Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên, nên loại A (hàm bậc ba, không có tiệm cận) và C (tiệm cận ngang $y=1$). Xét B: $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$ có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+2$; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$, cực đại tại $x=0$ ($y=1$) trên nhánh trái, cực tiểu tại $x=2$ ($y=5$) trên nhánh phải — khớp hình vẽ. Hàm D có TCĐ $x=-1$, không khớp. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (nhánh xuống), có cực tiểu ở bên trái gốc $O$ (với tung độ âm), đi qua điểm $x=0$ với tung độ dương, và cực đại ở bên phải gốc $O$.

- Loại A và D vì đồ thị hàm phân thức $y=\frac{x^2+3x-5}{x-1}$ và $y=\frac{2x+1}{x+4}$ đều có tiệm cận đứng, không phải đường cong bậc ba như hình.
- Xét B: $y=x^3-3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-3$; hàm nghịch biến trên $(-1;1)$, đồng biến ngoài khoảng, nên cực tiểu tại $x=-1$ (bên trái), cực đại tại $x=1$ (bên phải), và $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ (nhánh lên) — ngược với hình.
- Xét C: $y=-x^3+3x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2+3$; hàm đồng biến trên $(-1;1)$, nghịch biến ngoài khoảng, nên cực tiểu tại $x=-1$ với $y(-1)=-1-3+1=-3<0$ (bên trái, dưới trục hoành), cực đại tại $x=1$ với $y(1)=-1+3+1=3>0$ (bên phải, trên trục hoành); $y(0)=1>0$; và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$. Tất cả khớp với đường cong trong hình.

Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$ (với $x\ne -1$). Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Trên nhánh $x>-1$: $y(0)=2$ là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu tại điểm $(0;2)$); trên nhánh $x<-1$: $y(-2)=-2$ là giá trị lớn nhất (cực đại tại $(-2;-2)$). Đường cong khớp với các đặc điểm này (cực tiểu $2$ tại $x=0$, cực đại $-2$ tại $x=-2$, tiệm cận xiên $y=x+1$ đi qua gốc) là đường cong C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $a>0$ (hai nhánh đi lên), đồ thị đi qua gốc $O$ nên $e=f(0)=0$, hàm tăng qua $O$ nên $f^{\prime }(0)=d>0$, đồ thị có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại nên $f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt. $f^{\prime \prime }(x)=12a{x}^2+6bx+c$ có 2 nghiệm phân biệt là hoành độ 2 điểm uốn, nằm giữa các điểm cực trị: một nghiệm âm (giữa cực tiểu trái, hoành độ khoảng $x\approx -2$, và cực đại, hoành độ dương nhỏ khoảng $x\approx 1.5$) và một nghiệm dương (giữa cực đại và cực tiểu phải tại $x\approx 4$), nên chỉ có 1 nghiệm dương. Tích 2 nghiệm của $f^{\prime \prime }=0$ bằng $c/(12a)<0$ (nghiệm trái dấu) nên $c<0$; tổng 2 nghiệm $=-b/(2a)>0$ với $a>0$ nên $b<0$. Vậy các số dương chỉ có $a$ và $d$ ($e=0$), tức 2 số dương. a) Sai vì trên $(0;+\infty )$ hàm đạt GTNN tại điểm cực tiểu ($x\approx 4$, giá trị đạt được, thuộc khoảng) nên có GTNN; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a>0$ nên $f(x)\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Trên $(0;+\infty )$ đồ thị có điểm cực tiểu (hoành độ dương, gần $x=4$) với giá trị đạt được tại điểm thuộc khoảng, nên hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty )$. Khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị bậc bốn dạng W có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại phân biệt, nên $f^{\prime }(x)=0$ (phương trình bậc 3) có 3 nghiệm phân biệt là hoành độ 3 điểm cực trị. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=12a{x}^2+6bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt (vì $f^{\prime }$ có 3 nghiệm phân biệt nên $f^{\prime \prime }$ có 2 nghiệm) là hoành độ 2 điểm uốn, nằm giữa các điểm cực trị liên tiếp: một điểm uốn giữa cực tiểu thứ nhất và điểm cực đại, một điểm uốn giữa điểm cực đại và cực tiểu thứ hai ($x\approx 4$). Trên đồ thị, cực tiểu thứ nhất có hoành độ âm (đáng kể, khoảng $x\approx -2$) còn điểm cực đại có hoành độ dương nhỏ (khoảng $x\approx 1.5$), nên điểm uốn thứ nhất, nằm gần giữa chúng, có hoành độ âm; điểm uốn thứ hai dương. Vậy chỉ có 1 nghiệm dương, khẳng định sai. (Lưu ý: dấu của điểm uốn thứ nhất được suy từ đọc hình, vị trí của nó gần gốc $O$ nên khá sát 0.)
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị qua gốc $O$ nên $e=0$ (không dương). $a>0$. $f^{\prime }(0)=d>0$ vì hàm tăng tại $x=0$. Hai nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)=0$ trái dấu nên tích $c/(12a)<0\Rightarrow c<0$. Tổng hai nghiệm $-b/(2a)>0$ với $a>0\Rightarrow b<0$. Vậy chỉ có $a$ và $d$ dương: 2 số dương, không phải 3. Khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=-4$, cực đại tại $x=2$ (đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=2$) và cắt trục hoành tại $x=-1$. Suy ra $y=a(x+1)(x-2{)}^2$. Thay $x=0$: $a\cdot 1\cdot 4=-4\Rightarrow a=-1<0$. Khi đó $y=-(x+1)(x-2{)}^2=-(x^3-3x^2+4)=-x^3+3x^2-4$, tức $a=-1$, $b=3$, $c=0$, $d=-4$. Trong các hệ số $a,b,c,d$ chỉ có đúng 1 hệ số dương là $b=3$ (lưu ý $c=0$ không dương). Vậy đáp án là 1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$ nên $cx+d=0$ tại $x=2$, tức $2c+d=0$. Tiệm cận ngang $y=\frac{1}{c}=1$ (đồ thị tiến tới $y=1$ khi $x\to \pm \infty$) nên $c=1$, suy ra $d=-2$. Đồ thị đi qua điểm $(-2;-1)$: $\frac{-2-b}{-2-2}=-1\Rightarrow -2-b=4\Rightarrow b=-6$. Vậy $P=b^2+c^2+d^2=36+1+4=41$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: hai đầu đi lên nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d=f(0)>0$. Hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ $x_1,x_2>0$ (cùng dương theo hình vẽ), là nghiệm của $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$. Theo Viète: $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$, mà $a>0$ nên $c>0$; $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ nên $b<0$. Vậy $a>0,b<0,c>0,d>0$, khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $f(x)=\frac{x^2-3x}{x+1}=x-4+\frac{4}{x+1}$ (với $x\ne -1$).
a) Từ phân tích trên, tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x-3$ → sai.
b) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}$. Trên $(-1;1)$ thì $f^{\prime }(x)<0$, trên $(1;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$ → sai.
c) Trên đoạn $[-2;3]$, hàm số không xác định tại $x=-1$ và khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$; hơn nữa $f(-2)=\frac{4+6}{-1}=-10<-1$. Do đó giá trị nhỏ nhất trên $[-2;3]$ không bằng $-1$ (thực tế hàm không bị chặn dưới) → sai.
d) $f^{\prime }(x)=0\iff (x+1{)}^2=4\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Hai điểm cực trị: $(1;f(1))=(1;-1)$ và $(-3;f(-3))=(-3;-9)$ vì $f(-3)=\frac{9+9}{-2}=-9$. Khoảng cách $=\sqrt{(1+3{)}^2+(-1+9{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=x-4+\frac{4}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-1;1)$ và $>0$ trên $(1;+\infty )$, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm không xác định tại $x=-1\in [-2;3]$ và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$; ngoài ra $f(-2)=-10<-1$, nên GTNN trên đoạn không bằng $-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các điểm cực trị $(1;-1)$ và $(-3;-9)$; khoảng cách $=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}=x-2+\frac{3}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=3\iff x=-1\pm \sqrt{3}$, hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định, nên hàm số có cả cực đại và cực tiểu → Đúng.
b) Tiệm cận xiên: $y=x-2$. Cắt trục hoành tại $A(2;0)$, trục tung tại $B(0;-2)$. Diện tích $△OAB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$ → Đúng.
c) Hai tiệm cận là $x=-1$ và $y=x-2$, giao điểm là $(-1;-3)$, không phải $(-1;3)$ → Sai.
d) $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của 3 (vì $y=x-2+\frac{3}{x+1}$, $x-2$ nguyên khi $x$ nguyên). $x+1\in \{\pm 1,\pm 3\}$ cho $x\in \{0,-2,2,-4\}$, tương ứng $y\in \{1,-7,1,-7\}$: chỉ có 4 điểm nguyên $(0;1),(-2;-7),(2;1),(-4;-7)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=0$ có hai nghiệm $x=-1\pm \sqrt{3}$ nên hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCX $y=x-2$ cắt hai trục tại $A(2;0)$, $B(0;-2)$, $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao của $x=-1$ và $y=x-2$ là $(-1;-3)$, không phải $(-1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-2+\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho đúng 4 điểm nguyên: $(0;1),(-2;-7),(2;1),(-4;-7)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: nhánh trái đi lên vô cực khi $x\to -\infty$ nên $a<0$. Hàm số có hai điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung (cùng âm), tức phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm âm. Theo Viète: tích hai nghiệm $\frac{c}{3a}>0$, mà $a<0$ nên $c<0$; tổng hai nghiệm $-\frac{2b}{3a}<0$, mà $a<0$ nên $b<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương (điểm $y(0)=d>0$) nên $d>0$. Vậy chỉ có đúng một số dương trong các số $a,b,c,d$ (là $d$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $x+c=0\Rightarrow c=-1$. Tiệm cận xiên $y=ax+2$ đi qua $(0;2)$ (đúng vì hệ số tự do 2) và cắt trục hoành tại $(2;0)$ nên $0=2a+2\Rightarrow a=-1$. Nhánh cong đi qua điểm $(0;3)$: $f(0)=2+\frac{b}{c}=2+\frac{b}{-1}=2-b=3\Rightarrow b=-1$. Vậy $P=a+b+c=-1-1-1=-3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x^2-x+2}{x-1}=2x+1+\frac{3}{x-1}$.
a) Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $(1;+\infty )$ → sai.
b) $y^{\prime }=2-\frac{3}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$, hai nghiệm đều thuộc tập xác định và là hai điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) → đúng.
c) Chia đa thức: $y=2x+1+\frac{3}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$ → đúng.
d) Hai tiệm cận: $x=1$ và $y=2x+1$. Với $A\in (C)$, đặt $t=|x-1|>0$, tổng khoảng cách $d=t+\frac{3}{\sqrt{5}t}\ge 2\sqrt{\frac{3}{\sqrt{5}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt[4]{5}}\approx 2,3166>2,3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ vì mẫu $x-1\ne 0$, không phải $(1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2-\frac{3}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{3/2}$, cho đúng hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x+1+\frac{3}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=|x-1|>0$, tổng khoảng cách $d=t+\frac{3}{\sqrt{5}t}\ge 2\sqrt{3/\sqrt{5}}\approx 2,3166>2,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại điểm $(-2;2)$ và cực tiểu tại $(0;-2)$, nên $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=0$, suy ra $c=0$ và $b=3a$. Đồ thị đi lên về $+\infty$ nên $a>0$, do đó $b>0$. Vì $f(0)=-2$ nên $d=-2$. Vậy $a>0,b>0,c=0,d=-2$.

