Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đồng thời nhánh phải cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=2$ (đồ thị đi qua điểm $(2;-2)$ gần trục $x$ và cắt trục hoành tại $x=2$). Giao điểm của đồ thị với trục hoành có tung độ $y=0$, tức $\frac{ax+b}{cx+d}=0\iff ax+b=0\iff x=2$ (theo hình vẽ). Vậy tọa độ giao điểm là $(2;0)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi lên ở hai đầu nên hệ số của $x^3$ dương, loại C, D. Hàm $y=x^3+3x$ có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ luôn đồng biến, không có cực trị, loại A. Đồ thị có cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$; với $y=x^3-3x$ ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, $y(-1)=2$, $y(1)=-2$ khớp với đồ thị. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba đơn điệu giảm trên R, không có cực trị, đi qua điểm (0;1) và cắt Ox tại điểm gần gốc O (khoảng x ≈ 0,6), tức là đồ thị dốc hơn nhiều so với y = -x³ + 1 (có nghiệm x = 1).
- Loại C: y = 3x² + 1 là parabol hướng lên, không phải hàm bậc ba giảm.
- Loại B: y = -2x³ + x² có đạo hàm y' = -6x² + 2x = 0 tại x = 0 và x = 1/3, nên có cực trị, đồ thị không đơn điệu giảm hoàn toàn.
- So sánh A và D: cả hai đều giảm và đi qua (0;1), nhưng với y = -x³ + 1 thì nghiệm là x = 1, còn y = -4x³ + 1 có nghiệm x = 4^{-1/3} ≈ 0,63, khớp với giao điểm của đồ thị với Ox trong hình (gần gốc O hơn). Do đó đồ thị là của hàm số y = -4x³ + 1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$, và nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$: mẫu bằng 0 tại $x=2$ (tiệm cận đứng), ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ (tiệm cận ngang $y=1$), và $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$ nên hàm nghịch biến trên từng khoảng — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$; B có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$; D có tiệm cận đứng $x=2$ nhưng tiệm cận ngang $y=1$ và $y^{\prime }=\frac{2}{(x-2{)}^2}>0$ đồng biến — không khớp. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x_0=-1$: $y(-1)=(-1{)}^4-4(-1{)}^2+5=1-4+5=2$. Đạo hàm $y^{\prime }=4x^3-8x$ nên $y^{\prime }(-1)=-4+8=4$. Phương trình tiếp tuyến: $y=4(x+1)+2=4x+6$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có cực đại tại $x=0$ với giá trị $3$, cực tiểu tại $x=2$ với giá trị $-1$.
a) Sai: Đường thẳng $y=2$ (với $-1<2<3$) cắt đồ thị hàm bậc ba tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình $f(x)-2=0$ có 3 nghiệm, không phải đúng hai nghiệm.
b) Đúng: Trên $(0;+\infty )$, điểm cực tiểu $x=2$ thuộc khoảng này và $f(2)=-1$ là giá trị nhỏ nhất (về $+\infty$ hàm số tăng lên $+\infty$).
c) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức trên $(0;2)$.
d) Sai: Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-1$ (tại $x=2$), không phải $2$ (2 là hoành độ điểm cực tiểu).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1<2<3$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt nên phương trình $f(x)-2=0$ có 3 nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu $x=2\in (0;+\infty )$ với $f(2)=-1$, nên GTNN trên $(0;+\infty )$ bằng $-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa cực đại $x=0$ và cực tiểu $x=2$, tức trên $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu bằng $-1$; số 2 là hoành độ điểm cực tiểu, không phải giá trị cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có cực đại $f(0)=3$ và cực tiểu $f(2)=-1$.
a) Sai: Đường thẳng $y=2$ nằm giữa $-1$ và $3$, cắt đồ thị hàm bậc ba tại 3 điểm phân biệt, nên $f(x)-2=0$ có 3 nghiệm (không phải 2).
b) Đúng: Trên $(0;2)$ hàm đi từ cực đại xuống cực tiểu nên nghịch biến.
c) Sai: Giá trị cực tiểu là $f(2)=-1$, không phải 2.
d) Đúng: Trên $(0;+\infty )$, hàm nghịch biến trên $(0;2)$ rồi đồng biến trên $(2;+\infty )$, nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=2$ và bằng $-1$.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã 1121, Phần 2 câu 3: SĐSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $y=2$ (với $-1<2<3$) cắt đồ thị hàm bậc ba tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm, không phải 2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm tăng đến cực đại tại $x=0$ rồi giảm đến cực tiểu tại $x=2$, nên nghịch biến trên $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu của hàm số là $f(2)=-1$, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$, hàm nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên GTNN bằng $f(2)=-1$.

Bảng đáp án chính thức (trang 7) ghi đáp án câu 8 là "S", không tương ứng với phương án nào A–D; đáp án không xác định được.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=x^3+27x$, suy ra $y^{\prime }=3x^2+27$. Tại $x_0=-1$: $y(-1)=-1-27=-28$ và $y^{\prime }(-1)=3+27=30$. Phương trình tiếp tuyến: $y=y^{\prime }(-1)(x+1)+y(-1)=30(x+1)-28=30x+2$. Vậy tiếp tuyến là $y=30x+2$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x+1)-(1-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}$. Tiếp tuyến $(D)$ song song với $y=-3x+1$ nên hệ số góc $k=-3$: $\frac{-3}{(x_0+1{)}^2}=-3\iff (x_0+1{)}^2=1\iff x_0=0$ hoặc $x_0=-2$.
