Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{-x+1}$ xác định khi $-x+1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → ý a) đúng. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(-x+1)+(2x+1)}{(-x+1{)}^2}=\frac{3}{(-x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ nhưng không đồng biến trên toàn tập $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (ví dụ $x=0$ cho $y=1$, $x=2$ cho $y=-5$) → ý b) sai. Vì $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng xác định, hàm không có cực trị → ý c) đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{-1}=-2$; hai tiệm cận cùng hai trục tạo hình chữ nhật có diện tích $1\times 2=2\ne 4$ → ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $-x+1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(-x+1{)}^2}>0$ nên hàm chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (ví dụ $y(0)=1>y(2)=-5$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }=\frac{3}{(-x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, hàm không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-2$; hình phẳng tạo với hai trục có diện tích $1\times 2=2\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của Câu 1.30: $f^{\prime }(x)$ âm trên $(-\infty ;-1)$, dương trên $(-1;1)$ và $(1;3)$, âm trên $(3;+\infty )$; $f$ giảm từ $+\infty$ xuống $1$ tại $x=-1$ rồi tăng lên $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$; bên phải $x=1$, $f$ từ $-\infty$ tăng lên $-2$ tại $x=3$ rồi giảm về $-\infty$. a) Khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to -\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng → Đúng. b) Hàm số gián đoạn tại $x=1$ nên không thể đồng biến trên cả khoảng $(-1;3)$; chỉ đồng biến trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ → Sai. c) Hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ với giá trị $1$ và cực đại tại $x=3$ với giá trị $-2$; hai giá trị cực trị là $1$ và $-2$, còn $-1$ và $3$ là hai điểm cực trị → Sai. d) Trên $(1;2]$ hàm đồng biến nên GTLN đạt tại $x=2$; vì $f$ tăng trên $(1;3)$ nên $f(2)<f(3)=-2$, do đó GTLN trên $(1;2]$ nhỏ hơn $-2$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\to +\infty$ khi $x\to 1^{-}$ và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to 1^{+}$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=1$ (tiệm cận đứng) nên không đồng biến trên cả khoảng $(-1;3)$, chỉ đồng biến trên $(-1;1)$ và $(1;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai giá trị cực trị là $1$ (cực tiểu tại $x=-1$) và $-2$ (cực đại tại $x=3$); $-1$ và $3$ là hoành độ các điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;2]$ hàm đồng biến nên GTLN là $f(2)$, mà $f(2)<f(3)=-2$, nên GTLN trên $(1;2]$ nhỏ hơn $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của $d$ là $k_d=\frac{1}{8}$, nên tiếp tuyến vuông góc với $d$ có hệ số góc $k=-8$.

$y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$. Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$, điều kiện $4x(x^2+1)=-8$ tương đương $x^3+x+2=0$, tức $(x+1)(x^2-x+2)=0$. Do $x^2-x+2>0$ nên $x=-1$.

Tại $x_0=-1$: $y_0=(-1{)}^4+2(-1{)}^2-1=2$.

Phương trình tiếp tuyến: $y=-8(x+1)+2=-8x-6$.

Vậy $(C)$ có duy nhất một tiếp tuyến thỏa yêu cầu: $y=-8x-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^4-2x^2$, ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)$.

a) Tại $x=\sqrt{2}$: $y=(\sqrt{2}{)}^4-2(\sqrt{2}{)}^2=4-4=0$; $y^{\prime }=4\sqrt{2}(2-1)=4\sqrt{2}$. Tiếp tuyến: $y=4\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+0=4\sqrt{2}x-8$.

b) $y=3\Rightarrow x^4-2x^2=3$. Đặt $t=x^2\ge 0$: $t^2-2t-3=0\Rightarrow t=3$ (nhận), $t=-1$ (loại). Vậy $x=\pm \sqrt{3}$, $y^{\prime }=4x(3-1)=8x$.
Tại $x=\sqrt{3}$: $y=8\sqrt{3}(x-\sqrt{3})+3=8\sqrt{3}x-21$.
Tại $x=-\sqrt{3}$: $y=-8\sqrt{3}(x+\sqrt{3})+3=-8\sqrt{3}x-21$.

