=1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật tạo bởi $x=1$, $y=2$ và hai trục có diện tích $1\times 2=2\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, có tiệm cận ngang $y=2$; khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$. Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$; $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi khoảng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ (tiệm cận ngang $y=2$); tại $x\to 2^{-}$: tử $2x+1\to 5>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$; tại $x\to 2^{+}$: $y\to +\infty$. Khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: A có ${\lim }_{x\to -\infty }y=2$ nhưng khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to +\infty$ (sai dấu); B có tiệm cận đứng $x=-2$ (sai); D có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-2$ (sai tiệm cận ngang). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (6.C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=-1$ và $x=1$; hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$, nên $a>0$. Cực đại $f(-1)=2$, cực tiểu $f(1)=-2$. Xét các đồ thị: đồ thị $I$ có cực đại $(-1;2)$ và cực tiểu $(1;-2)$ đúng như bảng biến thiên; đồ thị $II$ có cực đại $(-1;4)$, cực tiểu $(1;0)$ sai giá trị; đồ thị $III$ có cực đại $(1;0)$, cực tiểu $(-1;-4)$ sai; đồ thị $IV$ có $a<0$ (đi từ $+\infty$ xuống $-\infty$) sai chiều biến thiên. Vậy đồ thị $I$ thể hiện hàm số, đáp án A, trùng với đáp án nguồn (8.A).