- Với $x_0=0$: $y_0=f(0)=1$, tiếp tuyến: $y=-3(x-0)+1=-3x+1$.
- Với $x_0=-2$: $y_0=f(-2)=\frac{1-2(-2)}{-2+1}=\frac{5}{-1}=-5$, tiếp tuyến: $y=-3(x+2)-5=-3x-11$.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: $y=-3x+1$ và $y=-3x-11$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x$. Tiếp tuyến song song với $\Delta :9x-y+6=0$ (hệ số góc $k=9$) nên $3x^2-6x=9\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$.
- Với $x_0=3$: $y_0=27-27+1=1$, tiếp tuyến: $y=1+9(x-3)=9x-26$.
- Với $x_0=-1$: $y_0=-1-3+1=-3$, tiếp tuyến: $y=-3+9(x+1)=9x+6$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $y=9x-26$ và $y=9x+6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;-2)$. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $f(-1)=-1+3=2$ (cực đại), $f(1)=1-3=-2$ (cực tiểu), $f(0)=0$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Hàm $y=-x^3+x$ có cực đại $1$, cực tiểu $-1$ (sai giá trị); $y=x^4-2x^2$ là bậc bốn (sai dạng); $y=\frac{x+1}{x-1}$ có tiệm cận (sai dạng). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại tại $x<0$ (giá trị dương) và cực tiểu tại $x>0$ (giá trị âm), tăng – giảm – tăng. Loại C, D vì đồ thị hàm bậc bốn có hai nhánh cùng hướng. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y(-1)=2>0$ (cực đại bên trái), $y(1)=-2<0$ (cực tiểu bên phải), hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Hàm $y=-x^3+3x$ cho dạng ngược lại (cực đại bên phải, cực tiểu bên trái). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba (hai cực trị), loại A, B. Với $y=-x^3+3x^2-1$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $y^{\prime \prime }=-6x+6$ nên tại $x=0$ hàm đạt cực tiểu $y=-1<0$ (gần gốc tọa độ, phía dưới trục hoành), tại $x=2$ đạt cực đại $y=3>0$ (bên phải trục $y$, phía trên) — khớp với hình vẽ. Với $y=x^3+3x^2-1$ thì cực đại tại $x=-2$ (bên trái), không khớp. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(0)=-1$ và $f(2)=3$, đồng thời hàm giảm – tăng – giảm nên hệ số $a<0$. Xét $y=-x^3+3x^2-1$: có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, nên $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ,0)$, $y^{\prime }>0$ trên $(0,2)$, $y^{\prime }<0$ trên $(2,+\infty )$; hơn nữa $f(0)=-1$, $f(2)=-8+12-1=3$, và khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$ tương ứng. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có $a>0$ và $f(0)=-1$ nhưng $f(2)=8+12-1=19$; B có $a>0$, $f(2)=-5$; C có $f(0)=1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba: đi xuống từ trái, đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ âm (bên trái trục tung), đi lên đạt cực đại tại điểm có hoành độ dương (bên phải trục tung), rồi đi xuống. Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$. Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên $(-1;1)$, nên cực tiểu tại $x=-1<0$ và cực đại tại $x=1>0$ — khớp với hình. Với $y=x^3-3x+1$ (D) thì cực đại tại $x=-1$ (bên trái) và cực tiểu tại $x=1$ (bên phải), ngược với hình. Các hàm A, B là hàm phân thức có tiệm cận, không phải đường cong trong hình. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ Câu 30 (trang 49): đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (đường đứt nét bên phải trục $Oy$) và tiệm cận ngang $y=1$ (đường đứt nét phía trên trục hoành); hai nhánh đều nghịch biến; nhánh trái đi qua điểm $y(0)=-1$ gần gốc tọa độ, cắt trục hoành tại $x=-1$.
- Loại A, B vì có tiệm cận đứng $x=-1$.
- Loại C vì $y=\frac{-2x+1}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=-2$.
- Với $y=\frac{x+1}{x-1}$: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng nhánh; $y(0)=-1$, cắt $Ox$ tại $x=-1$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Câu 41, trang 50): đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (đường nét đứt thẳng đứng) và tiệm cận ngang $y=1$ (đường nét đứt song song với trục $Ox$, phía trên trục hoành). Do đó hàm số có dạng $y=\frac{x-a}{x-2}$ với hệ số của tiệm cận ngang bằng $1$, tức $a=-2$, suy ra $y=\frac{x+2}{x-2}$. Kiểm tra: $y=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$, có $y^{\prime }=\frac{-4}{(x-2{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh; nhánh phải ($x>2$) nằm trên tiệm cận ngang $y=1$ và giảm dần về $1$, nhánh trái ($x<2$) nằm dưới tiệm cận và đi xuống $-\infty$ khi $x\to 2^{-}$; tại $x=0$ có $y=-1<0$ nên đồ thị cắt trục tung phía dưới gốc $O$ — hoàn toàn khớp hình vẽ. Các phương án khác: A có TCĐ $x=-2$ (loại); B có TCN $y=2$ (loại); C có TCN $y=1$ nhưng $y=1+\frac{3}{x-2}$ nên nhánh phải nằm dưới tiệm cận và $y(0)=-\frac{1}{2}$, không khớp hình (loại). Vậy đáp án là $y=\frac{x+2}{x-2}$.