c) $d_1$ có hệ số góc $24$, nên $4x(x^2-1)=24\iff x^3-x-6=0$. Thử $x=2$: $8-2-6=0$, nên $x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+3)$; tam thức $x^2+2x+3$ vô nghiệm. Vậy $x=2$, $y=16-8=8$. Tiếp tuyến: $y=24(x-2)+8=24x-40$.

d) $d_2:x+24y+2009=0$ có hệ số góc $-\frac{1}{24}$, nên tiếp tuyến vuông góc phải có hệ số góc $24$. Giống câu c): $x=2$, tiếp điểm $(2;8)$, phương trình: $y=24x-40$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{-x^2-x+3}{x+1}=-x+\frac{3}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, và $y^{\prime }=-1-\frac{3}{(x+1{)}^2}$.

a) Giao điểm với trục tung: $x=0\Rightarrow y=3$, $y^{\prime }(0)=-4$. Tiếp tuyến: $y=-4x+3$.

b) Giao điểm với trục hoành: $-x^2-x+3=0\iff x^2+x-3=0\iff x_0=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$. Với $x_0^2=3-x_0$ ta có $(x_0+1{)}^2=x_0+4$, suy ra $y^{\prime }(x_0)=-1-\frac{3}{x_0+4}=-\frac{x_0+7}{x_0+4}$. Rút gọn: với $x_0=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$: $y=\frac{\sqrt{13}-13}{6}x+\frac{7\sqrt{13}-13}{6}$; với $x_0=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$: $y=-\frac{13+\sqrt{13}}{6}x-\frac{13+7\sqrt{13}}{6}$.

c) Đường thẳng qua $A(1;-1)$: $y=k(x-1)-1$. Phương trình hoành độ tiếp điểm: $(k(x-1)-1)(x+1)=-x^2-x+3\iff (k+1)x^2-(k+4)=0$. Tiếp xúc khi $k=-4$ (khi đó $x=0$ là nghiệm kép). Kiểm tra: tiếp tuyến tại $x=0$ là $y=-4x+3$, và tại $x=1$ có $y=-1$, tức đi qua $A$. Vậy tiếp tuyến là $y=-4x+3$.

d) $y^{\prime }=-13\iff -1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=-13\iff (x+1{)}^2=\frac{1}{4}\iff x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$. Với $x=-\frac{1}{2}$: $y=\frac{13}{2}$, tiếp tuyến $y=-13x$. Với $x=-\frac{3}{2}$: $y=-\frac{9}{2}$, tiếp tuyến $y=-13x-24$.

Kiểm tra lại toàn bộ: ý a) đúng; ý b) các hệ số góc và cận đúng sau khi hợp lý hóa; ý c) phương trình bậc hai và điều kiện tiếp xúc đúng, tiếp tuyến thỏa đi qua $A$; ý d) hai tiếp tuyến đúng. Không có sai sót.

(AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{2x+3}{x-2}$ nên $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+3)}{(x-2{)}^2}=\frac{-7}{(x-2{)}^2}$. Kiểm tra $M(1;-5)\in (C)$: $y(1)=\frac{5}{-1}=-5$, đúng. a) $y^{\prime }(1)=\frac{-7}{(1-2{)}^2}=-7$ → đúng. b) Điểm $N\in (C)$ có hoành độ $x=3$ thì $y(3)=\frac{9}{1}=9\ne -5$ → sai. c) Tiếp tuyến tại $M$: $y=-7(x-1)-5=-7x+2$, có hệ số góc $-7$ trùng hệ số góc của $d_1:y=-7x+17$ (và $-7\cdot 1+2\ne 17$ nên không trùng nhau) → song song, đúng. d) $d_2:16x-7y+35=0$ có hệ số góc $\frac{16}{7}$, tiếp tuyến vuông góc phải có hệ số góc $-\frac{7}{16}$. Giải $\frac{-7}{(x_0-2{)}^2}=-\frac{7}{16}\Rightarrow (x_0-2{)}^2=16\Rightarrow x_0=6$ hoặc $x_0=-2$: có đúng hai tiếp tuyến → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(1)=\frac{-7}{(1-2{)}^2}=-7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=3$: $y=\frac{2\cdot 3+3}{3-2}=9\ne -5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M$: $y=-7x+2$ song song với $y=-7x+17$ (cùng hệ số góc $-7$, khác hằng số).
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $y^{\prime }(x_0)=-\frac{7}{16}\Rightarrow (x_0-2{)}^2=16\Rightarrow x_0=6$ hoặc $x_0=-2$: có hai tiếp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
a) f(-1/2) = -1/8 - 3/4 - 1 = -15/8, đúng. b) f'(x)=3x^2-6x<0 ⟺ 0<x<2, nên S=(0;2) chứ không phải (3;6), sai. c) f'(3)=27-18=9, đúng. d) f'(x)=3x^2-6x có giá trị nhỏ nhất tại x=1 (đỉnh parabol), f'(1)=-3. Khi đó y0=f(1)=1-3-1=-3, x0^2+y0^2=1+9=10, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(-1/2)=(-1/8)-3(1/4)-1=-1/8-3/4-1=-15/8.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x^2-6x<0 ⟺ 3x(x-2)<0 ⟺ 0<x<2, nên S=(0;2)≠(3;6).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc k=f'(3)=3·9-6·3=27-18=9.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x^2-6x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0=1 (đỉnh parabol), f'(1)=-3. y0=f(1)=1-3-1=-3. Vậy x0^2+y0^2=1+9=10.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ (nên mẫu là $x-1$, loại A, D) và tiệm cận xiên là $y=x$. Xét phương án B: $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$, có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x$; $y(0)=-1$ khớp với đồ thị cắt trục tung tại $-1$; nhánh bên phải có cực tiểu tại $x=2$ với $y=3$ (vì $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\Rightarrow x=2$), khớp với đồ thị. Phương án C: $y=\frac{x^2-4x+5}{x-1}=x-3+\frac{2}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-3$, không khớp đường tiệm cận $y=x$ trong hình. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1122, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ (loại C, D vì có mẫu $x+1$, tiệm cận đứng $x=-1$). Tiệm cận xiên là $y=x$ (đường $y=x$ vẽ trên hình). Xét A: $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x$; trên nhánh $x>1$ hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ với $y=3$, phù hợp hình vẽ. Xét B: $y=\frac{x^2-4x+5}{x-1}=x-3+\frac{2}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-3$, không khớp đường $y=x$ trên hình. Vậy hàm số là $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, khớp đáp án A trong bảng mã đề 1121.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đạt cực tiểu $f(-2)=0$; đồng biến trên $(-2;0)$, đạt cực đại $f(0)=4$; nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
a) Trên $(-2;0)$ hàm số đồng biến (dấu của $y^{\prime }$ là $+$) → đúng.
b) Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=4$, nên điểm cực đại là $A(0;4)$ → đúng.
c) Trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số nghịch biến, nên giá trị nhỏ nhất trên khoảng này (không đạt được) là ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=f(-1)=2$, không phải 0 (giá trị 0 đạt tại $x=-2\notin (-\infty ;-1)$) → sai.
d) Điểm uốn của hàm bậc ba là trung điểm của hai điểm cực trị: $x_U=\frac{-2+0}{2}=-1$, $y_U=\frac{0+4}{2}=2$, tức $U(-1;2)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, $y^{\prime }>0$ trên $(-2;0)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đổi chiều biến thiên từ đồng biến sang nghịch biến tại $x=0$ với $f(0)=4$, nên điểm cực đại là $A(0;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ hàm số nghịch biến nên giá trị nhỏ nhất (không đạt được) bằng $f(-1)=2$, không phải 0; giá trị 0 đạt tại $x=-2$ không thuộc khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điểm uốn là trung điểm hai điểm cực trị: $x_U=\frac{-2+0}{2}=-1$, $y_U=\frac{0+4}{2}=2$, nên $U(-1;2)$.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 102: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=\frac{-2x+3}{x-2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x-2)-(-2x+3)}{(x-2{)}^2}=\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ → đúng.