a) Sai: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;1)$.

b) Đúng: trong các hệ số, $a$ và $b$ dương (2 số dương), $c=0$, $d=-2$.

c) Sai: tâm đối xứng có hoành độ $x=-\frac{b}{3a}=-1$. Từ $f(-2)=a(-8+12)-2=4a-2=2$ suy ra $a=1$, khi đó $f(x)=x^3+3x^2-2$ và $f(-1)=-1+3-2=0$. Tâm đối xứng là $I(-1;0)$, không phải $(0;-1)$.

d) Đúng: phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-2<m<2$, các giá trị nguyên là $m\in \{-1;0;1\}$, tức 3 giá trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại tại $x=-2$, cực tiểu tại $x=0$ nên $c=0$, $b=3a$; đồ thị đi lên bên phải nên $a>0$, suy ra $b>0$; $f(0)=d=-2$. Vậy chỉ $a,b$ dương: có 2 số dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng có hoành độ $x=-b/(3a)=-1$. Từ $f(-2)=2$ suy ra $a=1$, $f(-1)=0$, nên tâm đối xứng là $I(-1;0)$, không phải $(0;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-2<m<2$, các giá trị nguyên là $m\in \{-1;0;1\}$: đúng 3 giá trị.

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;+\infty )$.
b) Đúng. Theo hình dạng đồ thị thì $a>0$. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$. Hai điểm cực trị có một điểm là 0 nên $c=0$. Tổng hai điểm cực trị của hàm số là số âm nên $b>0$. Vậy có 2 số dương.
c) Đúng. Phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $m\in (-2;2)$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1\}$. Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$.
d) Sai. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(-1;0)$.
a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;+\infty )$.
b) Đúng. Theo hình dạng đồ thị thì $a>0$. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$. Hai điểm cực trị có một điểm là 0 nên $c=0$. Tổng hai điểm cực trị của hàm số là số âm nên $b>0$. Vậy có 2 số dương.
c) Đúng. Phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $m\in (-2;2)$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1\}$. Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$.
d) Sai. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(-1;0)$.

Theo đề bài ta có: $OA=2$ km, $OB=3$ km và $528$ m$=0,528$ km.