b) $f(0)=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$, đồ thị cắt trục tung tại $M\left(0;-\frac{3}{2}\right)$ → đúng.

c) Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{-2x+3}{x-2}=x-2m\iff -2x+3=(x-2)(x-2m)=x^2-(2m+2)x+4m$ (với $x\ne 2$).
$\iff x^2-2mx+4m-3=0$. $\Delta =4m^2-16m+12=4(m-1)(m-3)$. Hai điểm phân biệt khi $\Delta >0\iff m<1$ hoặc $m>3$ → đúng. (Kiểm tra: với $m$ bất kỳ, $x=2$ cho $4-4m+4m-3=1\ne 0$ nên không có nghiệm loại trừ.)

d) $\frac{-2x+3}{x-2}=x+2\iff -2x+3=x^2-4\iff x^2+2x-7=0$. Hai nghiệm phân biệt có tổng $x_1+x_2=-2$, nên hoành độ trung điểm $I$ là $\frac{x_1+x_2}{2}=-1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2-2mx+4m-3=0$ có $\Delta =4(m-1)(m-3)>0\iff m<1$ hoặc $m>3$; $x=2$ không bao giờ là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+2x-7=0$ có tổng hai nghiệm bằng $-2$, nên hoành độ trung điểm $I$ là $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$. a) Tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=2$: đúng. b) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(2;1)$, không phải $I(1;1)$: sai. c) Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x+2}{x-2}=x-1\Rightarrow x+2=x^2-3x+2\Rightarrow x^2-4x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=4$. Hai giao điểm $(0;-1)$ và $(4;3)$, độ dài $=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\ne 4\sqrt{5}$: sai. d) Với $M\in (C)$, tổng khoảng cách đến $x=2$ và $y=1$ là $|x-2|+\frac{4}{|x-2|}\ge 2\sqrt{4}=4$, đạt được khi $|x-2|=2$: đúng, giá trị nhỏ nhất bằng 4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x=2$ làm mẫu bằng 0 và ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}\frac{x+2}{x-2}=\pm \infty$ nên $(C)$ có tiệm cận đứng $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị $y=1+\frac{4}{x-2}$ là giao của tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$, tức $I(2;1)$, không phải $I(1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{x+2}{x-2}=x-1\Rightarrow x^2-4x=0\Rightarrow x=0,x=4$. Hai giao điểm là $(0;-1)$ và $(4;3)$, độ dài $\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}\ne 4\sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng khoảng cách từ $M(x;1+\frac{4}{x-2})$ đến hai tiệm cận $x=2$, $y=1$ là $|x-2|+\frac{4}{|x-2|}\ge 2\sqrt{4}=4$, đạt khi $|x-2|=2$ (tức $x=0$ hoặc $x=4$). Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 4.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=-1$ nên tiệm cận ngang $y=-1$, tức hệ số của $x$ ở tử số bằng $-1$ (loại A). Tiệm cận đứng $x=1$: khi $x\to 1^{-}$ thì $f\to -\infty$, khi $x\to 1^{+}$ thì $f\to +\infty$, nên tử số tại $x=1$ phải dương. Xét các phương án có tử $-x+b$: với B, $b=-2$ thì tại $x=1$ tử số $=-3<0$, cho $x\to 1^{-}$ giới hạn $+\infty$ (sai). Với C, $y=\frac{-x+3}{x-1}$: tại $x=1$ tử số $=2>0$, nên $x\to 1^{-}$ cho $-\infty$ và $x\to 1^{+}$ cho $+\infty$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$; $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(-x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm nghịch biến trên cả hai khoảng, đúng bảng biến thiên. Với D, $b=-3$ cũng sai như B. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng tại $x=1$ (nên mẫu là $x-1$, loại C) và $f(0)=2$. Với D: $f(0)=\frac{2}{-1}=-2\ne 2$, loại D. Xét B: $y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$, có $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x-1)-(x^2+2x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, nên $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$; $y^{\prime }>0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<1$ hoặc $1<x<2$ — đúng bảng biến thiên. Giá trị: $f(0)=\frac{-2}{-1}=2$ (cực đại), $f(2)=\frac{4+4-2}{1}=6$ (cực tiểu), giới hạn khi $x\to \pm \infty$ theo $x$ là $+\infty$. Khớp hoàn toàn. (A có $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-6}{(x-1{)}^2}$, nghiệm không phải $0,2$.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Câu 37, trang 50): đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, nhánh trái nằm dưới trục hoành với cực đại giá trị âm, nhánh phải nằm trên trục hoành với cực tiểu giá trị dương.
- Loại C vì tiệm cận đứng $x=-1$; loại D vì tiệm cận đứng $x=2$.
- Xét A: $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, cực đại tại $x=0$ với $y(0)=1>0$, mâu thuẫn với hình (cực đại âm) → loại.
- Xét B: $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$: cực đại tại $x=0$, $y(0)=-1<0$ (phù hợp); cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=3>0$ (phù hợp); tiệm cận xiên $y=x$ cũng phù hợp.
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ (nằm bên trái trục $Oy$), nên loại B, D (có tiệm cận đứng $x=1$). Còn lại xét A và C, cả hai đều có tiệm cận ngang $y=2>0$ đúng với hình. Xét giao điểm với trục $Oy$: với A, $y(0)=\frac{1}{1}=1>0$; với C, $y(0)=\frac{-1}{1}=-1<0$. Trên đồ thị, nhánh phải cắt trục $Oy$ tại điểm âm (đồ thị đi lên từ dưới cắt trục hoành gần gốc rồi tiến tới tiệm cận ngang dương), nên $y(0)<0$, tương ứng với phương án C. Kiểm tra thêm: với $y=\frac{2x-1}{x+1}$, $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi nhánh, đúng như hình.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ ở trang 54 cho thấy: tiệm cận đứng là $x=1$ (nằm bên phải trục $Oy$), nên loại C, D (mẫu $x+1$ cho tiệm cận đứng $x=-1$). Xét A: $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, có tiệm cận xiên $y=x+2$ với hệ số góc dương, đúng như hình. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$; nhánh trái có cực đại tại $x=0$ với $y(0)=1>0$ (cực đại nằm trên trục hoành, khớp hình), rồi giảm xuống $-\infty$ khi $x\to 1^{-}$; nhánh phải có cực tiểu tại $x=2$ với $y(2)=5>0$ (cực tiểu phía trên trục hoành, khớp hình). Với B: $y=x+2+\frac{3}{x-1}$, cực đại nhánh trái tại $x=1-\sqrt{3}\approx -0,73$ có giá trị $3-2\sqrt{3}\approx -0,46<0$, nhánh trái nằm dưới trục hoành — trái với hình. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$: tiệm cận đứng $x=1$ nên $-\frac{d}{c}=1\Rightarrow d=-c$; tiệm cận ngang $y=-1$ nên $\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=-c$; đồ thị cắt trục hoành tại $x=2$ nên $ax+b=0$ tại $x=2$, tức $-\frac{b}{a}=2\Rightarrow b=-2a=2c$. Do đó $$T=\frac{a-2b+3d}{c}=\frac{-c-4c-3c}{c}=-8.$$ Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$. Xét $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$: chia đa thức ta được $y=x+1+\frac{1}{x-2}$, có TCĐ $x=2$ và TCX $y=x+1$. Vì $\frac{1}{x-2}>0$ khi $x>2$ nên nhánh phải nằm trên tiệm cận xiên và có cực tiểu; nhánh trái nằm dưới tiệm cận xiên — đúng như hình vẽ. Loại A (TCĐ $x=-2$), C (TCX $y=1$), D (đồ thị đi qua điểm $x=2$ do $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, không có TCĐ). Vậy đáp án B.