Đồ thị hàm số $y=f(x)$ đi qua các điểm $O(0;0)$, $A(2;0)$, $B(3;0)$ suy ra $y=f(x)=ax(x-2)(x-3)=a\left(x^3-5x^2+6x\right)$ với $a>0$.

Ta có: $y^{\prime }=a\left(3x^2-10x+6\right)$, $y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\\ x=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\end{array}$.

Từ độ cao của đồi ta có tại vị trí điểm cực đại $x_{CD}=\frac{5-\sqrt{7}}{3}$; $y_{CD}=0,528$ suy ra $a=\frac{0,528}{{\left(\frac{5-\sqrt{7}}{3}\right)}^3-5.{\left(\frac{5-\sqrt{7}}{3}\right)}^2+6.\left(\frac{5-\sqrt{7}}{3}\right)}$.

Điểm sâu nhất của hồ ứng với vị trí của điểm cực tiểu $x_{CT}=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$, $y_{CT}\approx 0,1578$.

Vậy độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất xấp xỉ $0,1578$ km hay xấp xỉ $158$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị: nhánh trái xuống dưới, nhánh phải lên trên nên $a>0$. Hàm số đi qua điểm cực đại tại $x_1<0$ rồi giảm, tại $x=0$ đồ thị đang giảm nên $y^{\prime }(0)=c<0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương nên $y(0)=d>0$. Hai điểm cực trị $x_1<0<x_2$ với $x_2$ xa gốc hơn, theo định lý Vi-ét $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ (tổng hai nghiệm dương vì điểm cực tiểu nằm xa hơn), suy ra $b<0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, khớp với đáp án C (đúng theo bảng đáp án mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{x^2+x+2}{x+2}=x-1+\frac{4}{x+2}$. a) Tiệm cận xiên là $y=x-1$ → đúng. b) $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+2{)}^2}>0\iff x<-4$ hoặc $x>0$, nên hàm đồng biến trên $(3;10)$ → đúng. c) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-4$; trên $(-4;0)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(0;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu (không phải cực đại) → sai. d) Hai điểm cực trị: $x=0\Rightarrow y=1$ và $x=-4\Rightarrow y=-7$; đường thẳng qua $(0;1)$ và $(-4;-7)$ có hệ số góc $\frac{1-(-7)}{0-(-4)}=2$, phương trình $y=2x+1\ne y=2x$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2+x+2}{x+2}=x-1+\frac{4}{x+2}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ với mọi $x>0$, do đó hàm số đồng biến trên $(3;10)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+2{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-4$. Trên $(-4;0)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(0;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ − sang + khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu (còn $x=-4$ là điểm cực đại). Do đó mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(0;1)$ và $(-4;-7)$ (vì $y(-4)=\frac{16-4+2}{-2}=-7$). Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $\frac{1-(-7)}{0-(-4)}=2$, phương trình $y=2x+1\ne y=2x$. Do đó mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{x^2-x+7}{x+1}=x-2+\frac{9}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Đúng: chia đa thức được $y=x-2+\frac{9}{x+1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-2$, tức $a=1$.
b) Sai: $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. Tại $x=-4$: $y=-9$ (cực đại); tại $x=2$: $y=3$ (cực tiểu). Tổng $=-9+3=-6\ne 3$.
c) Đúng: trên khoảng $(-\infty ;-1)$, hàm số đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $y(-4)=\frac{16+4+7}{-3}=-9$, đây là giá trị lớn nhất trên khoảng này.
d) Sai: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x-2$; vì bậc tử bằng bậc mẫu cộng 1 nên không có tiệm cận ngang. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a: Đ, 1b: S, 1c: Đ, 1d: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-2+\frac{9}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$ với $a=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $y(-4)=-9$, cực tiểu $y(2)=3$, tổng bằng $-6\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $-9$, là GTLN trên khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x-2$, không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng xác định, có tiệm cận đứng tại $x=0$ với ${\lim }_{x\to 0^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}y=+\infty$, và ${\lim }_{x\to -\infty }y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$. Xét $y=\frac{1-x^2}{x}=\frac{1}{x}-x$ (phương án C): $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}-1<0$ trên mọi khoảng xác định nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$; các giới hạn trên đều khớp bảng biến thiên. Phương án A và D có tiệm cận đứng $x=-1$ (không phải $x=0$); phương án B có $y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}>0$ (đồng biến, trái với bảng). Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $x+c=0\Rightarrow c=-1$. Tiệm cận ngang $y=-1$ nên $a=-1$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$ nên $\frac{b}{c}=-2\Rightarrow b=2$. Kiểm tra: nghiệm $y=0$ là $x=2$ (đúng với đồ thị vì $-x+2=0\Rightarrow x=2$). Vậy $2a+3b-c=2(-1)+3(2)-(-1)=-2+6+1=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 4 = 5).